《微分几何初步》1.6-1.7
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局部标准型

我们知道研究曲线局部性质的时候, 利用Frenet标架来处理会方便很多. 取(无一阶奇点) 弧长参数化曲线$\alpha:I\rightarrow \mathbb{R}^3,$ 由Taylor展开, $\alpha(s)=\alpha(0)+s\alpha’(0)+\frac{s^2}{2}\alpha’’(0)+\frac{s^3}{6}\alpha’’’(0)+R,$ $R=o(s^3).$ 我们知道$\alpha’(0)=t,$ $\alpha’’(0)=kn,$ $\alpha’’’(0)=(kn)’=k’n+kn’=k’n-k^2t-k\tau b.$

整理得到$\alpha(s)-\alpha(0)=(s-\frac{k^2s^3}{6})t+(\frac{s^2k}{2}+\frac{s^3k’}{6})n-\frac{s^3}{6}k\tau b+R,$ 从而我们便得到在Frenet标架下曲线的(高阶)局部近似坐标:

上式称为曲线$\alpha$在零点邻域的局部标准型. 用一阶视角来看, 只能看到切向量$t,$ 即只有$x$方向上的信息; 而用三阶视角来看, 就能看到在$\mathbb{R}^3$中的更多信息, 比如曲线的转向($n$方向), 爬升($b$方向)等等.

由此看出一些几何性质: 当挠率为负时, 局部来看曲线是上穿密切平面(osculating)的; 而正挠率的曲线是下穿的. 从切平面(rectifying)可以在某邻域内将曲线划分在一侧$(k\neq 0).$

关于密切平面的一个重要信息是, 它是距离曲线最近(最致密)的一个平面. 用数学语言说明即, 它是$s$点处切线和$s+h$点决定的平面在$h\rightarrow 0$时的极限. 不妨设$s=0,$ 由Frenet标架与局部标准型, 可记该平面为$z=cy$(从切平面$y=0$排除). 那么计算$c=\frac{z(h)}{y(h)}=\frac{-\frac{k\tau}{6}h^3+o(h^3)}{\frac{k}{2}h^2+o(h^2)}=-\frac{\tau h}{3}+o(h).$ 从而平面趋于$z=0,$ 即密切平面.

注记 1.1. 有的书中可能会将挠率定义为$b’=-\tau n,$ 需要注意.

来做几道练习. 我们提到从切平面可以在$P$点某邻域内将曲线划分在一侧, 事实上任意含$P$点切线的平面, 除了密切平面都可以. 只需考察将曲线沿$x$轴(切方向)投影在法平面, 那么前面的$z=cy$即为该曲线零点和$h$点的割线, 割线的斜率趋于零. 所以对于任意给定的平面$z=c_0y,$ $c_0\neq 0,$ 总能找到足够小的邻域使得割线斜率小于$c_0,$ 从而投影曲线保持在$z=c_0 y$直线下方, 也就是原曲线保持在平面一侧.

密切平面也可以由其他的方式确定, 比如$\alpha(s),\alpha(s+h_1),\alpha(s+h_2)$三点所确定的平面在$h_1,h_2\rightarrow 0$时的极限. 同样取局部标准型, 那么平面可记为$ax+by+cz=0.$ 取$F(s)=ax(s)+by(s)+cz(s),$ 那么$F’(0)=a,$ $F’’(0)=bk.$ 这里$a,b$为关于$h_1,h_2$的函数. 由于$F(0),F(h_1),F(h_2)=0,$ 由中值定理即知$a,b\rightarrow 0.$ 从而平面趋于$z=0,$ 即密切平面.

一个经典的结论是曲线在$P$点的曲率与投影在$P$点密切平面曲线在该点的曲率是一致的. 这是因为由局部标准型, $P$点$(s=0)$曲率可由$\lim\limits_{s\rightarrow 0}\frac{2y(s)}{x^2(s)}$决定, 与$z$无关.

平面曲线整体性质

接下来讨论一些平面曲线的整体微分性质. 第五章会更系统地讨论, 感兴趣的同学可以之后看一下.

做一些简单的回顾, 平面闭曲线$\alpha:[a,b]\rightarrow R^2$在要求$\alpha(a)=\alpha(b)$的同时, 还要求高阶导数一致. 它是简单的, 如果该闭曲线不自交. 一般也是做弧长参数化的, 同时平面曲线的曲率会出现正负号.

我们说平面内的简单闭曲线会框住一个内部区域, 这可由Jordan曲线定理得到, 参见第五章. 若沿曲线参数增加的方向看, 内部始终保持在曲线左侧, 则称曲线是正定向的.

等周不等式

这是微分几何中最古老的整体问题. 等长的简单闭曲线何时围住最大面积? Weierstrass最早给出了变分方法的证明, 但比较繁琐. 这里介绍Schmidt于1939年给出的证明. 对于曲线所围的区域, 由Green公式, 我们有面积计算公式:

或者如书中通过初等方法来证明, 但方法实质类似Green公式的初等证明, 且需要承认一些结论(能够找到一条直线, 使得曲线关于该直线的距离函数有有限多个极值点).

定理 1.2 (等周不等式). 设$C$为长度为$l$的平面简单闭曲线, $A$为$C$所围面积, 则$l^2-4\pi A\ge 0,$ 等号成立当且仅当$C$为圆周.

证: 如图所示, 取合适的平行线$L,L’$卡住曲线$C$. 在下方取一个半径为$r$同样被卡住的圆$S^1$, 以圆心为原点, 垂直$L,L’$方向为$x$轴, 沿$L,L’$方向为$y$轴建系. 对$C$做弧长参数化$\alpha(s)=(x(s),y(s)).$ 设$S^1$曲线为$\bar\alpha(s)=(x(s),\bar y(s)),$ 即$x$方向两曲线同步.

由面积公式, 我们有:

从而由几何平均值$\sqrt{A}\sqrt{\pi r^2}\le \frac{1}{2}(A+\pi r^2)\le \frac{1}{2}lr,$ $4 \pi A r^2\le l^2 r^2,$ 即$l^2-4\pi A\ge 0.$ (注意与$r$无关.)

当等号成立时, 所有不等式取等. 由几何平均不等式, $A=\pi r^2.$ 从而$l=2\pi r,$ 且任意旋转$L,L’$方向, 间距仍为$2r$. 同时$(x,\bar y)=\lambda (y’,-x’),$ 由模长关系知$|\lambda|=r,$ 从而$x=\pm r y’.$ 将$L,L’$旋转$90$度, 又得到$y=\pm r x’.$ 于是$x^2+y^2=r^2({x’}^2+{y’}^2)=r^2,$ 即$C$为圆周.

注记 1.3. 易见等周不等式对$C^1$简单闭曲线即成立, 对分段$C^1$的也自然成立. (未加说明时, 默认光滑.)

四顶点定理

对弧长参数化后的闭曲线$\alpha(s)=(x(s),y(s)),$ 引入切线标线$t(s)=(x’(s),y’(s)).$ 其轨迹落在单位圆周上, 且速度向量为$kn$. 记$\theta(s)$为$t(s)$与$x$轴交角, 若限制其落在$[0,2\pi)$上, 则$\theta$不见得连续. 由于其可局部用反三角函数定义$(\theta(s)=\arctan\frac{y’(s)}{x’(s)}(+\pi)),$ 它是可微的.

由$t(s)=(\cos \theta(s),\sin \theta(s)),$ 速度向量$t’=\theta’ n,$ 即$\theta’=k.$ 从而可以整体地重新定义连续函数$\theta(s)=\int_0^s k(s)ds.$ 它与原先的函数相差$2k\pi.$ 该函数描述了切向量的总旋转角度, 由于闭曲线始末切向量相同, 旋转角度是$2\pi$的整数倍. 记$\int_0^l k(s)ds=\theta(l)-\theta(0)=2\pi I,$ 称整数$I$为曲线$\alpha$的旋转指标. 注意由于$k$是带符号的, 旋转指标$I$也是. 当简单闭曲线正定向时, 旋转指标也是正的.

我们有如下定理, 于5.7节定理2中给出证明:

定理 1.4 (旋转指标定理). 简单闭曲线的旋转指标为$\pm 1,$ 正负号取决于曲线的定向.

接下来引入曲线顶点的概念. 称正则平面曲线$\alpha:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2$是的, 若$\,\forall\,t\in [a,b],$ $\alpha$的轨迹始终落在$t$点切线一侧. 而平面曲线的顶点, 定义为使得$k’(t)=0$的全体点$t$, 即曲率的全体驻点(部分书中会更精确地定义为极值点). 举例来说, 椭圆恰有四个顶点. 有趣的是, 任意简单凸的闭曲线都至少有四个顶点.

首先证明一个引理.

引理 1.5. 记$\alpha(s)=(x(s),y(s)):[0,l]\rightarrow \mathbb{R}^2$为弧长参数化平面闭曲线. 则$\,\forall\,A,B,C\in \mathbb{R},$ $\int_0^l(Ax+By+C)k’ds=0.$

证: 由开头定义的$\theta$函数, 我们有$(x’,y’)=(\cos \theta,\sin \theta),$ $k=\theta’$且$x’’=-ky’,$ $y’’=kx’.$ 从而对于闭曲线, 有$\int_0^l k’ds=0,$ $\int_0^l xk’ds=-\int_0^lkx’ds=-\int_0^ly’’ds=0,$ $\int_0^l yk’ds=-\int_0^lky’ds=\int_0^lx’’ds=0.$ 从而引理得证.

定理 1.6 (四顶点定理). 简单凸的闭曲线至少有四个顶点.

证: 将曲线弧长参数化, 只需考察$[0,l]$上连续函数$k(s)$的行为. 由于其为周期函数, 最大值点和最小值点都是驻点. 因此我们已经找到了两个顶点$p,q.$ 这两点划分出两端弧, 过$p,q$作直线$L$, 首先需要说明每段弧保持在$L$的一侧.

不然, 假设某段弧还与$L$相交于点$r$, 那么对于$L$上三点$p,q,r$, 选取中间的点不妨为$p$. $p$点切线必须恰为$L$, 不然$q,r$在切线两侧, 与凸性矛盾. 然而即使$p$点切线为$L$, $p$点附近的切线也仍会将$q,r$划分在切线两侧, 与凸性矛盾, 除非$p$点附近保持为直线, 到$q,r$为止. 这时在$p,q$最值点处$k=0$, 这说明$k\equiv 0$, 不可能为闭曲线.

另一方面, 若两端弧保持在$L$的同一侧, 则由凸性类似可得某段弧退化为直线, 同理矛盾. 因此两端弧在$L$的两侧. 记$Ax+By+C=0$为直线$L$的方程. 如果不再有其它顶点, 那么$k’$在两段弧上分别恒负, 恒正. 进而可调整符号使得$C$上除$p,q$点外$(Ax+By+C)k’$恒正. 这与前面的引理矛盾, 从而可以找到第三个顶点位于某段弧上, 且在该点$k’$改变符号. 由于弧连接了$k(s)$的最小值点和最大值点, $k’(s)$符号改变偶数次, 因此在这段弧上必能找到第四个顶点.

四顶点定理一直是许多研究的课题, 事实上该定理对简单闭曲线即成立, 但证明要复杂一些, 可查看参考文献. 前面一直提到简单凸的闭曲线, 但事实上有些多余. 5.7节命题1将证明平面闭曲线是凸的当且仅当它是简单的, 且存在定向使得曲率非负. 因此可以如下更精确地表述四顶点定理:

定理 1.7 (四顶点定理’). 存在定向使得闭凸曲线曲率函数非负, 且(严格)极大值点和极小值点分别至少有两个, 或曲率恒为常数(此时曲线即为圆周).

一个自然的问题是, 对于任意给定的周期函数$k:[a,b]\rightarrow \mathbb{R},$ 若其满足四顶点定理的结论, 是否能够找到一个简单闭曲线使得$k$成为其曲率函数? 也就是四顶点定理的逆命题. 这类似于三维空间中的曲线论基本定理.

对于函数严格正的情况, H.Gluck于1971年给出了肯定的答案. B.Dahlberg于1997年得到了完整的逆定理. 四顶点定理及其逆定理这一专题于2005经过编辑与整合发表了一篇非常详尽的论文, 感兴趣的同学可以查看一下.

Cauchy-Crofton公式

我们先直接给出这一有趣的定理, 后面只给出定理的证明思路:

定理 1.8 (Cauchy-Crofton公式). 令$C$为长度为$l$的平面正则曲线, 则所有与$C$有交点的(带重数的)直线全体测度为$2l.$

这里需要说明两点, 首先重数指直线与曲线$C$的交点个数, 即若某直线与曲线$C$有$n$个交点, 那么该直线在集合中记$n$次. 其次需要说明测度是什么. 取垂直于直线的单位向量$v=(\cos \theta,\sin \theta)$, 记$p$为直线上任一点与$v$的内积, 那么直线完全由这两个参数决定. 记直线全体为$\mathcal{L}=\{(p,\theta)\in \mathbb{R}^2; (p,\theta)\sim (-p,\theta+\pi)\},$ 我们说明其上可以唯一定义合理的测度. 这里合理即指我们希望测度在刚性变换下保持不变. 首先有如下简单的命题:

命题 1.9. 记$f(x,y)$为$\mathbb{R}^2$上连续函数, 对集合$S\subset \mathbb{R}^2,$ 定义其面积$A(S)=\iint_S f(x,y)dxdy.$ 若$A$为刚性变换不变量, 则$f$必为常数.

证: 记刚性变换为$F$. 由于刚性变换Jacobian为$1$, 我们有$A(F(S))=\iint_S f(F(x,y))dxdy=\iint_S f(x,y)dxdy=A(S).$ 由于对任意$S$成立, $f\circ F=f.$ 又由刚性变换在$\mathbb{R}^2$是可迁的, 即$\,\forall\,p,q\in \mathbb{R}^2,$ $\,\exists\,$刚性变换$F$使得$F(p)=q,$ 即知$f=\text{const}.$

对于$\mathcal{L}$中曲线$x\cos\theta+y\sin\theta=p,$ 其在刚性变换$\begin{cases} \bar x=a+x\cos \varphi -y\sin \varphi\\ \bar y=b+x\sin \varphi +y\cos \varphi \end{cases}$下, 参数变为$\begin{cases} \bar \theta=\theta + \varphi\\ \bar p=p+a\cos(\theta+\varphi)+b\sin(\theta+\varphi) \end{cases}.$ 易见该变换在$(p,\theta)$坐标下Jacobian也为$1,$ 同时该作用在直线全体$\mathcal{L}$上显然是可迁的, 因此同理可知测度可相差常数倍地唯一定义为$\mu(\mathcal{G})=\iint_\mathcal{G} dpd\theta$, 这一测度被称为kinematic(运动学上的)测度. 接下来我们给出定理证明的大体思路.

证: 对于$l$长的直线段$C,$ 由于测度在刚性变换下不变, 不妨设$C$以原点为中心, 落在$x$轴上. 那么所求集合的测度为:

接下来, 对于由有限多个线段拼成的折线$C,$ 将每个线段对应的直线的测度做和, 即可得到带重数的所求集合的测度为$\iint n(p,\theta)dpd\theta=2\sum_i l_i=2l.$ 最后取极限, 我们可以期望如上公式对任意正则曲线均适用, 这就证明了定理.

需要注意的一点是, 对于直线段, 其实会出现重数为无穷的直线, 但它在kinematic测度下零测. 对于书上的证明, 将取极限的过程精确描述较为繁琐. 一个更为具体的证明如下:

证: 对$(p,\theta)$对应的直线, 也可将其转为更常见的先确定点$Z(s)=(x(s),y(s))\in C,$ 再确定角度$\eta.$ 即将$(p,\theta)$坐标转换为$(s,\eta)$坐标. 这里令$\theta=\eta,$ 几何意义相同. 那么$p=x(s)\cos \eta+y(s)\sin \eta.$ 注意到$(x’,y’)$可表示为$(\cos\phi,\sin \phi),$ 那么Jacobian为$|\cos(\phi(s)-\eta)|.$

从而由Fubini定理, 所求测度为:

这一主题的基本思想归于Integral Geometry这一分支. 一个Cauchy-Crofton公式的有趣应用是用来估计曲线长度. 取一族等间距$r$的直线, 再等角度地$\alpha$地旋转扫过整个平面, 则$l=\frac{1}{2}\int ndpd\theta\approx \frac{1}{2}nr\alpha,$ $n$为曲线与这些直线的总交点数(记重数), 即将积分离散化. 书中提到这在生物学等领域中有所应用, 如估计DNA分子长度.

文章最后更新于 2021-08-11 12:07:07

  • 本文标题:《微分几何初步》1.6-1.7
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2021-08-11 11:41:58
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