连接图上 的谱考虑增广链复形
上的增广Laplacian
显然
而 (标量变换),
是各处全为 的矩阵.
引理 1.
引理 2.
利用内积, 转移即可.
注意我们有
定理 3.
设 是 个独立点, 是 个...
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道路同调(9)
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道路同调(8)
谱分析我们关心 特别是其是否有零特征值: 这样的 被称为调和的. 引理 1. 是调和的当且仅当 只需注意到有 定理 2 (Hodge decomposition). 我们有 这里 是全体 调和形式, 直和为正交和. 只需注意到 ... -
道路同调(7)
Hodge-Laplacian由内积 , 我们可诱导链复形上 的对偶 使得 我们可以定义 称为 -形式上的Hodge-Laplacian. 命题 1. 是自伴半正定算子. 令 为 的表示矩阵, 即 那么 的表示矩阵是 类似的, 令 ... -
道路同调(6)
准备工作引理 1. 若 则 注意到 其中 为 的投影, 所有阶梯型道路构成的集合. 接下来考虑内积即可. 引理 2. 注意对于道路的连接, 连接空间里的准许道路都是准许道路的连接, 但乘积空间中不一定, 需要 -不... -
道路同调(5)
乘积空间对于 中的 道路 希望定义 称正则道路 是阶梯型的, 若 或 令 为 在 上的投影, 缩并重复的点. 同理. 记 对应了一条 中的折线 记 为 下方的方块个数. 记 为 中所有的阶梯型道路 定义 1. 给定 中的正则道路 ... -
道路同调(4)
准备工作定义 由此扩展到全体正则道路 上的配对. 我们记大写字母表示基本道路, 花体字母表示任意道路, 即由基本道路张成的各类空间. 引理 1. 这是因为 和 相同当且仅当它们分别相同. 引理 2. 注意到 只... -
道路同调(3)
有向图的连接增广链复形对于链复形 我们考虑 其中 为 的单位元. 此时的同调群记为 称为约化同调群. 除了 模掉一个 外, 其它同调群不变, 即 记 为约化Betti数, 那么 当且仅当 是连通的. 道路的连接若 分别是 中的... -
道路同调(2)
结构给定有向图 为由准许基本 -道路张成的空间. 记 那么 构成 的道路链复形. 我们知道有 但之后只能保证 称 为半有向边若其不是有向边且 , 但存在中转点 使得 记为 定理 1. 为半有向边个数. 事实上 由全体三... -
道路同调(1)
YMSC公开课 定义给定有限集 基本 -道路为含有 中 个点的序列 固定数域 为所有基本 道路的 -线性组合, 其中的元素称为 -道路. 定义 时定义 这样 构成链复形. 由基本计算, 我们有如下引理. 引理 1. 我... -
音乐同构
定义音乐同构(musical isomorphism), 又称典范(canonical)同构, 指黎曼流形切丛和余切丛间的同构, 由黎曼度量给出. 黎曼度量 是一个正定二阶的张量场, 每点有映射 使得 这给出了微分同胚 若 那么计算得到...