《微分几何初步》3.4-3.5

向量场

平面上的向量场

开集$U\subset \mathbb{R}^2$上的向量场是一个映射, 对每个$q=(x,y)\in U$, 指定一个$w(q)=(a(x,y),b(x,y))\in \mathbb{R}^2.$ 称向量场是可微的, 若$w$是可微的, 即$a,b$都是可微的. 我们默认总是考虑可微的向量场.

给定一个向量场, 我们考虑是否存在场的轨迹, 即是否存在可微曲线$\alpha(t)=(x(t),y(t)),$ 使得$\alpha’(t)=w(\alpha(t)).$ 事实上, 这就是解常微分方程组: $\left\{ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}=a(x,y)\\ \frac{dy}{dt}=b(x,y) \end{aligned} \right.$

我们说向量场$w$决定了上面这样一个微分方程系统. 如对向量场$w(x,y)=(x,y),$ 过$(x_0,y_0)$点的轨迹为$\alpha(t)=(x_0e^t,y_0 e^t);$ 对向量场$w(x,y)=(y,-x),$ 过$(x_0,y_0)$点轨迹为$\beta(t)=(r\sin t,r\cos t),$ $r^2=x_0^2+y_0^2.$

由常微分方程基本理论(存在性, 唯一性), 我们有如下定理:

定理 1.1. 对任意开集$U\subset \mathbb{R}^2$上给定向量场$w,$ 以及定点$p\in U,$ 存在场的轨迹$\alpha:I\rightarrow U,$ 其中$I$为原点处小邻域, $\alpha(0)=p.$ 这样的轨迹是唯一的, 即若有另一条轨迹$\beta:J\rightarrow U,$ $J$为原点小邻域, $\beta(0)=p,$ 则限制在$I\cap J$上$\alpha=\beta.$

又由解对初值的依赖性, 我们进一步有:

定理 1.2. 字母含义同上, 存在$p$点邻域$V\subset U\subset \mathbb{R}^2,$ 有可微映射$\alpha:V\times I\rightarrow U,$ 使得$\,\forall\,q\in V,$ $\alpha(q,\cdot)$为场$w$过$q$点的轨迹.

这样的映射$\alpha$称为$w$在$p$点的(局部)流(local flow). 从图示来看, 它将柱体\”拍\”到平面$(U)$上, 将每一根竖线映为轨迹.

由上述定理, 有结论如下:

引理 1.3. 令$w$为开集$U\subset \mathbb{R}^2$上向量场, $p\in U$有$w(p)\neq 0.$ 那么存在$p$点邻域$W\subset U$与可微函数$f:W\rightarrow \mathbb{R},$ 使得$f$沿轨迹为常数, 且$df_q\neq 0,$ $\,\forall\,q\in W.$

证: 不妨设$p$为原点, $w(p)$沿$x$轴方向. 由上述定理我们有局部流$\alpha:V\times I\rightarrow U.$ 取$\tilde\alpha$为$\alpha$限制在矩形$(V\times I)\cap \{(0,y,t)\in \mathbb{R}^3\}$上. 由定义, $d\tilde \alpha_p$将$t$轴切方向映到$w(p),$ 将$y$轴切方向映到自身, 因此$d\tilde \alpha_p$不退化. 由反函数定理, 在充分小的邻域$W\subset U$上, 存在可微函数$\tilde \alpha^{-1}.$ 那么取$f$为$\tilde \alpha^{-1}$在$y$轴上的分量即可. 易见$f$满足要求.

这样的沿轨迹(解)为常数的函数$f$称为场$w$在$p$点邻域的(局部)首次积分. 如对场$w(x,y)=(y,-x),$ 在$\mathbb{R}^2-O$上的一个首次积分是$f(x,y)=x^2+y^2.$ 容易看出这样定义的首次积分并不唯一. 由隐函数定理, 在$f$微分不消失的地方, $f=C$就给出了$x,y$的关系, 从而消去一个未知量, 使求解变得容易.

开集$U\subset \mathbb{R}^2$上的方向场$r,$ 指对每个点$p\in U,$ 在$\mathbb{R}^2$上指定一条过$p$点的直线$r(p).$ 称$r$是在$p$点可微的, 若$p$点邻域$V\subset U$上存在一个非零可微向量场$w,$ 满足$\,\forall\,q\in V$, 非零的$w(q)$为$r(q)$的基. $r$在$U$上可微自然指在$U$上点点可微. 每个非零可微向量场$w$自然可以生成一个可微方向场$r.$

需要注意的是, 根据定义, 每个可微方向场点点局部对应一个非零可微向量场$w,$ 但不见得整体对应一个非零可微向量场, 如下图所示. 可以说方向场对应的向量场局部给出了方向场的一个定向, 那么无法整体定向的方向场也就不能对应一个整体非零的向量场了.

一个正则曲线$C\subset U$称为$U$上方向场$r$的积分曲线, 若$\,\forall\,q\in C,$ $r(q)$为$C$在$q$点切线. 易见积分曲线局部上就是可微方向场所对应的向量场的轨迹, 由此每个可微方向场总能找到过任意定点的积分曲线, 即类似于常微分方程中解的拼接, 积分曲线就是将向量场的轨迹拼接起来.

既然轨迹与积分曲线看似对应的是同一个东西, 为何要引入新的定义呢? 因为整体的方向场不见得对应整体的向量场, 因此没有所谓整体的轨迹这一概念, 但整体的积分曲线是确实存在的. 可见可微性之于方向场也很重要, 我们默认总是考虑可微的方向场.

方向场也可由微分方程给出. 对任意向量场$w,$ 易见$\,\forall\,\lambda\neq 0,$ $\lambda w$与$w$生成的方向场是一致的, $\lambda$可以是一个处处非零的可微函数. 对常微分方程组$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=\lambda(x,y)a(x,y)\\ \frac{dy}{dt}=\lambda(x,y)b(x,y) \end{cases},$ 为了消去$\lambda,$ 可以由微分方程$b(x,y)\frac{dx}{dt}-a(x,y)\frac{dy}{dt}=0$表示该方向场, 方程的解就对应着积分曲线. 对方向场我们不在乎曲线的参数化(对向量场的轨迹需要注意参数选取), 因此我们常用形如$adx+bdy=0$的微分方程来表示方向场.

曲面上的向量场

前面的所有内容仅用到了$\mathbb{R}^2$上的局部性质, 主要依赖于其可微结构. 因此我们自然可以把上述讨论迁移到曲面上.

定义 1.4. 曲面$S$中开集$U$上的向量场$w,$ 为对每个点$p\in U,$ 指定一个$w(p)\in T_p(S)$的对应. 称其在$p$点可微, 若对$p$点某邻域上的参数化$x(u,v),$ 存在可微的$a(u,v), b(u,v),$ 使得$w(x(u,v))=a(u,v)x_u+b(u,v)x_v.$ 它与参数化选取无关.

类似的, 可定义向量场的轨迹, 方向场, 积分曲线等. 只需将$\mathbb{R}^2$换为$S$即可, 定理与引理也自然是成立的.

接下来介绍本节的主定理.

定理 1.5. 在开集$U\subset S$上有两向量场$w_1,w_2,$ 在某点$p\in U$处线性无关. 那么存在某$p$点邻域$V\subset U,$ 其上有参数化使得$\,\forall\,q\in V,$ 过该点的两条坐标曲线分别与$w_1(q),w_2(q)$相切.

证: 取$p$点邻域$W\subset U,$ 使其上有首次积分$f_1,f_2.$ 定义$\varphi:W\rightarrow \mathbb{R}^2,$ $\varphi(q)=(f_1(q),f_2(q)),$ 则$d\varphi_p(w_1)=(0,(df_2)_p(w_1))\neq 0,$ $d\varphi_p(w_2)=((df_1)_p(w_2),0)\neq 0,$ 且线性无关, $d\varphi_p$不退化. 因此$\varphi$为局部同胚, 从而取$\varphi$为更小的邻域$V\subset W$上的坐标函数即可. 坐标曲线$f_1(q)=const, f_2(q)=const$分别与$w_1(q),w_2(q)$相切.

需要注意的是, 定理并不表示坐标曲线的速度向量就是$w_1(q),w_2(q).$ 事实上可以将上述定理表示为下面的形式.

推论 1.6. 在开集$U\subset S$上有两方向场$r_1,r_2,$ 在某点$p\in U$处, $r_1(p)\neq r_2(p).$ 那么存在某$p$点邻域$V\subset U,$ 其上有参数化使得$\,\forall\,q\in V,$ 过该点的两条坐标曲线分别为$r_1,r_2$的积分曲线.

定理可以说明正交参数化的存在性:

推论 1.7. $\,\forall\,p\in S,$ $p$点某邻域$V$上存在参数化$x(u,v),$ 使得坐标曲线$u=const,v=const$在任意点$q\in V$上彼此正交. 称这样的$x$为正交参数化.

证: 在点$p$处任取参数化$\bar x:\bar U\rightarrow S,$ 取向量场$w_1=\bar x_{\bar u},$ $w_2=-(\bar F/\bar E)\bar x_{\bar u}+\bar x_{\bar v}.$ 那么$w_1\cdot w_2=-\bar F +\bar F=0,$ 在任意点$q$处. 应用定理即得所需的参数化.

不仅如此, 还可在$p$点任意指定两个正交方向, 生成需要的正交参数化. 特别地, 对特殊的参数化, 有如下推论:

推论 1.8. 在双曲点附近存在参数化, 使得坐标曲线构成渐近线网; 在非脐点附近存在(正交)参数化, 使得坐标曲线构成曲率线网.

证: 在双曲点附近, 满足$eg-f^2<0,$ 由此可线性分解渐近线微分方程$e{u’}^2+2fu’v’+g{v’}^2=0$为$(Au’+Bv’)(Au’+Dv’)=0$的形式, 从而确定两个方向场, 其积分曲线即为渐近线. 从而由前面的推论即得结论.

在非脐点附近, 由于曲率线微分方程较为复杂, 由前面的推论, 不妨先取正交参数化使$F=0.$ 由于是非脐点, 可取到正交参数化使$f\neq 0,$ 进而由$EGf^2>0,$ 同上面的方法可线性分解微分方程, 得到方向场, 积分曲线即为曲率线. 由前面的推论即得结论.

直纹面与极小曲面

直纹面

一个可微的单参数直线族$\{L_t\}$, 指有可微的$\{\alpha(t),w(t)\},$ 对每个$t\in I,$ 指定一点$\alpha(t)\in \mathbb{R}^2$与向量$w(t).$ 直线$L_t$过$\alpha(t),$ 以$w(t)$为方向. 直纹面即为由单参数直线族生成的曲面, 即有$x(t,v)=\alpha(t)+vw(t),$ $(t,v)\in I\times \mathbb{R}.$ 直线$L_t$称为直母线(rulings), 曲线$\alpha(t)$称为曲面的准线(directrix). 一般来说, 允许$x$出现奇点.

接下来总是假设$|w(t)|=1,$ $w’(t)\neq 0.$ 后一假设即曲面是非柱状的. 由前一假设有$\left<{}w(t),w’(t)\right>=0.$ 我们希望找到一条曲线$\beta(t)$使得$\left<{}\beta’(t),w’(t)\right>=0,$ 且$\beta$落在$x$上. 设$\beta(t)=\alpha(t)+u(t)w(t),$ 则$\beta’=\alpha’+u’w+uw’.$ 若满足要求, 则$0=\left<{}\beta’,w’\right>=\left<{}\alpha’,w’\right>+u\left<{}w’,w’\right>,$ $u=-\frac{\left<{}\alpha’,w’\right>}{\left<{}w’,w’\right>}.$ 从而取这样的$u$, 对应的$\beta$即满足要求.

接下来说明$\beta$与准线的选取无关. 若$x(t,u)=\alpha(t)+uw(t)=\bar\alpha(t)+v(u)w(t).$ 那么$\beta-\bar \beta=(\alpha-\bar\alpha)+\frac{\left<{}\bar\alpha’-\alpha’,w’\right>}{\left<{}w’,w’\right>}w.$ 由于$\alpha-\bar\alpha=(u-v)w,$ 且$\left<{}w,w’\right>=0,$ 便有$\beta=\bar\beta.$ 从而这样的曲线$\beta$只与直纹面本身有关, 称其为腰线, 其上的点称为直纹面的中心点. 如螺旋面的腰线是中心轴, 而单叶双曲面的腰线是半径最小的纬线.\ 选取$\beta$为直纹面的准线, $x(t,u)=\beta(t)+uw(t),$ 那么$x_t=\beta’+uw’,$ $x_u=w,$ $x_t\wedge x_u=\beta’\wedge w+uw’\wedge w.$ $w’$垂直于$\beta’,w,$ 从而可记$\beta’\wedge w=\lambda w’,$ $\lambda=\lambda(t).$ 那么$|x_t\wedge x_u|^2=(\lambda^2+u^2)|w’|^2,$ 从而奇点只可能在$u=0$即准线$\beta$上出现. 且出现奇点当且仅当$\lambda=0,$ 即$w(t)$在准线切线上. 可具体表示出$\lambda=\frac{(\beta’,w,w’)}{|w’|^2}.$

我们来计算直纹面在正则点处的Gauss曲率. $x_{tt}=\beta’’+uw’’,$ $x_{tu}=w’,$ $x_{uu}=0,$ 从而$g=0,$ $f=\frac{(x_t,x_u,x_{tu})}{|x_t\wedge x_u|}=\frac{(\beta’,w,w’)}{|x_t\wedge x_u|}.$ 故$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=-\frac{\lambda^2 |w’|^4}{(\lambda^2+u^2)^2|w’|^4}=-\frac{\lambda^2}{(\lambda^2+u^2)^2}.$ 从而在正则点, 直纹面的Gauss曲率$K\le 0,$ 且等于零仅当$w(t)$落在$\beta(t)$切线上, 沿该直母线发生. 可以看出, 若$\lambda\neq 0,$ 则$|K(u)|$是直母线上的连续函数, 取值关于中心点对称, 在中心点处$|K(u)|$达到极大值.

函数$\lambda(t)$称为$x$的分布参数. 由于腰线与准线选取无关, $\lambda$也是. 若$x$是正则的, 有$N(t,u)=\frac{x_t\wedge x_u}{|x_t\wedge x_u|}=\frac{\lambda w’+uw’\wedge w}{\sqrt{\lambda^2+u^2}|w’|}.$ 若$\lambda\neq 0,$ $N(t,0)=\frac{w’}{|w’|}\frac{\lambda}{|\lambda|}.$ 考虑$N(t,u)$与$N(t,0)$夹角, $\tan\theta=\frac{u}{|\lambda|},$ 与$u$成正比, 比例系数为分布参数的倒数.

利用这一性质, 可以推出一个有趣的结论是, 由直母线上法向量对应的单参数直线族, 生成的直纹面恰为双曲抛物面$z=kxy,$ $k=\frac{1}{\lambda}.$

对直纹面$x(t,v)=\alpha(t)+vw(t),$ 称它是可展的, 若$(\alpha’,w,w’)=0.$ 计算得到$g=0,$ $f=\frac{(\alpha’,w,w’)}{|x_t\wedge x_u|}=0,$ 从而$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=0,$ 即可展曲面Gauss曲率恒为零. 事实上反过来也是对的, 即Gauss曲率为零的曲面也一定是可展的. 它与平面局部等距, 因此可以剪下曲面上的一块展开为平面, 这也是可展曲面得名的原因.

一个基本的事实是可展曲线的切平面沿直母线不变. 只需说明$\left<{}N_v,x_v\right>=\left<{}N_v,x_t\right>=0,$ 即$f=g=0.$ 这是已经得到过的.\ 接下来我们说明可展曲面只有柱面, 锥面, 切线面这三类. $w’=0$的部分为柱状区域, 去掉$w’=0$的部分后, 曲面是非柱状的. 由前面的讨论, 可取到腰线$\beta(t),$ 且分布参数$\lambda=0,$ 从而腰线上都是奇点. 在$\beta’=0$的地方, 该点处的曲面为锥面; 去掉$\beta’=0$的地方后, 由$\lambda=0$得到$\beta’$与$w$同向, 即曲面为切线面.

可展曲面的一个重要性质, 或者说等价的定义方式是, 它是单参数平面族的包络面. 取正则曲面$S$与其上的弧长参数化曲线$\alpha,$ 假设它无处切方向是渐进的. 记$N(s)=N\circ\alpha(s),$ 那么$\left<{}dN(\alpha’),\alpha’\right>=\left<{}N’,\alpha’\right>\neq 0,$ 从而$N’\neq 0.$ 取直纹面$x(s,v)=\alpha(s)+v\frac{N(s)\wedge N’(s)}{|N’(s)|}.$

考虑沿$\alpha(s)$的$S$的切平面族$\{T_{\alpha(s)}(S)\},$ 很近的两平面交于某直线, 以$\frac{N(s)\wedge N(s+\Delta s)}{\Delta s}$为方向. 令$\Delta s\rightarrow 0$即有该方向为$N\wedge N’.$ 从而$x$的直母线为平面族邻近平面交线的极限. 这样的$x$即称为单参数平面族$\{T_{\alpha(s)}(S)\}$的包络面. 柱面和锥面很显然可由该种方法生成.

可以很直接的计算出, $(\alpha’,w,w’)=\frac{1}{|N’|^2}\left<{}(N\wedge N’)\wedge (N\wedge N’)’,\alpha’\right>=\frac{1}{|N’|^2}\left<{}\left<{}N\wedge N’,N’’\right>N,\alpha’\right>=0,$ 从而单参数平面族包络面可展. 对可展曲面, 也能够找到对应的单参数平面族以其为包络面.

接下来我们说明$x$在$\alpha$附近正则, 且沿$\alpha$与$S$相切.在$\alpha$上, $x_s\wedge x_v=\alpha’\wedge\frac{N\wedge N’}{|N’|}=\left<{}N’,\alpha’\right>\frac{N}{|N’|}=-\frac{k_nN}{|N’|}.$ 由于$\alpha’$非渐进方向, $k_n$无处为零, 从而$x$在$\alpha$附近正则, 且在$\alpha$处法向量与$S$一致, 即与$S$相切.

极小曲面

一个正则参数化曲面是极小的, 若其平均曲率处处消失. 令$x:U\subset \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3$为正则参数化曲面. 取有界区域$D\subset U,$ 以及可微函数$h:\bar D\rightarrow \mathbb{R}.$ $x(\bar D)$由$h$决定的法向变分, 指映射$\varphi:\bar D\times (-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow \mathbb{R}^3,$ $\varphi(u,v,t)=x(u,v)+th(u,v)N(u,v).$ 对每个固定的$t\in (-\varepsilon,\varepsilon),$ $x^t:D\rightarrow \mathbb{R}^3,$ $x^t(u,v)=\varphi(u,v,t)$为一个参数化曲面. 计算得到$I^t=I-2thII+o(t).$ 由平均曲率$H=\frac{1}{2}\frac{Eg-2fF+Ge}{EG-F^2},$ 可以得到$E^tG^t-(F^t)^2=(EG-F^2)(1-4thH)+o(t).$ 从而$x^t(\bar D)$曲面面积$A(t)=\int_{\bar D}\sqrt{1-4thH+o(t)}\sqrt{EG-F^2}dudv,$ 对充分小的$\varepsilon$为可微函数, 且在零点导数$A’(0)=\int_{\bar D}-2hH \sqrt{EG-F^2}dudv.$

命题 1.9. 条件同上, $x$为极小曲面当且仅当$A’(0)=0$对任意法向变分成立.

证: 必要性易见. 假设$H(q)\neq 0,$ 取支撑在点$q$充分小邻域上的$h:\bar D\rightarrow \mathbb{R}$使得$h(q)=H(q),$ $hH>0.$ 那么对于该$h$决定的法向变分, $A’(0)<0,$ 矛盾.

需要注意的是, 其实我们只说明了极小曲面面积达到临界值, 未必真的是极小值. 但极小曲面这一定义由Lagrange早在1760年便提出, 因此一直沿用至今.

提到极小曲面往往会提到皂膜. 给定一个框架, 将其放入肥皂水中, 小心翼翼的拿出来, 框架上便会架起皂膜. 这些皂膜便是面积达到极小的曲面, 这样我们就制造出了极小曲面.

一般的, 定义平均曲率向量为$H=HN,$ 令$h=H$, 那么$A’(0)=\int_{\bar D}-2\left<{}H,H\right>\sqrt{EG-F^2}dudv<0,$ 也就是沿着平均曲率向量, 面积在零点附近是递减的.

对等温曲面, 即$E=G=\lambda^2,$ $F=0,$ 有如下命题:

命题 1.10. 设$x(u,v)$为正则参数化等温曲面, 那么$x_{uu}+x_{vv}=2\lambda^2 H.$

证: 首先由微分, 有: $\left<{}x_{uu},x_u\right>=\left<{}x_{vu},x_v\right>=-\left<{}x_u,x_{vv}\right>,$ 从而$\left<{}x_{uu}+x_{vv},x_u\right>=0.$ 类似的$\left<{}x_{uu}+x_{vv},x_v\right>=0.$ 从而$x_{uu}+x_{vv}$沿$N$方向. 计算得到平均曲率$H=\frac{1}{2}\frac{g+e}{\lambda^2}.$ 因此, $2\lambda^2 H=g+e=\left<{}N,x_{uu}+x_{vv}\right>,$ 从而$x_{uu}+x_{vv}=2\lambda^2 H.$

推论 1.11. 对正则参数化等温曲面$x(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),$ $x$极小当且仅当坐标分量都是调和的.

关于极小曲面有若干经典的例子. 如悬链面是旋转面中唯一的极小曲面, 通过取旋转面的参数化计算即可. 这一点并不难以理解, 极小曲面和悬链线都是自然形成的, 因此有理由相信悬链线形成的悬链面是极小曲面.

另一个例子是螺旋面是直纹面中唯一的极小曲面, 除了平面. 教材中引用了Osserman的survey中, 极小曲面Gauss曲率零点孤立这一性质(平面除外).

除去Gauss曲率取零点的地方, 由于平均曲率为零, Gauss曲率必然取负. 由于$k_1=-k_2,$ 由Euler公式, 曲面有正交的渐进曲线. 显然直母线是渐进曲线, 由于曲面非平面, 可取到点$q\in W,$ 过该点的另一条渐进曲线以$\tau=\sqrt{-K}$为挠率. 由于渐进曲线密切平面为曲面切平面, 在$q$点邻域$V\subset W$上直母线恰为另一渐进曲线族的法线. 这当且仅当该曲线族为螺线族时发生(Bertrand曲线), 因此$V$是螺面的一部分. 由于螺线挠率恒定, 可见整个曲面都是螺旋面.

极小曲面是微分几何中重要的研究课题, 许多有关它的结论都很形象, 但又相当难以证明. 书中提到如下的定理:

定理 1.12. 令$S$为非平面的正则极小闭曲面, 那么Gauss映射像在球面上是稠密的.

文章最后更新于 2021-08-25 10:50:16