《代数拓扑与微分形式》笔记(1)-de Rham 复形

de Rham 上同调是流形的最重要的微分同胚不变量，而不变量是我们很期待的东西，用不变量可以快速区分/分类流形。

$\mathbb{R}^n$ de Rham 上同调

微分形式

在$\mathbb{R}^n$中坐标为$(x_1,…,x_n)$, 记自变量微分$dx_1,…,dx_n$, 引入记号$\wedge$(wedge), 满足$dx_i\wedge dx_i=0$, $dx_i\wedge dx_j=-dx_j\wedge dx_i$, $i\neq j$.

记$\Omega^q=\operatorname{span}_R\{dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_q}|{}i_{1}<…<{}i_{ {}q}\},$ $\Omega^\ast=\oplus_{q=0}^n \Omega^q$, 易见其维数为$2^n$.

记光滑$q-$形式全体为$\Omega^q(\mathbb{R}^n)=C^\infty(\mathbb{R}^n)\otimes_\mathbb{R}\Omega^q$, 光滑形式全体为$\Omega^\ast(\mathbb{R}^n)=\oplus_{q=0}^n \Omega^q(\mathbb{R}^n)$.

于是任意光滑形式$\omega\in \Omega^\ast(\mathbb{R}^n)$可以按型分解为$\omega=\sum_{q=0}^{n} \omega_q$, $\omega_q\in \Omega^q(\mathbb{R}^n)$. $\omega_q=\sum_{I:{}i_{1}<…<{}i_{ {}q} }f_Idx_I$, $I$称为多重指标。

算子

外积算子$\wedge$:(可以看成原来记号的扩充定义) $\tau=\sum_{I:{}i_{1}<…<{}i_{ {}p} }f_Idx_I\in \Omega^p(\mathbb{R}^n)$, $\omega=\sum_{J:{}j_{1}<…<{}j_{ {}q} }g_Jdx_J\in \Omega^q(\mathbb{R}^n)$, 则 $\tau\wedge\omega=\sum_{I,J}f_Ig_Jdx_I\wedge dx_J=\sum_{K:{}k_{1}<…<{}k_{ {}p+q} }h_Kdx_K$. 其中$h_K$可由$f_I,g_J$表出。

命题 1.1. $\tau\wedge \omega = (-1)^{pq}\omega \wedge \tau$

外微分算子$d:\Omega^q(\mathbb{R}^n)\rightarrow \Omega^{q+1}(\mathbb{R}^n)$, $\omega=\sum_I f_I dx_I$, $d\omega=\sum_I df_I\wedge dx_I=\sum_{i,I} \frac{\partial {}f_I}{\partial {}x_i}dx_i\wedge dx_I$, 是$C^\infty$上微分算子的自然延拓.

命题 1.2. $\tau\in \Omega^p(\mathbb{R}^n)$, 则$d(\tau\wedge \omega)=d\tau \wedge \omega + (-1)^p \tau\wedge d\omega,$ $d^2=0$.

de Rham 复形

由于$d^2=0$, $\{\Omega^\ast(\mathbb{R}^n),d\}$形成$\mathbb{R}^n$的de Rham复形：

$$\Omega^0(\mathbb{R}^n)\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Omega^n(\mathbb{R}^n).$$

可以对$q<0$及$q>n$添加$\Omega^q(\mathbb{R}^n)=0$.

定义$Z^q(\mathbb{R}^n)=\{\omega\in\Omega^q(\mathbb{R}^n)|d\omega=0\},$ 其中元素称为闭的$q$-形式. 定义$B^q(\mathbb{R}^n)=\{d\tau | \tau\in\Omega^{q-1}(\mathbb{R}^n)\},$ 其中元素称为恰当的$q$-形式. 特别地, 规定$Z^n(\mathbb{R}^n)=\Omega^n(\mathbb{R}^n),$ $B^0(\mathbb{R}^n)=0.$

由于$d^2=0$, $B^q(\mathbb{R}^n)\subset Z^q(\mathbb{R}^n).$ 定义$\mathbb{R}^n$的第$q$个de Rham上同调为$H^q_{dR}(\mathbb{R}^n)=Z^q(\mathbb{R}^n)/B^q(\mathbb{R}^n).$ 不引起歧义时, 通常隐去下标. 闭$q$-形式$\omega$所在上同调类记为$[\omega].$

类似地, 对$\mathbb{R}^n$开集$U$上的de Rham复形, 只需在一开始将光滑函数定义域设置为$U$即可.

我们有上同调的Poincaré引理: $H^q(\mathbb{R}^n)=\begin{cases} \mathbb{R}\quad&q=0\\ 0&q\neq 0 \end{cases}.$

紧上同调

记$\Omega^\ast_c(\mathbb{R}^n)=C^\infty_c(\mathbb{R}^n)\otimes_\mathbb{R}\Omega^\ast,$ 即将光滑函数改为具有紧支集的光滑函数. 类似地, 可以将其按型分解. 由于光滑函数偏导支集闭包含于原来的紧支集, 它也是有紧支撑的, 因此$\{\Omega^\ast_c(\mathbb{R}^n),d\}$是一个复形, 称为具紧支集的de Rham复形.

类似地, 定义$Z^q_c(\mathbb{R}^n)=\{\omega\in\Omega_c^q(\mathbb{R}^n)|d\omega=0\},$ $B^q_c(\mathbb{R}^n)=\{d\tau | \tau\in\Omega_c^{q-1}(\mathbb{R}^n)\},$ $H^q_{c}(\mathbb{R}^n)=Z^q_c(\mathbb{R}^n)/B^q_c(\mathbb{R}^n).$

注意$Z_c^q(\mathbb{R}^n)=\Omega^q_c(\mathbb{R}^n)\cap Z^q(\mathbb{R}^n),$ 但一般$B^q_c(\mathbb{R}^n)\neq B^q(\mathbb{R}^n)\cap \Omega_c^q(\mathbb{R}^n).$ 即不是$d\tau$有紧支集而是$d\tau$中$\tau$有紧支集.

我们有紧上同调的Poincaré引理: $H^q_c(\mathbb{R}^n)=\begin{cases} \mathbb{R}\quad&q=n\\ 0&q\neq n \end{cases}.$

注意这说明了紧上同调不是同伦不变量. 类似地, 我们可对一般的$U\subset \mathbb{R}^n$定义$H_c^\ast(U)$.

微分复形

称向量空间直和$C=\oplus_{q\in\mathbb{Z} } C^q$为微分复形, 若有同态$d:C\rightarrow C,$ 满足$d:C^q\rightarrow C^{q+1},$ $d^2=0.$ 可以由$d$对复形定义上同调. de Rham复形即为微分复形.

与代数拓扑相同, 我们可定义复形间的链映射及其诱导同态, 复形的短正合列, 以及至关重要的zig-zag引理(图追踪定义同调的长正合列).

文章最后更新于 2021-09-19 18:59:49