参考书: Warner《微分流形与李群基础》
流形上的微分形式
拉回映射
光滑函数$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$可诱导拉回映射$f^\ast :\Omega^0(\mathbb{R}^m)\rightarrow\Omega^0(\mathbb{R}^n)$, $f^\ast (g)=g\circ f$;
同时还可诱导$f^\ast :\Omega^1(\mathbb{R}^m)\rightarrow \Omega^1(\mathbb{R}^n)$, $f^\ast (dy_i)=df_i=d(y_i\circ f)$.
容易延拓该定义得到$f^\ast :\Omega^\ast (\mathbb{R}^m)\rightarrow\Omega^\ast (\mathbb{R}^n)$, $f^\ast (g_Idy_{i_1}\wedge …\wedge dy_{i_q})$ = $f^\ast (g_I)f^\ast (dy_{i_1}\wedge …\wedge dy_{i_q})=(g_I\circ f)df_{i_1}\wedge … \wedge df_{i_q}$.
$0$维上的定义比较自然, $1$维为何要对基$dy_i$如此定义需要想一下. 我们已知$d:\Omega^0\rightarrow \Omega^1$, 发现$df^\ast (g)=d(g\circ f)=\sum_i\frac{\partial {}g\circ f}{\partial {}f_i}df_i$, $dg=\sum_i\frac{\partial {}g}{\partial {}y_i}dy_i$. 注意$f^\ast (\frac{\partial {}g}{\partial {}y_i})=\frac{\partial {}g\circ f}{\partial {}f_i}$, 所以我们定义$f^\ast (dy_i)=df_i$也是相当自然的. 同时由上分析我们得到如下命题:
命题 1.1 (可交换性). $df^\ast =f^\ast d$.
也可以说我们的定义就是从希望满足可交换性出发的.
一阶微分不变性
记$f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$为微分同胚, $f_i=x_i\circ f$为新坐标, 称为由微分同胚$f$定义的坐标.
由链式法则, $dg=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial {}g}{\partial {}f_i} df_i=\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial {}g}{\partial {}f_i}\frac{\partial {}f_i}{\partial {}x_j} dx_j=\sum_{j=1}^n \frac{\partial {}g}{\partial {}x_j}dx_j,$ 于是$dg$与坐标系无关, 这就是在说一阶微分不变性.
拉回映射与一阶微分不变性是流形上定义微分形式与微分算子$d$的基础.
流形上微分形式
记$M$为光滑$n$维流形, $\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha\in\Lambda}$为坐标图册.
$M$上的微分形式$\omega$为一个集类$\{\omega_\alpha\in \Omega^\ast (U_\alpha)\}$, 该集类需要满足相容性条件：$\,\forall\,U_\alpha\cap U_\beta\neq \varnothing$, 记$U_\alpha\cap U_\beta=U_{\alpha\beta}$, $\omega_\alpha|_{U_{\alpha\beta} }=\omega_\beta|_{U_{\alpha\beta} }$, 这样才能使得局部给出的微分形式能够拼成一个整体, 即集类$\{\omega_\alpha\in \Omega^\ast (U_\alpha)\}$拼成$\omega$.
这里$\omega_\alpha=\sum_I {f_\alpha}_I d{\phi_\alpha}_I$, $\phi_\alpha:U_\alpha\approx \mathbb{R}^n$, 即将曲面片上的微分形式拉到$\mathbb{R}^n$中考虑. $\omega_\alpha|_{U_{\alpha\beta} }$的定义是由嵌入$i:U_{\alpha\beta}\rightarrow U_\alpha$, 从$\Omega^\ast (U_\alpha)$拉回到$\Omega^\ast (U_{\alpha\beta})$中的, 即定义为$i^\ast \omega_\alpha$.
记$M$上的微分形式全体为$\Omega^\ast (M)$，类似地可以定义微分算子$d$与外积$\wedge$. 这里需注意由于流形上的微分形式有要求, 需要验证相容性条件. 由$d$与$i^\ast$的可交换性，$\{d\omega_\alpha\}$确实满足相容性条件, 可以拼成$d\omega$, 因此定义良好. $\wedge$同理.
同样的在流形上也有$\Omega^q(M)$, 可以按型分解. $\{\Omega^\ast (M),d\}$称为流形$M$的de Rham复形. 进一步可以定义$Z^q(M),B^q(M),H^q(M)$.
现考虑流形间的光滑映射$f:M\rightarrow N$, 这诱导了$f^\ast :\Omega^\ast (N)\rightarrow\Omega^\ast (M)$. 由于$d,f^\ast$可交换, 这便诱导了 $f^\ast : H^\ast (N)\rightarrow H^\ast (M)$, $f^\ast [\omega]=[f^\ast \omega]$. 特别地, 考虑$i:U\rightarrow M$为开子集的包含映射, 则有$i^\ast : H^\ast (M)\rightarrow H^\ast (U)$, $i^\ast [\omega]=[i^\ast \omega]=[\omega|_U]$. 也把$i^\ast [\omega]$记作$[\omega]|_U$, 于是有$[\omega]|_U=[\omega|_U]$.
单位分解
单位分解的存在性是微分流形的最基本工具.
我们回忆流形是满足$T_2$分离性公理且仿紧的.
$M$上的单位分解是非负光滑函数集族$\{\rho_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$, 满足$M$上每点有一邻域, 其上只有有限多个$\rho_\alpha$不为零. 这样$\sum\rho_\alpha$有意义, 进一步要求和处处为$1$.
由于流形是仿紧的, 其上总存在单位分解. 对于给定的开覆盖$\{U_\alpha\}$(往往便取坐标图册中的开覆盖), 存在从属于它的单位分解, 即$\operatorname{supp} \rho_\alpha\subset U_\alpha$.
流形的定向
记微分同胚$T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$, $T(y)=x$，记$T_i=x_i\circ T$, $J(T)=\det (\frac{\partial {}T_i}{\partial {}y_j})$. 由于$T$是微分同胚, $J(T)$不为零, 所以要么恒正, 要么恒负. $J(T)>0$时称$T$保定向, 反之称为反定向.
一般的, 若是开集间的微分同胚, 则要求在所有连通分支上都恒正, 才称为保定向.
设$M$是光滑流形, $\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}$是坐标图册, 若$\,\forall\,U_{\alpha\beta}$非空时, 微分同胚$\phi_\beta\circ \phi_\alpha^{-1}: \phi_\alpha(U_{\alpha\beta})\rightarrow\phi_\beta(U_{\alpha\beta})$保定向, 则称坐标图册为定向坐标图册. 若$M$有一个定向坐标图册, 则称$M$可定向.
命题 1.2. $n$维流形$M$可定向当且仅当它有整体定义的处处非零的光滑$n$形式.
注意任意两个处处非零的$n$-形式$\eta,\eta’$, 他们之间只相差一个处处非零的函数$f$: $\eta=f\eta’$. 若$M$连通, 则$f$恒正或恒负. $f$为正时称$\eta,\eta’$等价. 于是$M$上每个处处非零的光滑$n$-形式都落在两个等价类中, 每个等价类称为$M$的一个定向, 记作$[M]$.
流形上的积分
设$\omega$为$\mathbb{R}^n$中具有紧支集的光滑$n$-形式: $\omega=f(x)dx_1\wedge \cdots\wedge dx_n$, 定义积分$\int_{\mathbb{R}^n}\omega=\int_{\mathbb{R}^n}fdx_1\cdots dx_n$.
设$T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$, $T(y)=x$为微分同胚, 则可以证明变量代换公式:
命题 1.3 (变量代换). $dT_1\wedge …\wedge dT_n=J(T)dy_1\wedge …\wedge dy_n$.
从而$T^\ast \omega=T^\ast fdT_1\wedge … \wedge dT_n=(f\circ T)J(T)dy_1\wedge …\wedge dy_n,$ 对上式积分得到
又由积分变换公式
因此$\int_{\mathbb{R}^n}T^\ast \omega=\pm \int_{\mathbb{R}^n}\omega$, 符号由$J(T)$正负决定.
现给出$M$上的积分. 选定定向$[M]$与相应的定向坐标图册$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$. 设$\{\rho_\alpha\}$是从属于$\{U_\alpha\}$的单位分解, 对$\tau\in H^n_{c}(M)$有分解$\tau=\sum_\alpha \rho_\alpha \tau$.
我们希望有 进而研究右式又希望
利用变量代换, 将积分拉回到$\mathbb{R}^n$进行
注意这里将被积形式零延拓到$\phi(U_\alpha)$外.
于是我们将$\int_{[M]}\tau:=\sum_\alpha \int_{\mathbb{R}^n}(\phi_\alpha^{-1})^\ast (\rho_\alpha\tau)|_{U_\alpha}$, 若方向明了则可改记$\int_{[M]}$为$\int_{M}$.
需要验证的是这个定义与定向坐标图册与单位分解无关. 关于这点我们可以基于两个不同的划分做更细的划分, 再将其做和, 从而得到两种不同划分得到的积分式是相等的.
带边流形
带边流形$M$的定向坐标图册诱导了边界处的定向坐标图册, 先定义好上半平面是如何诱导的, 再将任意$M$的边界处打到上半平面来决定诱导定向.
定理 1.1 (Stokes定理). $\int_Md\omega=\int_{\partial M}\omega|_{\partial M}$.
文章最后更新于 2021-09-19 19:06:22
- 本文标题：《代数拓扑与微分形式》笔记(2)-流形上的微积分
- 本文作者：DreamAR
- 创建时间：2021-09-19 19:06:22
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