《代数拓扑与微分形式》笔记(4)-庞加莱引理

de Rham上同调的Poincaré引理

本节我们希望证明, $H^\ast (\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1)\cong H^\ast (\mathbb{R}^n)$.

我们记$\pi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1\rightarrow \mathbb{R}^n$为投射, $s:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1$为零截面, 即$\pi(x,t)=x$, $s(x)=(x,0)$, $x\in \mathbb{R}^n$. 我们有$\pi\circ s=\mathrm{id}\Rightarrow s^\ast \circ\pi^\ast =\mathrm{id}.$ 但是$s\circ\pi \neq \mathrm{id}$, 不过确实有$\pi^\ast \circ s^\ast =\mathrm{id}$.

为了证明这一点, 类似代数拓扑中引入$D$, 我们引入同伦算子$K:\Omega^\ast (\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1)\rightarrow \Omega^{\ast -1}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1).$ 若$\mathrm{id}-\pi^\ast \circ s^\ast =\pm (dK \pm Kd)$, 则称$K$为同伦算子, 记$\pi^\ast \circ s^\ast \simeq \mathrm{id}$链同伦.

链同伦的两个映射作用到上同调群中的元素$\omega$上时, 因为$d\omega=0$, 只剩$\pm dK\omega$项, 是恰当形式. 因此两个映射在同调意义下相同, 从而$\pi^\ast \circ s^\ast =id$.

将$\Omega^\ast (\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1)$中的元素线性拆分为$\pi^\ast \phi\cdot f(x,t)$(无$dt$项), 和$\pi^\ast \phi\wedge f(x,t)dt$(含$dt$项). $\phi\in \Omega^\ast (\mathbb{R}^n)$. 现令$K:\pi^\ast \phi\cdot f(x,t)\mapsto 0, \pi^\ast \phi\wedge f(x,t)dt\mapsto \pi^\ast \phi\cdot \int_0^tf(x,u)du$.

引理 1.1. $K$为同伦算子.

计算$(\mathrm{id}-\pi^\ast s^\ast )$和$dK-Kd$作用在$\omega$上的值, 由线性性分别考虑上述两种情况, 得到$\mathrm{id}-\pi^\ast s^\ast =(-1)^{q-1}(dK-Kd)$即可. 式子比较长但计算比较简单, 需要注意符号.

从而, 我们有:

命题 1.2. $\pi^\ast$, $s^\ast$互为同构, $H^\ast (\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1)\cong H^\ast (\mathbb{R}^n)$.

以及推论:

推论 1.3. $H^q(\mathbb{R}^n)=H^q(\ast )= \begin{cases} \mathbb{R}, \quad &q=0\\ 0, &q\neq 0 \end{cases}$, 这里$\ast =\mathbb{R}^0$, 即单点空间.

更一般的, 我们有如下定理:

定理 1.4 (de Rham 上同调同伦公理). $M,N$为光滑流形, $f,g$是光滑同伦的两个从$M$到$N$的光滑映射, 则$f^\ast =g^\ast$.

证 取$F:M\times I\rightarrow N$ 为光滑同伦, $\,\forall\,\omega\in \Omega^q(N)$, $F^\ast \omega\in \Omega^q(M\times I)$. 局部将$F^\ast \omega$分解为$F^\ast \omega=\omega_1+\omega_2\wedge dt$, $\omega_1,\omega_2$分别是$q,q-1$形式.

仿照之前的构造方法, 构造$K$把$\omega$映为$0$, 把$\omega_2$中的函数项关于$t$积分. 这时再利用$F(x,0)=f(x)$, $F(x,1)=g(x)$, 利用简单的Leibnitz法则证明下式即可:

$$dK(F^\ast \omega)\pm Kd(F^\ast \omega)=g^\ast \omega-f^\ast \omega.$$

注意$dF^\ast =F^\ast d$, 因此上式成立意味着$KF^\ast$是同伦算子, $g^\ast \simeq f^\ast$, 在同调群意义下相等.

推论 1.5. 同伦等价的两个流形有相同的de Rham上同调.

特别地, 有:

推论 1.6. 若$A$为$M$的形变收缩, 则$A$与$M$有相同的de Rham上同调.

紧上同调的Poincaré引理

类似地, 对于紧上同调, 我们希望证明: $H^\ast _c(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1)\cong H^{\ast -1}_c(\mathbb{R}^n).$ 此时$\pi^\ast$不再能保持紧支集, 我们需要考虑一个新的映射$\pi_\ast$.

$\,\forall\,\omega\in \Omega^\ast _c(M\times \mathbb{R}^1)$, 将其按是否含$dt$项分为两种形式的线性组合, 即$\pi^\ast \phi\cdot f(x,t)$与$\pi^\ast \phi\wedge f(x,t)dt$, 其中$\phi\in \Omega^\ast (M)$, $f(x,t)\in C_c^\infty (M\times \mathbb{R}^1)$. 我们定义$\pi_\ast :\phi\cdot f(x,t)\mapsto 0$, $\phi\wedge f(x,t)dt\mapsto \phi\cdot\int_{\mathbb{R}^1}f(x,t)dt$.

经过简单的验证发现$d\pi_\ast =\pi_\ast d$是链映射, 从而可以诱导$\pi_\ast : H^q_c(M\times \mathbb{R}^1)\rightarrow H^{q-1}_c(M)$. 我们接下来找它的逆映射$e_\ast$.

定义$e_\ast :\Omega^q_c(M)\rightarrow \Omega_c^{q+1}(M\times \mathbb{R}^1)$, $e_\ast (\phi)=\pi^\ast \phi \wedge e$, 其中$e=e(t)dt\in \Omega_c^1(\mathbb{R}^1)$, $\int_{\mathbb{R}^1}e(t)dt=1$(如 bump 1-形式). 容易验证它也是链映射, 诱导了紧上同调群上的映射.

接下来就有如下命题:

命题 1.7. $\pi_\ast \circ e_\ast =\mathrm{id}$, $e_\ast \circ \pi_\ast \simeq \mathrm{id}$

证 第一部分显然, 主要需要构造同伦算子$K$连接$e_\ast$与$\pi_\ast$.

定义$K:\pi^\ast \phi\cdot f(x,t)\mapsto 0$, $\pi^\ast \phi\wedge f(x,t)dt\mapsto \pi^\ast \phi\cdot \int_{-\infty}^{t}f(x,u)du-\pi^\ast \phi\cdot A(t)\cdot \int_{\mathbb{R}^1}f(x,t)dt$, 其中$A(t)=\int_{-\infty}^t e(u)du$.

验证$id-e_\ast \circ \pi_\ast =(-1)^{q-1}(dK-Kd)$即可, 注意利用紧性, 很多积分积出来为$0$.

从而得到下面的命题:

命题 1.8. $\pi_\ast ,e_\ast$互为逆映射, $H_c^\ast (M\times \mathbb{R}^1)\cong H_c^{\ast -1}(M)$

以及推论:

推论 1.9. $H^q(\mathbb{R}^n)=\begin{cases} \mathbb{R}, \quad &q=n\\ 0, &q\neq n \end{cases}$.

通过$0$-形式的生成元$1$, 可以用$e_\ast$依次找到$n$-形式生成元$e(x_1)\cdots e(x_n){} dx_{1}\wedge\cdots\wedge{} dx_{ {}n}$, 是$\mathbb{R}^n$上的一个bump $n$-形式, 紧支集可任意小.

逆紧映射的度

接下来是紧支集Poincaré引理的应用, 给出了逆紧映射的光滑不变量.

若$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$光滑逆紧, 则有拉回$f^\ast :\Omega^\ast _c(\mathbb{R}^n)\rightarrow \Omega^\ast _c(\mathbb{R}^n)$, 诱导$f^\ast :H^\ast _c(\mathbb{R}^n)\rightarrow H^\ast _c(\mathbb{R}^n)$有定义.

取$[\alpha]\in H^n_c(\mathbb{R}^n)$为生成元, $\int_{\mathbb{R}^n}\alpha =1$, $f^\ast [\alpha]=c[\alpha]$, $c$称为$f$的度, 记作$\deg f$. 易见$\deg f=\int_{\mathbb{R}^n} f^\ast \alpha$. 令人意外的, $\deg f\in \mathbb{Z}$.

证明

首先给几个微分几何中的定义:

若$f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$为光滑映射, 则其诱导了$f_{\ast p}:T_p\mathbb{R}^m\rightarrow T_{f(p)}\mathbb{R}^n$为切映射. 若其非满, 则称$p$为临界点, $f(p)$为临界值. $\mathbb{R}^n$中其余点都是正则值.

命题 1.10. 若$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$非满, 则$\deg f=0$.

证 $f$逆紧, 从而$f(\mathbb{R}^n)$闭, $\mathbb{R}^n-f(\mathbb{R}^n)$开. 存在开集$U\subset \mathbb{R}^n-f(\mathbb{R}^n)$. 令生成元$[\alpha]$支集在$U$中, 则$f^\ast \alpha=0$, $\deg f=0$.

之后首先先承认一个定理:

定理 1.11 (Sard 定理). 对任意正整数$m,n$, 临界值集是$\mathbb{R}^n$零测集.

接下来证明主命题: $\deg f\in \mathbb{Z}$.

证 设$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$满, 由Sard定理, $f(\mathbb{R}^n)$中几乎处处为正则值. 设$q\in f(\mathbb{R}^n)$为正则值.

$\,\forall\,p\in f^{-1}(q)$, $f_{\ast p}$是满线性映射, 从而为同构. 由反函数定理, $f$在$p$点附近微分同胚. 于是$f^{-1}(q)$为离散点集. 又$f$逆紧, $q$点逆像紧, 从而$f^{-1}(q)$为有限点集, 记为$f^{-1}(q)=\{p_1,…,p_N\}$.

对每个$p_i$, 取$U_i\approx f(U_i)$, 使得$U_i\cap U_j=\varnothing$. 取$\alpha \in \Omega_c^n(\mathbb{R}^n)$支集在$\bigcap_i f(U_i)$里. 从而$\operatorname{supp}f^\ast \alpha\subset \bigcup U_i$.

$\int_{U_i}f^\ast \alpha=\pm \int_{f(U_i)} \alpha=\pm 1$, 符号由微分同胚Jacobi正负号决定. 于是$\int_{\mathbb{R}^n} f^\ast \alpha=\sum_{f^{-1}(q)}\pm 1\in \mathbb{Z}$.

文章最后更新于 2021-09-20 16:39:03