《代数拓扑与微分形式》笔记(5-1)-MV方法

MV方法指用MV序列+五引理, 给出对开覆盖开集个数归纳的证明方法. 该方法导出若干重要的定理, 十分有用.

好覆盖的存在性

设$M$为$n$维流形, 其上开覆盖$\{U_\alpha\}$称为好覆盖, 若任意非空有限交微分同胚于$\mathbb{R}^n$.

定理 1.1. 流形具有好覆盖. 特别地, 紧流形有有限好覆盖.

证: 流形上可赋予黎曼度量(将$\mathbb{R}^n$上度量拉回, 再利用单位分解). 令$U_x$为$x$点测地凸邻域, 微分同胚于$\mathbb{R}^n$, 由于有限多个测地凸邻域非空交也是测地凸邻域, 从而$\{U_x\}_{x\in M}$是$M$的一个好的开覆盖.

测地凸邻域的概念可参考黎曼几何的教材.

称开覆盖$\mathcal U$为$\mathcal V$的加细, 若每个$U$包含在某个$V$中. 由于测地凸邻域可任意小, 容易证明每个开覆盖有一个加细的好覆盖.

de Rham上同调维数有限性

命题 1.1. 若$M$有有限好覆盖, 则$\dim H^\ast (M)<\infty$.

证: 记$h^q(M)=\dim H^q(M)$. 由MV序列, $H^q(M)=H^q(U\cup V)\cong \ker r\oplus\operatorname{Im}r\cong \operatorname{Im}d^\ast \oplus \operatorname{Im}r$. 从而若$h^q(U), h^q(V), h^{q-1}(U\cap V)<\infty\Rightarrow h^q(U\cup V)<\infty$.

对有限好覆盖开集个数进行归纳, 当个数为 1 时, $M\approx \mathbb{R}^n$, 由 Poincaré 引理知结论成立.

归纳地, 假设流形具有开集个数不超过$p$个有限好覆盖时, 上同调维数有限. 若$M$具有有限好覆盖$\{U_0,…,U_p\}$. 取$W=U_0\cup … \cup U_{p-1}$, $V=U_p$. 则$W\cap V$有不超过$p$个的有限好覆盖$(\{U_0\cap U_{p},…,U_{p-1}\cap U_p\})$. 由归纳假设, $h^\ast (W\cap V), h^\ast (W), h^\ast (V)<\infty$, 从而$H^\ast (W\cup V)=H^\ast (M)<\infty$.

同理可证:

命题 1.2. 若$M$具有有限好覆盖, 则$\dim H_c^q(M)<\infty$.

定向流形的Poincaré对偶

设$V,W$为有限维向量空间, 设其间有配对$\left<{}-,-\right>:V\otimes_\mathbb{R}W\rightarrow \mathbb{R},$ 为一个双线性映射, 则其诱导两个线性映射:

$$l_V:V\rightarrow W^\ast , v\mapsto \left<{}v,-\right>,$$ $$l_W:W\rightarrow V^\ast , w\mapsto \left<{}-,w\right>.$$

这里$V^\ast$, $W^\ast$指$V,W$的对偶空间. 若两诱导映射都是单射, 则称配对$\left<{},\right>$非退化.

引理 1.1. $\left<{}-,-\right>$非退化当且仅当诱导映射$l_V$为同构.

由于$V,W$都是有限维的, 做简单的泛函分析即可.

假定$M$为$n$维定向光滑流形, 具有有限好覆盖. 则$H^q(M)$, $H^{n-q}_c(M)$为两个有限维向量空间. 定义配对$\int_M:H^1(M)\otimes_\mathbb{R}H^{n-q}_c(M)\rightarrow \mathbb{R}$, $([\omega],[\tau])\mapsto \int_M \omega \wedge \tau$. 由Stokes定理, 该配对是良定的.

定理 1.2. 若$n$维定向光滑流形$M$有有限好覆盖, 则配对$\int_M$非退化, 等价地, 我们有$H^q(M)\cong (H^{n-q}_c(M))^\ast , H_c^{n-q}(M)\cong (H^q(M))^\ast$

证明前先做一些准备工作:

引理 1.2. 我们有如下带符号的交换图表, 如对最右侧的交换性, 即取$[\omega]\in H^q(U\cap V)$, $[\tau]\in H_c^{n-q-1}(U\cup V)$, 有$\int_{U\cup V}d^\ast \omega\wedge \tau=\pm \int_{U\cap V}\omega\wedge d_\ast \tau$.

已经证明过$d^\ast ,d_\ast$与单位分解选取无关, 因此不妨用同一个单位分解, 将$d^\ast ,d_\ast$的映射具体地给出即可.

于是配对$\int$诱导了下面带符号的交换图表:

之后便可以借助五引理(Five Lemma)证明主命题了.

证: 由上正合列与五引理, 若 Poincaré 对偶在$U$, $V$, $U\cap V$上成立, 则在$U\cup V$上也成立.

对有限好覆盖开集个数归纳证明: 若仅有一个好覆盖, 由 Poincaré 引理得证.

若其对有限好覆盖开集个数不超过$p$的流形成立, 设$M$有好覆盖$\{U_0,…,U_p\}$, 令$W=U_0\cup …\cup U_{p-1}$, $V=U_p$, 则$M,V,M\cap V$好覆盖开集数均不超过$p$, 从而$M=U\cup V$上成立Poincaré对偶.

若没有有限好覆盖, 则有如下定理:

定理 1.3. 若$M$为定向$n$维流形, 上同调不必是有限维的, 则:$H^q(M)\cong (H^{n-q}_c(M))^\ast$

也就是另一个同构关系不一定对, 因为直和的对偶是直积, 但直积的对偶不是直和. 如当$M$可被分解为$M=\sqcup_i M_i$, 可列个$M_i$每个均有有限开覆盖时, $H^k(M)=\prod_i H^k(M_i)$, 但$H_c^{k}(M)=\oplus_i H^{k}_c(M_i)$, 因为其需要具有紧支集.

那么此时$(H_c^{n-q}(M))^\ast =\prod(H_c^{n-q}(M_i))^\ast \cong \prod H^q(M_i)=H^q(M)$. 而另一个同构不一定成立.

由对偶关系, 即有:

推论 1.1. 若流形$M$连通可定向, 则$H^n_c(M)\cong \mathbb{R}$, 特别地, 若$M$还是紧的, 则$H^n(M)\cong \mathbb{R}$.

闭定向子流形的Poincaré对偶

设$M$为$n$维定向流形.

闭无边定向子流形

假设$S$为$M$的$k$维闭无边定向子流形, 考虑$\omega\in Z_c^k(M)$, $\operatorname{supp}(i^\ast \omega)$也是$M$中的闭集, 从而$\operatorname{supp}(i^\ast \omega)\subset \operatorname{supp}\omega$紧, $\int_Si^\ast \omega$有意义.

另一方面, $\,\forall\,\omega \in B_c^\ast (M)$, $\omega=d\phi$, 同理$\operatorname{supp}(i^\ast \phi)$紧. 进一步, 存在闭集$B$, $\operatorname{supp}(i^\ast \phi)\subset B$且$\partial B$为光滑$k-1$维子流形或空集, 则由Stokes定理, $\int_Si^\ast \omega=\int_Bd(i^\ast \phi)=0$.

综上, $\int_S i^\ast$定义了$H_c^k(M)$上的一个线性泛函, 于是存在唯一的$[\eta_S]\in H^{n-k}(M)$, $\int_S i^\ast \omega=\int_M\omega\wedge \eta_S$. $[\eta_S]$或其任意代表元称为$S$的(闭)Poincaré对偶.

紧致无边定向子流形

当$S$紧时, 由于流形是$T_2$的, 当然$S$也是闭的, 上述讨论可以继承.

$\,\forall\,[\omega]\in H^k(M)$, 由紧性, 积分$\int_S i^\ast \omega$有意义. 此时它定义了$H^k(M)$上的一个线性泛函, 于是设$M$有有限好覆盖, 则便对应唯一的$[\eta_S’]\in H^{n-k}_c(M)$, 满足$\int_Si^\ast \omega=\int_M \omega\wedge\eta_S’$. $[\eta_S]$便称为$S$的紧Poincaré对偶.

容易看出自然映射$H_c^{n-k}(M)\rightarrow H^{n-k}(M)$把紧Poincaré对偶映为闭Poincaré对偶. 然而这两个可能有很大的区别, 如非零的紧Poincaré对偶可能被映为$0$.

局部化原理

取紧定向$k$维子流形$S$在$M$中的开邻域$W$, 即$S\subset W\subset M$, 那么将$S$在$W$中的紧Poincaré对偶零延拓到$M$上, 则容易验证它也是$M$中的紧Poincaré对偶.

这就是局部化原理: $S$在$M$中紧Poincaré对偶的支集可缩小到$S$的任一开邻域中.

文章最后更新于 2021-09-21 17:25:28