《代数拓扑与微分形式》笔记(5-2)-Künneth公式

Künneth公式

设$M$, $F$是流形, 且$M$的de Rham上同调的维数是有限的, 则

$$H^n(M\times F)=\sum_{p+q=n} H^p(M)\otimes_\mathbb{R}H^q(F).$$

证: 假定$M$有有限好覆盖. 取$M\times F$到$F$, $M$的投射为$\rho,\pi$, 则其诱导$\psi:\Omega^{\ast }(M)\otimes \Omega^\ast (F)\rightarrow \Omega^\ast (M\times F)$, $\psi(\omega\otimes \phi)=\pi^\ast \omega\wedge \rho^\ast \phi.$ 由于$\pi^\ast$, $\rho^\ast$与$d$可交换, $\psi$可约化到上同调间的映射.

若$M\approx \mathbb{R}^m$(好覆盖仅为一个开集), 则由Poincaré引理, $H^n(\mathbb{R}^m\times F)=H^n(\mathbb{R}^{m-1}\times F)=\cdots=H^n(F)=H^0(\mathbb{R}^m)\otimes H^n(F)= \sum_p H^{p}(\mathbb{R}^m)\otimes H^{n-p}(F).$

设$U,V$为$M$的开集, 固定$n$, 做上同调的MV序列. 将每项与$H^{n-p}(F)$做张量积, 再把每项关于$p$做直和, 得到新的MV序列. 该MV序列又可通过链映射$\psi$打到$M\times F$对应的MV序列上, 由zig-zag引理该图可交换.

交换图有点大...不打了先.

从而借助MV序列, 若Künneth公式对$U,V,U\cap V$成立, 其对$U\cup V$也成立. 由MV方法, 归纳好覆盖开集个数即可.

Leray-Hirsch定理

$M\times F$可看作$M$上以$F$为纤维的平凡纤维丛, 因此Künneth公式可以推广到更一般的情形, 这就是Leray-Hirsch定理. 先介绍一些纤维丛的概念.

设$G$是拓扑群, $F$是拓扑空间, 设$G$对$F$有一个左作用, 即$\,\forall\,g\in G$定义了一个连续同胚$g:F\rightarrow F$, 满足 $g_1(g_2(v))=(g_1g_2)(v)$, $\,\forall\,g_1,g_2\in G$, $v\in F.$ 称作用是有效作用, 若$g(y)=y$, $\,\forall\,y\in F\Rightarrow g=1\in G.$

在此基础上, 再加入$E,B$为拓扑空间, $\pi:E\rightarrow B$是连续满射. 设$B$有开覆盖$\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$满足:

(i) 对每个$\alpha\in I$, 有保纤维的同胚: $\phi_\alpha:E_{U_\alpha}:=\pi^{-1}(U_\alpha)\rightarrow U_\alpha\times F$, 即$\phi_\alpha$是同胚且$\operatorname{pr}_1\circ\phi_\alpha=\pi.$

(ii) $\phi_\alpha,\phi_\beta$诱导了$g_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\rightarrow G$, $(\phi_\alpha\circ \phi_\beta^{-1})(x,v)=(x,g_{\alpha\beta}(x)(v)).$

则称$\pi:E\rightarrow B$是以$F$为纤维的纤维丛, 结构群为$G$, 底空间为$B$, 全空间为$E$. $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in I}$为纤维丛的一个局部平凡化. 对$x\in B$, $\pi^{-1}(x)$即称为点$x$的纤维, 记作$E_x$.

在研究上同调时, 假定$E,B,F$是光滑流形, $G$无特殊说明为$F$的微分同胚群$\operatorname{Diff}(F)$.

设$\pi:E\rightarrow M$是以$F$为纤维的光滑纤维丛. 假定$E$上有上同调类$e_1,…,e_r$, 限制在每条纤维$E_x$上形成了$H^\ast (E_x)$的一组基, 则可定义

$$\psi:H^\ast (M)\otimes \mathbb{R}\{e_1,...,e_r\}\rightarrow H^\ast (E).$$

定理 1.1 (Leray-Hirsch 定理). 在上述假定下, 若$M$有有限好覆盖, 则$\psi$是同构, 有$H^\ast (E)\cong H^\ast (M)\otimes \mathbb{R}\{e_1,…,e_r\} \cong H^\ast (M)\otimes H^\ast (F).$

证: 由于有限好覆盖中的$U_\alpha\approx \mathbb{R}^n$为可缩空间, 其上纤维丛平凡, 对$E|_{U_\alpha}$的Leray-Hirsch定理退化为$U_\alpha\times F$的Künneth公式.

用MV方法即可借助好覆盖, 将该论断归纳到$M$上.

文章最后更新于 2021-09-22 18:30:43