《代数拓扑与微分形式》笔记(6-1)-向量丛基础

主要为了讨论紧垂直上同调与Thom类.

向量丛的局部平凡化

延续上节记号.

$E_x=\pi^{-1}(x)$是向量空间. 若$\,\exists\,\{U_\alpha\}$为$M$的开覆盖, 其上有微分同胚$\phi_\alpha:E_{U_\alpha}=\pi^{-1}(U_\alpha)\rightarrow U_\alpha\times \mathbb{R}^n$, 将$E_x\mapsto \{x\}\times \mathbb{R}^n$, 且该映射为向量空间的同构, 则称$\pi$为秩$n$的光滑(实)向量丛, $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$为局部平凡化, $E$与$M$称为全空间与底流形.

向量丛为纤维为$\mathbb{R}^n$, 结构群为$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$的纤维丛. 若将$\mathbb{R}$都换为$\mathbb{C}$, 即为复向量丛. 我们默认讨论光滑实向量丛.

光滑映射$s:U\rightarrow E$称为截面, 若$\pi\circ s=id$, 即要求$s(x)\in E_x$. $E$在$U$上所有截面全体记为$\Gamma(U,E)$. 零截面指$s: M\rightarrow E$, $s(x)=0_x\in E_x$. $U$上的$n$个截面$s_1,…,s_n$称为标架, 若对于每点$x\in U$, $s_1(x),…,s_n(x)$为$E_x$的一组基.

局部平凡化上的自然标架为$\varepsilon_1^\alpha, …,\varepsilon_n^\alpha$, 由 $\varepsilon_i^\alpha(x)=\phi_\alpha^{-1}(x,e_i)$定义. 其中$e_1,…,e_n$为标准单位基. 反过来, 标架$s_1,…,s_n$也给出$E|_U$的平凡化: $\phi(\sum v_is_i(x))=(x,(v_1,…,v_n))$, 即将$E|_x$上的坐标直接打为$\mathbb{R}^n$上的坐标.

标架与局部平凡化之间的相互转化是研究向量丛的基本方法.

向量丛本质: 转移函数. $\,\forall\,x\in U_{\alpha\beta}$, $\phi_{\alpha}\circ(\phi_\beta)^{-1}:\{x\}\times \mathbb{R}^n\rightarrow \{x\}\times \mathbb{R}^n$为自同构. 存在$g_{\alpha\beta}(x)\in \operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$使得, $\,\forall\,v\in \mathbb{R}^n$, $\phi_\alpha\phi_\beta^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha\beta}(x)v)$.

其满足cocycle条件: $g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}^{-1}\:\:\text{on}\:\:U_{\alpha\beta};$ $g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma} \:\:\text{on}\:\:U_{\alpha\beta\gamma}.$

引理 1.1. 若有另一平凡化$\{(U_\alpha,\phi_\alpha’)\}$诱导转移函数$g_{\alpha\beta}’$, 则存在光滑矩阵映射$\lambda_\alpha,\lambda_\beta$, 使得$g_{\alpha\beta}(x)=\lambda_\alpha(x)g’_{\alpha\beta}(x)\lambda^{-1}_\beta(x)$.

证: 注意到$\phi_\alpha\circ{\phi’_\alpha}^{-1}$为自同构, 可定义$\lambda_\alpha$, 使得$\phi_\alpha{\phi’_\alpha}^{-1}(x,v)=(x,\lambda_\alpha(x)v).$ 类似地, 定义$\lambda_\beta.$ 接下来, 在$\phi_\alpha\phi_\beta^{-1}$中合适地插入$\phi_\alpha’,\phi_\beta’$ 即可.

定义两个转移函数等价即为存在这样的光滑矩阵映射使得他们相抵, 注意这里转移函数允许源于两个不同的向量丛. 所以同一向量丛两个不同平凡化, 对应的转移函数等价.

光滑映射$f:E\rightarrow E’$称为丛映射,H 若其将每根纤维映到纤维, 且是线性的. 也成为同态, 记其全体为$\operatorname{Hom}(E,E’).$ 当限制在纤维上是同构时, 也称$f$为同构, $E$和$E’$同构.

结构群的约化

若$\pi:E\rightarrow M$存在局部平凡化, 转移函数只取值于$GL(n,\mathbb{R})$的子群$H$, 那么称向量丛$E$的结构群可约化到$H$.

也就是对于一般的转移函数$g$, 我们希望找到等价的$g’$只取值于较好的$H$. 一般的, $H$为(特殊)正交群和行列式为正的$GL^+(n,\mathbb{R}).$ 若确实可约化到$GL^+(n,\mathbb{R})$, 则称向量丛$E$可定向. 称局部平凡化定向, 若$\det g_{\alpha\beta}>0$. 称两个定向平凡化等价, 若 $\phi_\alpha{\phi_\alpha’}^{-1}$Jacobian为正.

这样若$M$连通, $E$的所有定向平凡化分为两个等价类, 每个等价类为一个定向. 给定定向的可定向向量丛称为定向向量丛.

命题 1.1. 秩$n$的向量丛$E$结构群总能约化到$O(n)$. 能约化到$SO(n)$当且仅当$E$可定向.

证: 通过自然标架诱导局部内积, 再利用单位分解合成整体内积. 之后做Gram-Schimit正交化定义新的正交单位标架, 给一个局部平凡化即可.

向量丛的计算

设$E$为秩$n$向量丛, $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$为局部平凡化, 转移函数$g_{\alpha\beta}$; $E’$为秩$m$向量丛, $\{(U_\alpha,\phi’_\alpha)\}$为局部平凡化, 转移函数$g’_{\alpha\beta}$. 可以假设两个开覆盖一样是因为$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$和$\{(U_{\alpha \beta},\phi_{\alpha})\}$是等价的, 开覆盖$\{U_{\alpha \beta}\}$为开覆盖$\{U_\alpha\}$和$\{U_\beta\}$交织而成.

直和: $E\oplus E’$为一个秩$n+m$向量丛, 局部平凡化为$\{(U_\alpha, \phi_\alpha\oplus\phi_\alpha’)\}$, 转移函数为$\begin{pmatrix} g_{\alpha\beta}&0\\ 0&g_{\alpha\beta}’ \end{pmatrix}$

张量积: $E\otimes E’$为一个秩$nm$向量丛, 局部平凡化为$\{(U_\alpha,\phi_\alpha\otimes\phi_\alpha’)\}$, 转移函数为$g_{\alpha}\otimes g_{\alpha}’.$

$\operatorname{Hom}(E,E’)$为$E$到$E’$丛映射全体, 同构于$E^\ast \otimes E’.$

对偶丛: 回忆泛函分析中, $f:V\rightarrow W$为有限维空间上的线性泛函, $f^\ast :W^\ast \rightarrow V^\ast$为对偶空间上的线性泛函, 它的表示矩阵为$f$表示矩阵的转置, 因此我们也以$f^t$记$f^\ast$.

$E^\ast$即为$E$的对偶空间, 称为对偶丛. 局部平凡化为$\{(U_\alpha,{(\phi^t_\alpha)}^{-1})\}$. 转移函数$(g_{\alpha\beta}^t)^{-1}$.

拉回丛: 设有$f:N\rightarrow M$为光滑映射, 则可构造向量丛: $\pi:f^{-1}E\rightarrow N$, 称为$E$由$f$的拉回丛.

$f^{-1}E=\{(y,e)|f(y)=\pi(e)\}\subset N\times E.$ 即对每点$y\in N$, 将$f(y)\in M$的纤维$E|_{f(y)}$移植过来称为$f^{-1}E|_{y}$. 它是$N\times E$的唯一最大子集, 使得$\pi \circ (f\times \mathrm{id}) =f\circ \operatorname{pr}_1$.

乘积丛的拉回丛为乘积丛, 因此$f^{-1}E$可局部平凡化, 转移函数为$f^\ast g_{\alpha\beta}$.

向量丛的同伦性

定理 1.1 (向量丛的同伦性质). 设$Y$是紧流形, $f_0,f_1:Y\rightarrow X$同伦且$\pi:E\rightarrow X$是向量丛, 则$f_0^{-1}E\cong f_1^{-1}E$, 即同伦映射诱导同构丛.

证: 只需证$\,\forall\,t_0\in I$, $\,\exists\,\varepsilon>0$, $\,\forall\,t\in O(t_0,\varepsilon)$, $f_{t}^{-1}E\cong f_{t_0}^{-1}E$. 由$I$紧性则结论成立.

其中$f:Y\times I\rightarrow X$为$f_0,f_1$间的同伦映射, $f_t(y)=f(y,t)$. 取$\pi:Y\times I\rightarrow Y$为投射, 则$f^{-1}E|_{Y\times \{t_0\} }\cong\pi^{-1} f_{t_0}^{-1}E|_{Y\times \{t_0\} },$ 即将$f(y,t_0)$分为两步:$f_{t_0}(\pi(y,t_0)).$

回忆$\operatorname{Hom}(f^{-1}E,\pi^{-1}f^{-1}_{t_0}E)$也是一个向量丛, 每根纤维是所有线性映射全体; 取其子群$\operatorname{Iso}(f^{-1}E,\pi^{-1}f^{-1}_{t_0}E)$, 每根纤维是其中的同构全体. 因此我们只需要给出一个$(Y,t_0)$附近的一个截面即可.

我们取$\operatorname{Hom}(f^{-1}E,\pi^{-1}f^{-1}_{t_0}E)$的一个局部平凡化$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$, 由于$Y,I$紧, 由管状邻域引理(拓扑学), $\,\exists\,Y\times O(t_0,\varepsilon)$被有限个$U_\alpha$包含, 使得每个$(y,O(t_0,\varepsilon))$在某个$U_\alpha$内.

取$Y$的坐标邻域$\{V_k\}$覆盖$Y$, 使得$V_k\times O(t_0,\varepsilon)$包含在某个$U_\alpha$内. 截面$s(y,t_0)$已经在$Y$上整体定义. 在每个局部平凡化邻域内, $\operatorname{Hom}(f^{-1}E,\pi^{-1}f^{-1}_{t_0}E)$的$V_k\times O(t_0,\varepsilon)$上的纤维, 均可视为欧氏空间, 从而在其上任意将截面向外延拓. 即从$s(y,t_0)$出发, 延拓为$s(y,t)$, $(y,t)\in V_k\times O(t_0,\varepsilon).$ 进一步, 利用从属于$\{V_k\}$的单位分解将每个$V_k$上的延拓合并, 形成$Y\times O(t_0,\varepsilon)$上的整体延拓, 从而截面在条状区域内整体定义.

延拓时注意, 非同构线性映射全体为闭集, 因此我们可以在开集内进行延拓. 截面给出了, 从而同构在$t_0$附近成立. 由紧性, 在$I$上成立, 特别地, $f_0^{-1}E\cong f_1^{-1}E.$

推论 1.1. 可缩空间上的向量丛是平凡丛.

文章最后更新于 2021-09-23 14:45:08