《微分流形》第一章-微分流形(2)

拓扑流形

• 局部道路连通(坐标邻域);

• 连通$\Leftrightarrow$道路连通(局部道路连通);

• 连通分支可数(第二可数性);

• 局部紧(局部欧氏).

第二可数性 + 局部紧 $\Rightarrow$ 仿紧性(任意开覆盖有开的, 局部有限的加细).

局部有限: 称覆盖$\{A_\alpha\}$是局部有限的, 若$\,\forall\,p\in M,$ $\,\exists\,$邻域$U\ni p$使得$U$只与有限个$A_\alpha$相交.

微分流形例子

研究微分流形上的微积分需要$C^\infty$微分结构$[\mathcal{F}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}].$ $C^\infty$流形=拓扑流形+$C^\infty$结构.

$M$为$C^\infty$流形, $[\mathcal{F}]=[\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}],$ $U\subset M$为开子集. 那么$U$也是拓扑流形, 同时有诱导的$C^\infty$坐标图册$[\mathcal{F}_U]=[\{U_\alpha\cap U,\varphi_\alpha|_{U\cap U_\alpha}\}]$, 从而$U$也是$C^\infty$流形, 称为开子流形.

$m$阶方阵全体$M_m=\{(a_{ij})_{m\times m}|a_{ij}\in \mathbb{R}\}\leftrightarrow \mathbb{R}^{m^2},$ 为向量空间的同构. 因此也可视为一个$C^\infty$流形.

$GL(m,\mathbb{R}):=\{A\in M_{m}|\det A\neq 0\}\subset M_m=\mathbb{R}^{m^2}.$ $\det:M_m\rightarrow \mathbb{R}$为连续函数. 由于$GL(m,\mathbb{R})=(\det)^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{0\})$为$M_m$的开子集, 它是开子流形. 因此$GL(m,\mathbb{R})$也是一个$m^2$维$C^\infty$流形, 称为($\mathbb{R}$上)一般线性群, 以矩阵乘法为群上运算.

后面将说明, 矩阵乘法与求逆运算均为$C^\infty$流形间的$C^\infty$映照, 给出了其上两种结构($C^\infty$流形结构与群结构)之间的关系. 这样的群称为李群(Lie Group).

设$(M^m,[\mathcal{F}=\{(U_{\alpha},\varphi_\alpha)\}]),$ $(N^n,[\widetilde {\mathcal{F} }=\{(V_\beta,\psi_\beta)\}])$是$C^\infty$流形. 赋予$M^m\times N^n$积拓扑, 即$U\times V$为开子集当且仅当两者分别为各自空间开子集. 容易验证$M^m\times N^n$是一个$m+n$维拓扑流形, 以$[\mathcal{F}\times \widetilde {\mathcal{F} }:=\{(U_{\alpha}\times V_{\beta},\varphi_\alpha\times \psi_\beta)\}]$为$C^\infty$坐标图册, 成为$C^\infty$微分流形. 称$M\times N$为$M,N$的积流形. 可归纳定义$M_1\times\cdots\times M_k.$

$\mathbb{R}^{m+1}\setminus \{0\}$引入等价关系$\sim,$ $x\sim y\Leftrightarrow x=\lambda y.$ 商空间$M=\mathbb{R}^{m+1}\setminus\{0\}/_\sim,$ 赋予商拓扑, 即$U\subset M$为开子集$\Leftrightarrow$ $\pi^{-1}(U)$为原空间开子集, 其中$\pi:x\mapsto [x]$为自然投影. $[x]$可视为过原点的直线, 或球面上的两点粘贴. 可以说明商拓扑是Hausdorff, 第二可数的.

令开集$U_i=\{[x=(x^1,\cdots,x^{m+1})]\in M|x^i\neq 0\},$ $(x^1,\cdots,x^{m+1})$称为$[x]$的齐次坐标. $M=\bigcup_{i=1}^{m+1} U_i.$ 定义同胚$\varphi_i:U_i\rightarrow \mathbb{R}^m,$ $[x]\mapsto\frac{1}{x_i}(x^1,\cdots, \widehat{x^{i} },\cdots, x^{m+1}).$ $(U_i,\varphi_i)$即为$M$的一个坐标图册. 称对应的坐标为非齐次坐标.

记$\xi_{(i)}^k=\frac{x^k}{x^i}.$ 任取$1\le i<j\le m+1,$ $U_i\cap U_j$上坐标变换为$\xi_{(i)}^j\mapsto \xi_{(j)}^i=\frac{1}{\xi_{(i)}^j},$ $\xi_{(i)}^l\mapsto \xi_{(j)}^l=\frac{\xi^l_{(i)} }{\xi_{(i)}^j},$ $l\neq i,j,$ 是$\mathbb{R}^m$上的$C^\infty$映射, 因此坐标图册是$C^\infty$的. 从而$(M,[\{(U_i,\varphi_i)\}])$成为$m$维$C^\infty$流形, 记为实射影空间$\mathbb{R}\mathrm{P}^m.$

取$\mathbb{R}^N$为$N$维欧氏空间, 记$G_{k,N}=\{\text{$P$为$\mathbb{R}^N$的$k$维子空间}\}.$ 赋予拓扑与$C^\infty$结构使之成为一个$C^\infty$流形, 称为Grassman流形. 易见$G_{1,N}=\mathbb{R}\mathrm{P}^{N-1}.$

流形间的映射

设$(M^m,[\mathcal{F}])$是$C^\infty$流形, $f:M\rightarrow \mathbb{R}.$ $\,\forall\,p\in M,$ 若存在含$p$的允许坐标系$(U,\varphi)$使$f\circ \varphi^{-1}\in C^\infty(\varphi(U)),$ 则称$f$在$p$点是$C^\infty$的. 称$(f\circ \varphi^{-1})(x^1,\cdots,x^m)$为局部表示. 这里允许坐标系指包含在$[\mathcal{F}]$极大坐标图册中的坐标卡. 如果$f$点点$C^\infty,$ 则称$f\in C^\infty(M).$

注 1.1. 上述概念与坐标系选取无关. 注意$f$在$p$点$C^\infty$等价于$f\circ \varphi^{-1}$在$\varphi(p)$某个小邻域$C^\infty.$

注 1.2. 类似可给出$f$在$p$点是$C^r$的, 以及$f\in C^r(M)$的定义.

文章最后更新于 2021-09-25 16:22:50