《微分流形》第一章-流形间的映射

映射的微分学

映射

$M^m$是$C^\infty$流形, $f:M\rightarrow \mathbb{R},$ $p\in M.$ 若$\,\exists\,$含$p$点允许坐标系$(U,\varphi)$(即$\in [\mathcal{F}]$)使$f\circ \varphi^{-1}$在$\varphi(p)$的某个邻域内是$C^\infty$的, 则称$f$在$p$点$C^\infty.$ 若$f$点点光滑, 则称$f\in C^\infty(M).$

允许坐标系限制在更小的开子集上显然仍是允许坐标系, 因此上述定义等价于存在某个允许坐标系使得$f\circ \varphi^{-1}$在整个$\varphi(U)$上是$C^\infty$的.

由于坐标变换是光滑的, 上述概念与允许坐标系选择无关. 类似地, 可以定义$f$在$p$点是$C^r$的, 或$f\in C^r(M).$

映照

设$M^m,N^n$是光滑流形, $F:M\rightarrow N,$ $p\in M.$ 若存在含$p,q=F(p)$的允许坐标系$(U,\varphi),(V,\psi),$ $F(U)\subset V,$ 使得局部表示$\widehat{F}:=\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$在$\varphi(p)$某邻域是$C^\infty$的, 则称$F$在$p$点是$C^\infty$的. 若$F$点点$C^\infty,$ 则称$F$是光滑映照, 记为$F\in C^\infty(M,N).$

注 1.1. 若$F(U)\not\subset V,$ 则可取$\widetilde{U}=F^{-1}(V)\cap U.$

同理上述概念与允许坐标系选取无关.

微分同胚

如果$(U,\varphi)$是$M$的允许坐标系, 则$\varphi:U\rightarrow \varphi(U)$及$\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow U$依定义显然是光滑的, 再取同样的允许坐标系$(U,\varphi)$说明即可. 注意$U$从$M$上诱导光滑结构, 为开子流形, 而非嵌入到外围空间的子流形(微分结构不同), 如$\widetilde{\varphi}:U\rightarrow \varphi(U)\hookrightarrow \mathbb{R}^k$不见得光滑.

易见光滑映照的复合仍是光滑映照.

设$F:M\rightarrow N$是光滑流形间的双射. 如果$F,F^{-1}$是光滑的, 则称$F:M\rightarrow N$是$C^\infty$微分同胚. 两个微分同胚的光滑流形视为一样的.

例如球极投影$F:S^2\setminus\{p\}\rightarrow\mathbb{R}^2$, scaling $B^n(1)\rightarrow \mathbb{R}^n$都是光滑同胚.

微分结构问题

一个基本问题是, 给定拓扑流形$M^m,$ 其上是否一定存在$C^\infty$结构? 存在的话是否(在$C^\infty$同胚意义下)唯一? 若$M$有两个微分结构, 问是否有光滑同胚$(M,\mathcal{F}_1)\approx (M,\mathcal{F}_2).$ 注意同胚的选取不见得取恒等映射$\mathrm{id},$ 因此不能简简单单只验证$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2$是否$C^\infty$相容.

已知结果:

• $\mathbb{R}^m,$ $m\neq 4$上存在唯一的$C^\infty$结构;

• $\mathbb{R}^4$上存在无穷多个互不等价的$C^\infty$结构;

• $S^7$-Milnor怪球上存在28种互不等价的$C^\infty$结构;

• 维数$m\le 3$的拓扑流形上存在唯一的$C^\infty$结构;

• $\,\forall\,m>3,$ 都存在$m$维拓扑流形, 其上不存在$C^\infty$结构.

下面假设拓扑流形都给定了$C^\infty$结构.

切空间

给定光滑流形$M^m,$ 我们尝试内蕴地推广切向量, 切平面的概念. 将曲线$C:(a,b)\rightarrow M^m$视为光滑流形间的映照, 我们可以定义光滑曲线的概念. 设$C(t_0)=p,$ 用$C_p^\infty(M)$表示$M$上在$p$处光滑的函数全体, 我们称映照(方向导数算子)$X:C_p^\infty(M)\rightarrow \mathbb{R},$ $f\mapsto \frac{d}{dt}[f(c(t))]|_{t=t_0}$为$C(t)$在$p$处切向量, 即求方向导数的运算过程蕴含了该方向本身.

上述”切向量”$X$满足$X(af+bg)=aX(f)+bX(g),$ $X(f\cdot g)=X(f)g(p)+f(p)X(g).$ 取$\widetilde{T}_pM=\{\widetilde{X}:C_p^\infty\rightarrow \mathbb{R}\text{满足(1),(2)}\}.$ $(\widetilde{X}_1+\widetilde{X}_2)f:=\widetilde{X}_1(f)+\widetilde{X}_2(f),$ $(x\widetilde{X})(f):=a\widetilde{X}(f).$ 容易验证$\widetilde{X}_1+\widetilde{X}_2,$ $a\widetilde{X}$满足$(1),(2),$ 即$\widetilde{T}_pM$是向量空间.

$C_p^\infty(M)$和$C^\infty(M)$不同, 后者为向量空间, 但前者不是, 因为零元并不唯一. 原因是前者的加法仅在公共光滑邻域上做加法. 因此$X$也暂时不是线性映射.

我们引入等价关系来改变这一状况: 记$f\sim g\Leftrightarrow \,\exists\,p$点小邻域$W,$ 使得$f|_W=g|_W.$ 称$[f]$为$C^\infty$函数芽, $C_p^\infty(M)/_\sim$为$C^\infty$函数芽空间$\mathcal{F}_p^\infty.$ $X$可以诱导其上的映射, 仍记为$X:\mathcal{F}_p^\infty\rightarrow \mathbb{R},$ $[f]\mapsto Xf.$ 它也满足类似前面$(1),(2)$的性质. 此时$\mathcal{F}_p^\infty$确实是向量空间, 因此$X$成为线性映射.

文章最后更新于 2021-09-26 16:39:45