《微分流形》讨论稿-解析流形

解析流形

微分学

回忆$C^\omega$结构$[\mathcal{F}]$指坐标图册$\mathcal{F}$中的所有坐标卡$(U,\varphi)$彼此是$C^\omega$相容的, 即每个坐标变换$\psi\circ\varphi^{-1}\in C^\omega,$ 是解析的.

定义 1.1. $m$维$C^\omega$流形=$m$维拓扑流形+$C^\omega$结构[$\mathcal{F}$].

称$C^\omega$流形为解析流形. 在光滑流形上能够研究的微分学在解析流形上都能研究, 除此之外, 可以研究解析流形上函数的解析性, 这是由解析函数的复合仍是解析函数保证的. 只需取合适的开球, 让内函数值域落在外函数收敛域上即可.

例子

不解析的光滑流形

记$f(x)=\operatorname{sgn}(x)e^{-\frac{1}{x^2} }\in C^\infty(\mathbb{R}),$ 令其图像作为$1$维拓扑流形$M.$ 取$[\{(M,\operatorname{pr}_x),(M,\operatorname{pr}_y)\}]$为坐标图册, 那么这个图册就是$C^\infty$而非$C^\omega$的. 因为在$\mathbb{R}$上, $\operatorname{pr}_y\circ \operatorname{pr}_x^{-1}$就是$f,$ 是一个光滑不解析函数. 从而转移函数光滑不解析, 图册仅是$C^\infty$的, $M$在该图册下成为一个光滑流形, 而非解析流形.

注意到其实$M\approx \mathbb{R},$ 整体欧氏, 根本就不需要转移函数, 因此可以是任意$\ast $-图册, $\ast $为对转移函数的要求. 如把$M$投影到$x$轴或$y$轴上. 但现将两个图册拼起来反而只能是$C^\infty$的了, 因为这两个图册并不解析相容.

因此$M$是在这个图册下的$C^\infty$流形, 它当然可以在其它图册下是其它微分流形, 但我们赋予它的微分结构是这样的. 我们可以选择赋予流形不同的微分结构.

$n$维球面

最典型的$S^n$当然可以是解析流形. 对$j=1,\cdots,n+1,$ 定义$U_{2j-1}=\{x\in S^n:x_j>0\}, \quad U_{2j}=\{x\in S^n:x_j<0\}.$

对$i=1,\cdots,2n+2,$ 定义$\varphi_i:U_i\rightarrow \mathbb{R}^n, \quad \varphi_i(x)=(x_1,\cdots,\hat x_j,\cdots, x_{n+1}), \quad i=2j-1 \text{或} 2j.$

那么对$r<s,$ $\varphi_r^{-1}(x)=(x_1,\cdots,\pm \sqrt{1-|x|^2},\cdots, x_n),$ 添加项出现在$\lceil \frac{r}{2} \rceil$位置. $\varphi_s\varphi_r^{-1}(x)=(x_1,\cdots,\pm \sqrt{1-|x|^2},\cdots,\hat x_k,\cdots, x_n),$ $s=2k-1$或$2k.$ 显然坐标变换是解析的, 因此$S^n\in C^\omega.$

射影空间

回忆开集$U_i=\{[x=(x^1,\cdots,x^{m+1})]\in M|x^i\neq 0\},$ $\varphi_i([x])=\frac{1}{x_i}(x^1,\cdots, \widehat{x^{i} },\cdots, x^{m+1}).$ 记$\xi_{(i)}^k=\frac{x^k}{x^i}.$ 任取$1\le i<j\le m+1,$ 那么$U_i\cap U_j$上坐标变换$\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}$在分量上的作用为$\xi_{(i)}^j\mapsto \xi_{(j)}^i=\frac{1}{\xi_{(i)}^j},$ $\xi_{(i)}^l\mapsto \xi_{(j)}^l=\frac{\xi^l_{(i)} }{\xi_{(i)}^j},$ $l\neq i,j,$ 是$\mathbb{R}^m$上的解析映射, 因此坐标图册是$C^\omega$的, 实射影空间为解析流形.

类似地, 对复射影空间, 将$x$换为$z,$ $\xi$换为$w,$ 那么坐标转移函数$\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}:$ $w_{(i)}^j\mapsto w_{(j)}^i=\frac{1}{w_{(i)}^j},$ $w_{(i)}^l\mapsto w_{(j)}^l=\frac{w_{(i)}^l}{w_{(i)}^j},$ $l\neq i,j,$ 是复解析映射, 从而复射影空间$\mathbb{C}P^n$是$n$维复流形.

Grassmann流形

在课上我们接触了Grassmann流形的定义, 接下来我们赋予它解析结构使其成为一个解析流形.

取$k$维子空间$P\subset V.$ 取$n-k$维互补子空间$Q$使得$V=P\oplus Q.$ 那么任意线性映射$X:P\rightarrow Q$的图像$\Gamma(X)=\{v+Xv:v\in P\}$为一个$k$维子空间. 易见图像和$Q$平凡地相交. 反过来任意$k$维子空间$S\subset V$若与$Q$平凡地相交, $S$总可以表示为某个线性映射$X$的图像, 考虑$S$的基即可.

记$P$到$Q$的线性映射全体为$L(P,Q).$ $G_k(V)$中与$Q$平凡相交的子空间全体为$U_Q.$ (注意与$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$作类比.) 图像$\Gamma$可视为$L(P,Q)\rightarrow U_Q$的双射. 由于$L(P,Q)$可视为$M((n-k)\times k,\mathbb{R}),$ 也可视为$\mathbb{R}^{k(n-k)}.$ 取$\varphi=\Gamma^{-1},$ 那么$(U_Q,\varphi)$即可成为坐标卡.

需要注意$\varphi$同胚的说明. 直观上, $U_Q$上的连续性即讨论子空间的连续性, 由于$U_Q$上取商拓扑, 可归结到特定基的连续性. 可以取到子空间的基形如$f_i=e_i+g_i,$ $\{e_i\}$构成$P$的标准基, $g_i\in Q,$ $i=1,\cdots,k.$ 而$[g_1,\cdots,g_k]\in M((n-k)\times k,\mathbb{R})$恰恰给出了$\varphi,$ 因此$\varphi$是同胚.

接下来说明坐标变换是解析的. 首先需要对$G_k(V)$有更清楚的认识. 它是$M(n\times k,\mathbb{R})$中的秩$k$矩阵全体的商空间, 每列描述了子空间的一个基. 秩$k$在说这$k$个基不能线性相关. 商空间的等价关系由$A\sim AP,$ $A\in M(n\times k,\mathbb{R}),$ $P\in GL(k)$给出. 因为交换基, 数乘基, 线性组合基后张成的还是同一个子空间.

在$U_Q\cap U_Q’$里的都是与$Q,Q’$均平凡相交的子空间. 对其中的任一元素$K,$ $\varphi(K)$将它打到以$P\oplus Q$为标准基的$k$个向量, $\varphi’(K)$则打到$P’\oplus Q’$中. 注意这$k$个向量前$k$行是平凡的, 因此实际取出来的为后$n-k$行组成的$n-k$维向量. 由此可见坐标变换$\varphi’\circ\varphi^{-1}$不过是线性空间的坐标变换而已. 记$P’\oplus Q’$到$P\oplus Q$的过渡矩阵为$A,$ 那么给定$\varphi$下的坐标$X,$ 还原为完整的$\widetilde{X}=\begin{bmatrix} I\\X \end{bmatrix},$ 左乘$A$即得到新的表示$A\widetilde{X}.$ 由于它与$Q’$平凡相交, 取$P’\oplus Q’$标准基, 前$k$行组成的矩阵必满秩. 取其逆阵$B,$ 那么$\varphi’$下的坐标即为$A\widetilde{X}B$的后$n-k$行, $A\widetilde{X}B$前$k$行是单位阵.

事实上李群中的乘法, 求逆运算也都是解析的, 因此就得到了坐标变换是解析的, 从而$[\{(U_Q,\varphi)\}]\in C^\omega,$ 流形有解析结构.

Hausdorff性与第二可数性由拓扑取商拓扑保证. 也可以通过分别说明两个$k$维子空间可以落在同一个坐标邻域上, $G_k(V)$可由可列(事实有限)个$U_Q$覆盖得到.

注 1.2. 对于同胚性更严格的说明, 考虑空间$\pi^{-1}U_Q,$ 是一些秩$k$的$n\times k$矩阵. 设前$k$行表出$P$(即左乘某个置换阵), 那么$U_Q$中的每个元的原像可以取一个代表元$\begin{bmatrix} I\\A \end{bmatrix},$ 因此逆像中所有矩阵前$k$行是满秩的, 右乘一个逆阵即可给出标准型. 将下面的$n-k$行的矩阵提出, 即给出了$M((n-k)\times k,\mathbb{R})$中的对应. 这$k$列给出了$U_Q$中图像的刻画, 即指出了$k$个基. 由于$GL(k)$为李群, 乘法, 求逆运算均是连续的, 因此上面的映射$M(n\times k,\mathbb{R})\rightarrow M((n-k)\times k,\mathbb{R})$也是连续的, 从而$\varphi$是连续的. 接下来这个映射也是开映射, 因为对$M(n\times k,\mathbb{R})$的小扰动, 令原像下面$n-k$行产生小扰动即可映过去, 由商拓扑性质便可判断出$\varphi$是同胚.

研究意义

面对光滑流形, 我们可能产生这样的问题: 为什么通常我们只研究光滑流形就够了? 下面的结论给出了回答:

命题 1.3. 每个$C^r$流形都$C^r$微分同胚于一个$C^\omega$流形, 且在$C^\omega$微分同胚意义下唯一. $1\le r\le \infty.$

这里$C^r$微分同胚$f:M\rightarrow N$, 指(至少是)$C^r$流形间的$C^r$映射, 为同胚, 且逆映射也是$C^r$的. 命题中的解析性换为光滑性当然也对, 且光滑的情形的证明容易许多, 是’留作习题’程度的难度.

于是, 如果我们想在一个$C^r$流形上研究$C^s$微分学的问题, $1\le r<s\le \infty$或$s=\omega,$ 只需转换到与它$C^r$微分同胚的解析流形上去研究. 在转换过程中可以保证$C^k(1\le k\le r)$微分学性质不变.

另外, 每个$C^r$函数都可以被$C^\omega$函数逼近, 因此, 我们总可以假设函数与流形均有极好的正则性.

鸿沟

需要注意的是, 上面的命题对$r\ge 1$才成立, $C^0$与$C^1$间存在着不可逾越的鸿沟. Whitehead证明, 所有光滑流形都有一个三角剖分(都光滑同胚于一个仿射流形, 而仿射流形有三角剖分), 然而存在不可三角剖分的$4$维拓扑流形(Micheal W. Davis, Tadeusz Januszkiewicz). 三角剖分即为一个从单纯复形到流形的同胚. $r\ge 1$的$C^r$流形由于同胚于某个光滑流形, 均有诱导的三角剖分. 因此存在$C^0$流形不同胚于任意$C^r$流形, $1\le r\le \infty.$

不可三角剖分的拓扑流形最低维数就是$4,$ 这种不可剖分的障碍称为 Kirby-Siebenmann 光滑性障碍.

复流形

我们知道流形都至少是$C^0$的, 更特殊一点可以是$C^r$流形, 比较好的是$C^{\infty}$流形, 更好的是$C^\omega$流形. 那有没有还要好的呢? 如果解析流形是$2m$维的, 那么由$\mathbb{R}^{2m}\approx \mathbb{C}^m,$ 可以让坐标函数$\varphi:\mathbb{C}^m\rightarrow \mathbb{C}^m$是复解析的. 由于它每个分量实虚部都是解析的, 因此复解析流形是解析流形, 比它要更好一点, 简称复流形.

回忆单复变函数里由全纯函数的Cauchy积分公式:

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi,\quad z\in\Omega,$$

可以推出高阶导数公式:$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial |\xi-c|=r}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1} }d\xi, \quad \,\forall\,z\in U(c,r)\subset\subset \Omega,$ 进而利用函数最大模控制导数推知全纯函数都是解析的.

对多复变函数中的全纯函数, 要求它每个分量实虚部都可微的基础上, 再加$m$对Cauchy-Riemann方程. 记开多圆盘$D(z,r):=\prod_{j=1}^{n}U(z_j,r_j)$, 有Osgood引理:

$$f(z)=\frac{1}{(2\pi i)^n}\int\cdots\int_{\partial D(z,r)}\frac{f(\xi)}{(\xi_1-z_1)\cdots(\xi_n-z_n)}d\xi_1\cdots d\xi_n, \,\forall\,D(z,r)\subset\subset \Omega,$$

类似地也有高阶导数公式版本, 从而在多复变函数里, 全纯函数也都是解析的.

复解析的函数要求对所有$\bar z_i$偏导为零, 此即C-R方程, 因此复解析与全纯是等价的. 由于可微的一个充分条件是$C^1,$ 因此只需要对偶数维$C^1$流形附加坐标变换满足C-R方程的要求, 即有$C^1$流形是复流形. 由此也可以看出$C^1$到更好的正则性的距离确实并不远, 但$C^0$到$C^1$之间确实有着巨大的障碍.

文章最后更新于 2021-10-08 11:31:36