本节解释如何将子流形Poincaré对偶与子流形上向量丛的Thom类联系起来.
商丛
称$F$是秩$n$向量丛$E$的秩$k$子丛, 若$\,\forall\,x\in M$, $F_x$为$E_x$子空间.
由此可定义商丛$Q=E/F$, 它是一个向量丛使得$0\rightarrow F\rightarrow E\rightarrow Q\rightarrow 0$正合. 即$\,\forall\,x\in M$, $Q_x=E_x/F_x$为商空间.
首先, 先取$F$中自然标架, 再扩张为$E$的一组标架, 这样它们的局部平凡化相容. 设$E$的局部平凡化转移函数为$g_{\alpha\beta},$ $F$为$h_{\alpha\beta}.$ 则对于$F$上的点, 只有$h_{\alpha\beta}$起作用, 从而有$g_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} h_{\alpha\beta} & *\\ 0 & q_{\alpha\beta} \end{pmatrix}$. 那么$q_{\alpha\beta}$便是$Q$的转移函数. 易见若$E,F$可定向, $Q$也可定向, 称$Q$的定向使得$E$的定向是直和定向.
因为我们有内积, 所以纤维上有正交补空间$F_x^\perp\subset E_x$. 那么$F^\perp=\bigsqcup F_x^\perp$是$E$的子丛且$E=F\oplus F^\perp$, 其上还有继承于$E$的内积. 显然$Q\cong F^\perp$, 从而$Q/E$上也有诱导的内积. $F^\perp$上也有定向使得$E$的定向为直和定向.
子流形法丛与管状邻域引理
$k$维子流形$S\subset M$, $S$上有切丛$TS$与$i^{-1}TM=TM|_S$, $i$为包含映射.
显然$TS\subset TM|_S$. 定义$N_{S/M}=TM|_S/TS$, 简记为$N$. 若$M,S$可定向, 则切丛可定向, 从而$N$可定向.
$\,\forall\,x\in S$, 存在$x$点坐标卡$(U,\phi)$, 使得$\phi|_{S\cap U}$为$x$在$S$中坐标卡, 且只有前$k$个坐标有值. 由此诱导切丛上的标架. 限制在$U_\alpha$或$U_\alpha\cap S$上, 记$TM$标架为$\{\frac{\partial {} }{\partial {}x_A^\alpha}\}_{1\le A\le n}$, $TS$标架为$\{\frac{\partial {} }{\partial {}x_i^\alpha}\}_{1\le i\le k}$, $N$标架为$\{\frac{\partial {} }{\partial {}x_a^\alpha}\}_{k+1\le a\le n}$.
在$S\cap U_{\alpha\beta}$上, $\frac{\partial {}x_a^\alpha}{\partial {}x_i^\beta}=0$, 因此$TS$转移函数为$h_{\alpha\beta}=(\frac{\partial {}x_j^\alpha}{\partial {}x_i^\beta})_{k\times k}$.
然而, $\frac{\partial {}x_j^\alpha}{\partial {}x_a^\beta}$显然不一定为$0$, 但我们在做商丛时模掉了这部分, 因此$N$的转移函数为$q_{\alpha\beta}=(\frac{\partial {}x_b^\alpha}{\partial {}x_a^\beta})_{(n-k)\times (n-k)}$. $TM|_S$的转移函数即为$g_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} h_{\alpha\beta} & *\\ 0 & q_{\alpha\beta} \end{pmatrix}=(\frac{\partial {}x_A^\alpha}{\partial {}x_B^\beta})_{n\times n}$.
我们有如下重要定理, 证明可参考其它微分流形教材.
定理 1.1 (管状邻域定理). 存在$j$将$N$嵌入$M$, 且$j\circ s=i$, 即将零截面映到$S$.
称开集$j(N)\subset M$为管状邻域, 记为$T$.
Poincaré对偶与Thom类
记$\Phi$为$S$法丛$N$的Thom类, 则由Thom同构, $H^\ast (S)\cong H_{cv}^{\ast +n-k}(N)\cong H_{cv}^{\ast +n-k}(T)\rightarrow H^{\ast +n-k}(M)$, 最后一个映射为零延拓.
引理 1.1. $S$的闭Poincaré对偶$[\eta_S]=j_\ast \Phi\in H^{n-k}(M)$,
证: 只需证明$j_\ast \Phi$满足对偶性质. 记$l:S\rightarrow T$为包含, 其为$\pi:T\rightarrow S$为零截面. 它们在上同调的层面为互逆的, 从而$\omega|_T=\pi^\ast l^\ast (\omega|_T)+d\tau$, $\tau\in \Omega^{k-1}(T)$
又因为子流形$S$在$M$中的管状邻域可充分小, 我们得到:
命题 1.1 (局部化原理). 闭子流形$S$的Poincaré对偶的支集可缩小到$S$任意给定的管状邻域中.
应用
横截相交子流形的Poincaré对偶
称$M$中两个子流形$R,S$为横截相交的, 若$\,\forall\,x\in R\cap S$, $T_xR+T_xS=T_xM$.
设$R,S$为流形$M$中横截相交的闭子流形, 则$R\cap S$也是闭子流形且$\dim R\cap S=\dim R+\dim S-\dim M$. 进一步$\operatorname{codim}_M R\cap S=\operatorname{codim}_M R+\operatorname{codim}_M S$.
$R\cap S$在$M$中法丛$N_{(R\cap S)/M}=(N_{R/M}\oplus N_{S/M}) |_{R\cap S}$. 将法丛嵌入到$M$中为管状邻域, 则$\Phi(N_{(R\cap S)/M})=\Phi(N_{R/M})\wedge \Phi(N_{S/M})$, 从而$\eta_{R\cap S}=\eta_R\wedge \eta_S$.
命题 1.2. 两个横截相交闭子流形的交的Poincaré对偶等于这两个子流形的Poincaré对偶的外积.
Poincaré对偶的拉回
设$f:M’\rightarrow M$是光滑映射, $S$是$M$的闭子流形. 若$\,\forall\,x\in f^{-1}(S)$, $f_\ast (T_x M’)+T_{f(x)}S=T_{f(x)}M$, 则称映射$f$横截于子流形$S$. 即$f(M’)$要么与子流形$S$不相交($f^{-1}(S)=\varnothing$自动成立), 要么横截相交($f_\ast (T_x M’)=T_{f(x)}f(M’)$).
这时, $f^{-1}(S)$是$M’$的光滑子流形, 且任意$S$在$M$中的管状邻域$T$, $f^{-1}T$是$f^{-1}(S)$在$M’$中的管状邻域. 由Thom类的函子性, $f^\ast $与$\mathcal{T}$, $j_\ast $均可换. 这时我们有$f^\ast \eta_S=f^\ast j_\ast \Phi(T)=j_\ast \mathcal{T}f^\ast (1)=j_\ast \Phi(f^{-1}T)=\eta_{f^{-1}(S)}$. 即:
命题 1.3. 设$f:M’\rightarrow M$是光滑映射, 横截于$M$的闭子流形$S$. 若$[\eta_S]$是$S$在$M$中的Poincaré对偶, 则$f^\ast [\eta_S]$是$f^{-1}(S)$在$M’$中的Poincaré对偶.
文章最后更新于 2021-10-10 21:10:53
- 本文标题：《代数拓扑与微分形式》笔记(6-3)-Poincaré对偶与Thom类
- 本文作者：DreamAR
- 创建时间：2021-10-10 21:10:51
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