切丛
回忆$M^m$为$m$维$C^\infty$流形, 其上有切丛$TM=\bigcup_{p\in M}T_pM\xrightarrow{\pi}M,$ 具有自然的拓扑. $T_qM$有自然基$\{X_i\},$ $T_qM\cong \mathbb{R}^m,$ 从而有同胚$\Phi_U:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb{R}^m\rightarrow \varphi(U)\times \mathbb{R}^m.$ $\{(\pi^{-1}(U_\alpha),\Phi_\alpha)\}$即为$TM$的光滑坐标图册, 使之成为$2m$维$C^\infty$流形.
向量场
$X:p\mapsto X_p\in T_pM$称为$M$上向量场. 对开集$U\subset M,$ $X:U\ni p\mapsto T_pM$称为$U$上向量场. 也可以描述$X$为$X:M\rightarrow TM,$ $\pi\circ X=\mathrm{id}_M.$ 如果$X$还是流形间的$C^\infty$映照, 则称$X$是$M$上$C^\infty$向量场. 考虑局部拉回到$\widehat{X}:\varphi(U)\rightarrow \varphi(U)\times \mathbb{R}^m$, 具体表示为$x\mapsto (x,\xi\circ\varphi^{-1}(x)).$ 因此只需考虑$\xi\circ\varphi^{-1}$是否光滑即可, 也即$\xi$各个分量是否在$C^\infty(U)$中.
用$\chi(M)$表示$M$山光滑向量场全体, $\,\forall\,X,Y\in \chi(M),$ $f,g\in C^\infty(M),$ 则$fX+gY\in \chi(M),$ $(fX+gY)(p):=f(p)X(p)+g(p)Y(p)\in T_pM.$ 这是因为$C^\infty(U)$和$C^\infty(\mathbb{R}^m)$一样, 都是乘法封闭的向量空间, 考虑局部表示即可. 特别地$\chi(M)$是无穷维向量空间.
回忆若$f\in C^2(U),$ $U\subset \mathbb{R}^m,$ $f$的混合偏导可交换顺序. 那么对一般的向量场, 我们考虑是否有$XY=YX,$ $X,Y\in\chi(M).$ 即$[X,Y]f=XYf-YXf$是否总取零. 这里$[-,-]:\chi(M)\times \chi(M)\rightarrow\chi(M)$称为$X$和$Y$的Lie括号. $[X,Y]_p f=X_pYf-Y_pXf.$
回忆$(Yf)(p)=Y_p(f),$ 希望$Yf\in C^\infty(M).$ 考察$(Yf)\circ\varphi^{-1},$ $(Yf)|_U=\sum_i\eta^i X_i(f),$ 那么$(Yf)\circ\varphi^{-1}=\sum_i \eta^i\circ\varphi^{-1}\cdot \frac{\partial f\circ\varphi^{-1} }{\partial x_i}\in C^\infty(\mathbb{R}^m).$ 因此$X_pYf$有意义, 有:
交换$X,Y$顺序即得到$Y_pXf,$ 从而:
后项由于$f\in C^\infty(M)$取零, 故$[X,Y]|_U=\sum_{ij} [\xi^iX_j(\eta^j)-\eta^i X_i(\xi^j)]X_j,$ $[X,Y]\in\chi(M)$确实为光滑向量场.
可以看出, $[-,-]$满足如下性质:
反交换性: $[X,Y]=-[Y,X];$
线性性: $[aX_1+bX_2,Y]=a[X_1,Y]+b[X_2,Y];$
Jacobi恒等式: $[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.$
因此$\chi(M)$是一个李代数.
切映照
设$F:M^m\rightarrow N^n$是$C^\infty$流形间的$C^\infty$映照. $\,\forall\,$过$p$点曲线$C(t),$ $C(t_0)=p,$ $C’(t_0)=X,$ 则对应有过$q$点曲线$F(C(t)),$ 切向量为$Y.$ 这诱导了切空间之间的映照${F_\ast }_p:T_pM\rightarrow T_qN.$ $\,\forall\,f\in C_q^\infty(N),$ $Yf=X(f\circ F).$ 即${F_\ast }_pX(f)=X(f\circ F).$ 易证 ${F_\ast }_p(aX_1+bX_2)=a{F_\ast }_pX_1+b{F_\ast }_pX_2,$ 因此${F_\ast }_p$为线性映照.
回忆向量空间之间的线性映照$\varphi:V\rightarrow W$诱导对偶映照$\varphi^\ast :W^\ast \rightarrow V^\ast ,$ 定义为$\,\forall\,w^\ast \in W^\ast ,$ $(\varphi^\ast w^\ast )(v)=w^\ast (\varphi (v)).$ 对偶映照也是线性的, 称为拉回映照. 因此对上面的${F_\ast }_p,$ 有拉回映照$F^\ast :T_q^\ast N\rightarrow T_p^\ast M,$ $F^\ast (df)_q(X)=(df)_q({F_\ast }_pX)={F_\ast }_pX(f)=X(f\circ F)= d(f\circ F)_p(X),$ 即$F^\ast (df)_q=d(f\circ F)_p.$
命题 1. 设$F\in C^\infty(M,N),$ $G\in C^\infty(N,W),$ 则${(G\circ F)_{\ast } }_p={G_{\ast } }_q\circ {F_\ast }_p,$ $(G\circ F)^\ast =F^\ast \circ G^\ast .$ 且若$F$是光滑同胚, 那么${F_\ast }_p$是线性同构, $\,\forall\,p\in M.$
前面的性质是容易说明的, 而后面的性质利用$F^{-1}\circ F=\mathrm{id}_M,$ $F\circ F^{-1}=\mathrm{id}_N,$ 结合前面的性质即得.
命题 2. 设$F:M\rightarrow N$是光滑映照, $q=F(p).$ 那么${F_\ast }_pX_i=\sum_\alpha [X_i(y^\alpha \circ F)]Y_\alpha,$ $F^\ast (dy^\alpha)_q=\sum_i [X_i(y^\alpha\circ F)] (dx^i)_p.$
按定义验证即可. 注意$X_i(y^\alpha\circ F)=J(\psi\circ F\circ \varphi^{-1})_{\alpha,i},$ 因此切映照是Jacobi矩阵的推广.
给出如下定义:
定义$F$在$p$点的秩为${F_{\ast } }_p$的秩$=r(D\widehat{F})_{\varphi(p)},$ 记为$r({F_\ast }_p);$
如果${F_\ast }_p$是单射, 即$r({F_\ast }_p)=m,$ 则称$F$在$p$点是浸入. 若$F$点点浸入, 则称$F:M\rightarrow N$是浸入;
如果${F_\ast }_p$是满射, 即$r({F_\ast }_p)=n,$ 则称$F$在$p$点是淹没. 若$F$点点淹没, 则称$F:M\rightarrow N$是淹没.
回忆反函数定理: 若开集$U,V\subset \mathbb{R}^m,$ $F:U\rightarrow V$为光滑映照, $p\in U,$ $q=F(p)\in V.$ 若$DF(p)$非退化, 那么$\,\exists\,$点$p$的小邻域$U_1,$ $q$点小邻域$V_1,$ 使$F|_{U_1}:U_1\rightarrow V_1$是$C^\infty$同胚. 那么在流形上, 设$U\subset M^m,V\subset N^m,$ 将$DF(p)$非退化条件改为${F_\ast }_p$是线性同构, 即可推广反函数定理到流形上.
文章最后更新于 2021-11-21 17:57:10
- 本文标题：《微分流形》第二章-切丛(2)
- 本文作者：DreamAR
- 创建时间：2021-10-13 16:59:47
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