基本概念
多重指标
$\alpha\in \mathbb{N}^n,$ $|\alpha|=\sum \alpha_i,$ $\alpha!=\prod \alpha_i !.$ 作为上标, $x^\alpha=\prod x_i^{\alpha_i}$ $\partial^\alpha=\frac{\partial^{|\alpha|} }{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n} },$ $f^{(\alpha)}(x)=\partial^\alpha f(x).$ $f(x)$的Taylor展开为$\sum_\alpha \frac{f^{(\alpha)}(0)}{\alpha!}x^\alpha.$
$\partial^\alpha(fg)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}\binom{\alpha}{\beta \:\gamma}\partial^\beta f\partial^\gamma g.$ 当$f,g$满足适当条件时, 一个有趣的证明是考虑Fourier变换, 利用二项式展开先证明$\xi^\alpha (\widehat{f}\ast \widehat{g})=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}\binom{\alpha}{\beta \:\gamma}(\xi^\beta \widehat{f})\ast (\xi^\gamma \widehat{g}),$ 再做Fourier逆变换即可.
基本空间
取光滑函数空间$\mathscr{E}(\mathbb{R}^n)=C^\infty(\mathbb{R}^n),$ 拓扑规定为, 若序列$\{\varphi_v\}\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$满足$\,\forall\,K\Subset \mathbb{R}^n, \alpha \in \mathbb{N}^n,$ $\sup_{x\in K}|\partial^\alpha \varphi_v|\rightarrow 0,$ 则称$\varphi_v\rightarrow 0(C^\infty(\mathbb{R}^n)).$ 这样的空间是拓扑线性空间, 可以看作有多个(半)模. 元素趋于零需要求所有(可列多个)模均趋于零. 由于难以找到一个统一的模, 因此它和Banach空间有所区别.
取紧支撑光滑函数空间$\mathscr{D}(\mathbb{R}^n)=C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ 拓扑规定为, 若序列$\{\varphi_v\}\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$支集落在共同紧集$K$内, 且$\,\forall\,\alpha\in \mathbb{N}^n,$ $\sup_{x\in K}|\partial^\alpha \varphi_v|\rightarrow 0,$ 则称$\varphi_v\rightarrow 0(C_c^\infty(\mathbb{R}^n)).$
取速降函数空间$\mathscr{S}(\mathbb{R}^n),$ 为满足$\lim\limits_{|x|\rightarrow \infty}x^\alpha\partial^p\varphi(x)=0,$ $\,\forall\,\alpha,p\in \mathbb{N}^n$的光滑函数全体. 拓扑规定为, 若序列$\{\varphi_v\}\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$满足$\,\forall\,\alpha,p\in \mathbb{N}^n,$ $\sup_{x\in \mathbb{R}^n}|x^\alpha\partial^p \varphi_v(x)|\rightarrow 0,$ 则称$\varphi_v\rightarrow 0(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)).$
速降函数的条件也可等价地改为有界, 或将$x^\alpha$替换为$(1+|x|^2)^k,$ 以便于处理. 速降函数空间的拓扑也类似. 和前两个空间一样, 速降函数空间也关于卷积封闭.
取$\varphi(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{|x|^2-1} },&|x|<1\\ 0,&|x|\ge 1. \end{cases},$ $\alpha(x)=\frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \varphi dx}\varphi(x).$ 令$\beta_R=1_{B_R}\ast \alpha,$ 则$\operatorname{supp}\beta_R\subset B_{R+1},$ 且$\beta_R|_{B_{R-1} }\equiv 1.$ 从而$\,\forall\,\varphi\in C^\infty(\mathbb{R}^n),$ 取$\varphi_\nu=\beta_\nu\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ 满足$\varphi_\nu\rightarrow \varphi(C^\infty(\mathbb{R}^n)).$ 因此$C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$在$C^\infty(\mathbb{R}^n)$中稠密. 类似地, 它在$\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$中也稠密.
对于$\mathscr{D}(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr{E}(\mathbb{R}^n),$ 前面的空间在后面的空间中稠密, 而前面的拓扑比后面的拓扑强.
正则化
对$\Omega$上的函数$u(x),$ 称其局部可积, 若其在任意紧集$K\Subset \Omega$上Lebesgue可积. 取$\alpha_\varepsilon=\frac{1}{\varepsilon^n}\alpha(\frac{x}{\varepsilon})\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ 令$u_\varepsilon=u\ast \alpha_\varepsilon.$ 若$u$局部可积则$u_\varepsilon$由定义, 满足如下定理:
定理 1.1. 若$u\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n),$ 则$u_\varepsilon\in C^\infty(\mathbb{R}^n).$ 当$\varepsilon\rightarrow 0$时, 若$u\in C^0(\mathbb{R}^n),$ 则$u_\varepsilon\rightarrow u(C^0(\mathbb{R}^n));$ 若$u\in L^p(\mathbb{R}^n),$ 则$u_\varepsilon\rightarrow u(L^p(\mathbb{R}^n)).$
前两个性质是易证的. 对$u\in L^p(\mathbb{R}^n)$的情况, 运用Lusin定理, 找$v\in C_c(\mathbb{R}^n)$使得$\parallel u-v\parallel_{L^p}$充分小即可. 过程中用到如下引理:
引理 1.2 (Minkowski积分不等式). $\parallel\parallel f(x,y)\parallel_{L_x^1}\parallel_{L_y^p}\le \parallel\parallel f(x,y)\parallel_{L_y^p}\parallel_{L_x^1}.$
证: 只需证明(可能需要限制在子空间上)线性算子$\mathrm{id}:L_x^1L_y^p\rightarrow L_y^pL_x^1$是有界的, 且$\parallel\mathrm{id}\parallel\le 1.$ 由泛函分析知识, 赋范线性空间间的线性算子$A:X\rightarrow Y$是有界的当且仅当$A^\ast :Y^\ast \rightarrow X^\ast $是有界的, 且有$\parallel A\parallel=\parallel A^\ast \parallel.$ 左推右是经典的命题, 右推左只需利用$A^{\ast \ast }$即可, 它是$A$在$X^{\ast \ast }$上的延拓.
因此考虑线性算子$\mathrm{id}^\ast :L_y^qL_x^\infty\rightarrow L_x^\infty L_y^q,$ 说明$\parallel\mathrm{id}^\ast \parallel\le 1$即可, 即$\operatorname{ess}\operatorname{sup}_x\parallel f(x,y)\parallel_{L_y^q}\le \parallel\operatorname{ess}\operatorname{sup}_x|f(x,y)|\parallel_{L_y^q},$ 然而这是显然的.
若$\parallel\parallel f(x,y)\parallel_{L_x^1}\parallel_{L_y^p}=\infty,$ 考虑用$g_n=(|f|\wedge n)\cdot 1_{B_n}$逼近, 利用Levi单调收敛引理说明即可.
推论 1.3. $\parallel f\ast g\parallel_{L^p}\le \parallel f\parallel_{L^p}\parallel g\parallel_{L^1}.$
证: $\parallel f\ast g\parallel_{L^p} \le \parallel\parallel f(x-y)g(y)\parallel_{L^1_y}\parallel_{L^p_x}\le \parallel\parallel f(x-y)g(y)\parallel_{L^p_x}\parallel_{L^1_y}=\parallel f\parallel_{L^p}\parallel g\parallel_{L^1}.$
由该推论, $\parallel u_\varepsilon-v_\varepsilon\parallel\le \parallel u-v\parallel$也充分小, 而$\parallel v-v_\varepsilon\parallel$利用已有的性质也可以充分小, 定理得证.
称线性算子$J_\varepsilon:L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)\rightarrow C^\infty(\mathbb{R}^n),$ $u\mapsto u_\varepsilon$为磨光算子, 得到$u_\varepsilon$的过程称为正则化. 定理说明$C^\infty(\mathbb{R}^n)$在$C^0(\mathbb{R}^n),L^p(\mathbb{R}^n)$中稠密, 从而$C_c^\infty(\mathbb{R}^n), \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$也在其中稠密.
一些简单的推论是, $J_\varepsilon\in \mathfrak{B}(L^p(\mathbb{R}^n)\rightarrow L^p(\mathbb{R}^n));$ $u\in \mathscr{D}/\mathscr{S}/\mathscr{E}(\mathbb{R}^n)$时, $u_\varepsilon\rightarrow u(\mathscr{D}/\mathscr{S}/\mathscr{E}(\mathbb{R}^n)).$
磨光算子的一个基本应用是对开集$\Omega,$ $\,\forall\,K\Subset \Omega,$ $\,\exists\,\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ $\operatorname{supp}\varphi\subset \Omega,$ $\varphi \in [0,1],$ 且$\varphi|_K\equiv 1.$ 取$\varepsilon=d(K,\Omega^c)>0,$ 取$J_{\frac{\varepsilon}{4} } (1_{d(x,K)\le \frac{\varepsilon}{2} })$即可.
广义函数
定义
称$\mathscr{D}/\mathscr{S}/\mathscr{E}(\mathbb{R}^n)$上的线性连续泛函为$\mathscr{D}’/\mathscr{S}’/\mathscr{E}’(\mathbb{R}^n)$广义函数. 我们有关系式$\mathscr{D}’\supset \mathscr{S}’\supset \mathscr{E}’,$ 这里包含通过嵌入来看. 如$\mathrm{id}:\mathscr{S}’\rightarrow \mathscr{D}’$不仅有意义, 而且是单射. 有意义是因为在$\mathscr{D}\subset \mathscr{S}\subset \mathscr{E}$中, 前者拓扑强于后者; 单射通过前面的空间在后面的空间稠密保证.
类似地, 可以在开集$\Omega$上定义$\mathscr{D}’,\mathscr{E}’$广义函数, 但$\mathscr{S}’$广义函数只在$\mathbb{R}^n$上讨论. 容易说明$L_{loc}^1\subset \mathscr{D}’,$ 而Dirac函数$\delta\in \mathscr{E}’.$
我们知道在赋范线性空间上, 线性泛函有界$\Leftrightarrow$连续, 但在拓扑线性空间上, 没有统一的模, 因此并没有”有界”的概念. 不过类似的命题依然成立, 可以由”一些模”控制.
定理 1.4. 若$T\in \mathscr{D}’(\Omega),$ 则$\,\forall\,K\Subset \Omega,$ $\,\exists\,C(K)>0,$ $m(K)\in \mathbb{N},$ 使得 反之若$T$为满足上述条件的线性泛函, 则它是连续的, $T\in \mathscr{D}’(\Omega).$
证: 定义$|\varphi|_\nu=\sup\limits_{x\in \Omega,|\alpha|\le \nu} |\partial^\alpha \varphi(x)|,$ 满足$|\varphi|_\nu\le |\varphi|_\mu,$ $\,\forall\,\nu\le \mu.$ 若$T\in \mathscr{D}’(\Omega)$不满足命题性质, 则$\,\exists\,K\Subset \Omega,$ $\{\varphi_\nu\}\in C_c^\infty(K),$ 使得$|\left<{}T,\varphi_\nu \right>|>\nu|\varphi_\nu|_\nu.$ 对$\varphi_\nu$做乘子使$|\left<{}T,\varphi_\nu\right>|=1,$ 则$|\varphi_\nu|_\nu<\frac{1}{\nu}.$ 容易看出这样有$\varphi_\nu\xrightarrow{\mathscr{D} } 0,$ 但$|\left<{}T,\varphi_\nu\right>|\equiv 1,$ $\left<{}T,\varphi_\nu\right>\not\rightarrow 0,$ 矛盾.
反之若$T$为满足条件的线性泛函, $\,\forall\,\varphi_\nu\xrightarrow{\mathscr{D} } 0,$ $\,\exists\,K$使得$\{\varphi_\nu\}\in C_c^\infty(K).$ 由条件有对应的$C(K),m(K),$ 使得$|\left<{}T,\varphi_\nu\right>|\le C|\varphi_\nu|_m\rightarrow 0.$ 因此$\left<{}T,\varphi_\nu\right>\rightarrow 0,$ $T\in \mathscr{D}’(\Omega).$
定理 1.5. 若$T\in \mathscr{E}’(\Omega),$ 则$\,\exists\,K\Subset \Omega,$ $C>0,$ $m\in \mathbb{N},$ 使得 反之若$T$为满足上述条件的线性泛函, 则它是连续的, $T\in \mathscr{E}’(\Omega).$
证: 取紧集$K_\nu=B_\nu\cap \{x:d(x,\Omega^c)\ge \frac{1}{\nu}\},$ 则$K_\nu$递增且$\bigcup K_\nu=\Omega.$ $\,\forall\,K\Subset \Omega,$ $\,\exists\,N>0,$ $\,\forall\,\nu>N,$ $K\subset K_\nu.$
定义$|\varphi|_\nu=\sup\limits_{x\in K_\nu,|\alpha|\le \nu} |\partial^\alpha \varphi(x)|,$ 满足$|\varphi|_\nu\le |\varphi|_\mu,$ $\,\forall\,\nu\le \mu.$ 同上一定理可证明$T\in \mathscr{E}’(\Omega)$时满足命题性质.
反之若$T$为满足条件的线性泛函, $\,\forall\,\varphi_\nu\xrightarrow{\mathscr{E} } 0,$ 取使性质成立的$K,$ 那么$\sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi(x)|\rightarrow 0,$ $\,\forall\,\alpha\in \mathbb{N}^n.$ 因此$|\left<{}T,\varphi_\nu\right>|\le C\sup\limits_{x\in K,|\alpha|\le m}|\partial^\alpha\varphi_\nu(x)|\rightarrow 0.$ 因此$\left<{}T,\varphi_\nu\right>\rightarrow 0,$ $T\in \mathscr{E}’(\Omega).$
可以看出, $\mathscr{D}’,\mathscr{E}’$满足某种对偶关系: 在$\mathscr{D}$中, 函数有紧支集, 收敛性要求有一共同紧集, 因此其上的线性泛函连续性条件适当放宽, 对不同紧集上的紧支撑函数分别满足某种有界性即可; 而在$\mathscr{E}$中, 函数无紧支集, 收敛性要求对任意紧集满足一定条件即可, 这导致其上线性泛函连续性条件变严格, 有界性需由一紧集控制, 且要求对所有光滑函数一致地满足有界性. 这便是$\mathscr{D}\subset \mathscr{E}\rightarrow \mathscr{D}’\supset \mathscr{E}’.$ 这种对偶关系在下一节会有更强的表现.
支集
对广义函数来说, 它在特定点的取值意义不明确, 但可以谈论它在开集上的取值. 对$T\in \mathscr{D}’(\Omega),$ 给一开集$\Omega’\subset \Omega,$ 若$\,\forall\,\varphi\in C_c^\infty(\Omega’),$ $\left<{}T,\varphi\right>=0,$ 则称$T$在$\Omega’$上取零值. 进一步称$T_1,T_2$在$\Omega’$上取值相同, 若$T_1-T_2$在$\Omega’$上取零值. 因此若某个广义函数和一常义函数(诱导的线性连续泛函)在一开集上取值相同, 则可以说该广义函数在该开集上等于这一常义函数.
若常义函数点点取零则整体为零, 类似地若广义函数点点小邻域上取值为零, 则整体取零. 证明上, 只需利用单位分解定理. 对$\varphi\in C_c^\infty(\Omega),$ 取单位分解$\{\varphi_i\}$从属于覆盖$\operatorname{supp}\varphi$的有限个小邻域组成的开覆盖$\{O_i\}$. 那么$\varphi_i \varphi\in C_c^\infty(O_i),$ 且在整个$\Omega$上$\sum_i \varphi_i\varphi=\varphi.$ 那么广义函数作用在$\varphi$上可分解到$\{O_i\}$上进行, 再线性组合取值即可. 零值作和仍为零, 故广义函数在全空间上取零值.
由这一性质, 广义函数在取零值的全体开集之并上仍取零值. 而全体开集之并仍为开集, 因此可以定义广义函数取零值的最大开集. 那么称该最大开集的补集为该广义函数的支集, 记为$\operatorname{supp}T.$ 对连续函数$f(x),$ 容易看出其作为广义函数的支集与原本定义的支集是相同的. 因此广义函数支集的定义是连续函数支集定义的延伸.
定理 1.6. 任意$T\in \mathscr{E}’(\Omega)$具紧支集; 反之任意具紧支集$T\in \mathscr{D}’(\Omega),$ $T$也在$\mathscr{E}’(\Omega)$中.
证: 由上节定理, $\,\forall\,T\in \mathscr{E}’(\Omega),$ $\,\exists\,K\Subset \Omega,$ $C>0,$ $m\in \mathbb{N},$ 使得
我们说明该$K$包含$T$的支集, 从而支集是紧的. 而这是容易的, 因为只要$\operatorname{supp}\varphi\subset \Omega\setminus K,$ 不等式右端即为零, 从而迫使$T$在$\Omega\setminus K$上取零值, 支集在$K$内.
反之, 若$T\in \mathscr{D}’(\Omega)$, 我们希望将其定义域从$\mathscr{D}(\Omega)$延拓为$\mathscr{E}(\Omega),$ 为此需想办法将光滑函数改造为紧支撑的, 且不改变泛函取值. 自然想到利用其支集即可. 记$\operatorname{supp}T=K\Subset \Omega$, 那么取$K\Subset \Omega_1\Subset \Omega,$ 作$\zeta\in C_c^\infty(\overline{\Omega}_1),$ $\zeta\in[0,1]$且$\zeta|_{\overline{O}_\delta(K)}\equiv 1.$
对$\varphi\in C^\infty(\Omega),$ 定义$\left<{}T,\varphi\right>=\left<{}T,\zeta\varphi\right>,$ $\zeta\varphi\in C_c^\infty(\overline{\Omega}_1).$ 需验证定义的合理性: 若还有$\eta\in C_c^\infty(\overline{\Omega}_2),$ $\eta\in [0,1]$且$\eta|_{\overline{O}_{\varepsilon}(K)}\equiv 1,$ 那么$\zeta-\eta\in C_c^\infty(\Omega \setminus K),$ 支集落在广义函数支集外, 从而$\left<{}T,\zeta\varphi\right>-\left<{}T,\eta\varphi\right>=\left<{}T,(\zeta-\eta)\varphi\right>=0.$
这样泛函就可以作用在$\varphi$上, 且由上节关于$\mathscr{D}’$的定理,
那么由关于$\mathscr{E}’$的定理, $T$改造为$\mathscr{E}$上线性泛函后也是连续的, 即$T\in \mathscr{E}’(\Omega).$
由此可见$\mathscr{D}’_c=\mathscr{E}’,$ 这与$\mathscr{D}=\mathscr{E}_c$构成对偶, 十分赏心悦目. 可以看成为了让$\left<{}T,\varphi\right>$合理, 一侧条件弱时, 另一侧条件要强. 证明中后半部分即是在说, 为了让$T\in \mathscr{D}’_c$可以作用在$\mathscr{E}$中的$\varphi$上, 只需考虑在$\varphi|_{\operatorname{supp}T}$部分上的作用即可, 因为其余的部分落在支集外. 就具体操作而言, 不能直接进行限制, 需要利用证明中的方法改造为具紧支集函数.
事实上, 对(用于改造$\varphi$的)辅助函数$\zeta,$ 可以将要求替换为$\zeta|_K=1.$ 这是因为$\overline{O}_\delta(K)$的$\delta$可任意小, 可以取到$\zeta_\delta\xrightarrow{\mathscr{D} }\zeta,$ 再利用线性泛函的连续性即可($T\in \mathscr{D}’$).
文章最后更新于 2021-10-13 12:46:51
- 本文标题：《现代PDE基础》笔记(1)-广义函数
- 本文作者：DreamAR
- 创建时间：2021-10-13 14:45:14
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