《几何测度论导论》讲义笔记(1.2)-Hausdorff测度

Hausdorff测度

基本定义

本节假设$(X,d)$为度量空间. 记$\omega_m=\frac{\pi^{m/2} }{\Gamma(\frac{m}{2}+1)},$ 其中$\Gamma(q)=\int_0^\infty t^{q-1}e^{-t}dt,$ $q>0.$ 当$m\in \mathbb{Z}_+$时, $\omega_m$表示$m$维单位球$B_1^m(0)$体积. 对任意的$m\ge 0,$ 定义$m$维Hausdorff(外)测度为

$$\mathcal{H}^m(A)=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0+}\mathcal{H}_\delta^m(A),\quad A\subset X,$$

其中$\mathcal{H}_\delta^m$称为$\mathcal{H}^m$的$\delta$逼近, $\mathcal{H}_\delta^m(\varnothing):=0;$ $\,\forall\,$非空$A\subset X,$ $\mathcal{H}_\delta^m(A):=\omega_m\inf\sum_{j}\left(\frac{\operatorname{diam}C_j}{2}\right)^m,$ 下确界在所有满足$C_1,\cdots\subset X,$ $\operatorname{diam}C_j<\delta,$ $A\subset \bigcup_j C_j$的集合列中取. 若找不到这样的集合列, 则视为$\inf \varnothing=+\infty.$ 容易验证$\mathcal{H}_\delta^m$与$\mathcal{H}^m$都是外测度.

由于$H_\delta^m$关于$\delta$单减, 因此$\delta\rightarrow 0+$处的极限总存在(可能是$+\infty$), 故可记$\mathcal{H}^m(A)=\sup_{\delta>0}\mathcal{H}_\delta^m(A).$ 容易验证$\mathcal{H}^m$与$\mathcal{H}_\delta^m$均是外测度. 注意到$\mathcal{H}^0$事实上即为计数测度.

注 1.1. 由于$\operatorname{diam}C=\operatorname{diam}\overline{C},$ 可额外要求$\mathcal{H}_\delta^m$中选取的集合为闭集. 由于闭集有小的开邻域, 也可选取开集. 对完全有界集$A,$ $\mathcal{H}_\delta^m(A)<\infty,$ $\,\forall\,m\ge0,$ $\delta>0.$

容易看出$\mathcal{H}^m$满足Caratheodory判别准则, 因此$\mathcal{H}^m$是Borel测度. 特别地由前面的注记, 容易说明它还是Borel正则测度. 不过需要注意的是, $\mathcal{H}_\delta^m$不见得是Borel测度, 比如在$\mathbb{R}^2$上, 对$\mathcal{H}_1^1,$ 取$S_\frac{1}{2}=I\times \{0,\frac{1}{2}\},$ $I=[0,1].$ 那么$\mathcal{H}_1^1(S_\frac{1}{2})<2,$ 但是对Borel集$\mathbb{H}=\{y>0\},$ $\mathcal{H}_1^1(S_\frac{1}{2}\cap \mathbb{H})=\mathcal{H}_1^1(S_\frac{1}{2}\setminus \mathbb{H})=1,$ 因此$\mathbb{H}$不满足Caratheodory条件, 并不是$\mathcal{H}_1^1$-可测集.

几何意义

事实上, 对整数$m\ge 1,$ $\mathcal{H}^m$恰恰就是$\mathbb{R}^{n}$中$m$维$C^1$子流形的体积测度, $n\ge m.$ 我们先说明$\mathcal{H}^n,\mathcal{L}^n$在$\mathbb{R}^n$上一致.

首先回忆$\mathcal{L}^n$的定义. 定义$\mathcal{K}$为全体$n$维开区间$I=(a_1,b_1)\times\cdots\times(a_n,b_n)$的集合. 定义开区间的体积$|I|=(b_1-a_1)\cdots(b_n-a_n).$ 接下来定义$\mathcal{L}^n(A)=\inf\sum_j |I_j|,$ 下确界在满足$\{I_j\}\in \mathcal{K},$ $A\subset\bigcup_jI_j$的集合列中取.

容易看出$\mathcal{L}^n$由具如下特征的外测度刻画:

$$\mu^n(I)=|I|,\,\forall\,I\in \mathcal{K},\quad \mu^n(A)=\inf_{\text{开}U\supset A}\mu^n(U),\,\forall\,A\subset \mathbb{R}^n.$$

这是因为由Caratheodory判别法, $\mu^n$是Borel(正则)测度, 因此由$\mathcal{K}$在可列并/交/补运算下生成的集合都是可测集. $\mathcal{K}$在有限交下封闭, 由此不难证明对有限并, 有$\mu^n(\bigcup_jI_j)=\mathcal{L}^n(\bigcup_jI_j),$ 进而由单调性对可列并也对. 而$\mathcal{K}$为拓扑基, 在可列并操作下生成全体开集, 因此$\mu^n(U)=\mathcal{L}^n(U)$对所有开集$U$成立, 进而由定义即有$\mu^n=\mathcal{L}^n.$

接下来我们证明$\mathcal{L}^n(A)=\mathcal{H}^n(A),$ 事实上可以说明$\mathcal{L}^n(A)=\mathcal{H}_\delta^n(A),$ 为此首先说明:

引理 1.2. $\mathcal{H}_\delta^n(A)\le \mathcal{L}^n(A),$ $\,\forall\,\delta>0.$

证: 由Vitali/Besicovitch覆盖引理(下一节介绍), 对任意开集$U,$ 可找到无交闭球族$\{B_j\},$ $\operatorname{diam}B_j<\delta,$ $B_j\subset U,$ $\mathcal{L}^n(U\setminus \bigcup_j B_j)=0.$ 即闭球族在$\mathcal{L}^n$测度意义下覆盖$U.$ 由定义容易看出$\mathcal{L}^n(A)=0\Leftrightarrow \mathcal{H}_\delta^n(A)=0,$ 因此也有$\mathcal{H}_\delta^n(U\setminus \bigcup_j B_j)=0.$

取$U$为$I_k\in \mathcal{K}.$ 那么

$$\begin{aligned} \mathcal{H}_\delta^n(I_k)&=\mathcal{H}_\delta^n(\cup_jB_j)\le\sum_j \omega_n\left(\frac{\operatorname{diam}B_j}{2}\right)^n\\ &=\sum_j\mathcal{L}^n(B_j)=\mathcal{L}^n(\cup_j B_j)=\mathcal{L}^n(I_k)=|I_k|. \end{aligned}$$

进而$\,\forall\,A\subset \bigcup_k I_k,$

$$\mathcal{H}_\delta^n(A)\le\mathcal{H}_\delta^n(\cup_k I_k)\le \sum_k\mathcal{H}_\delta^n(I_k)\le \sum_k |I_k|.$$

对所有这样的$\{I_k\}$取下确界, 即可说明$\mathcal{H}_\delta^n(A)\le \mathcal{L}^n(A).$

为了说明反向的不等式, 首先需要如下定理:

定理 1.3 (等直径不等式). $\mathcal{L}^n(A)\le \omega_n\left(\frac{\operatorname{diam}A}{2}\right)^n.$

证: 只需证明$A$为紧集的情形, 因为$\operatorname{diam}A=\infty$时平凡(有界), 而$A\subset \overline{A},$ $\operatorname{diam}{\overline{A} }=\operatorname{diam}{A}$(闭). 对紧集$A,$ 我们做Steiner对称化: 在$x^j$方向, 对所有$j$分量为$0$的坐标点$\xi,$ 截取$A$与从$\xi$点出发的$x^j$线$\ell_j(\xi)$相交的部分, 重置为相同长度的以$\xi$为中点, 落在$x^j$线上的线段, 如下图所示.

首先说明对称化后的集合是紧的, 这在后面说明直径减小时会用到. 只需说它是闭的. 记$A$在$\xi$点上$x^j$方向截取的长度为$2f(\xi),$ 则$\,\forall\,\xi_i\rightarrow \xi,$ $t_i\rightarrow t,$ $|t_i|\le f(\xi_i),$ 需说明$|t|\le f(\xi).$ 只需说明$f$是上半连续的, 这样就有$f(\xi)\ge \varlimsup_i f(\xi_i)\ge \varlimsup_i |t_i|=|t|.$

记$\pi:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$为到$x^j$方向上的投影, 那么$f(\xi)=\mathcal{L}^1(\pi(A\cap \ell_j(\xi))).$ $\,\forall\,\varepsilon>0,$ 可以取开区间$U\supset\pi(A\cap \ell_j(\xi)),$ 使得$\mathcal{L}^1(U)\le f(\xi)+\varepsilon.$ 取开集$\pi^{-1}(U)\supset A\cap \ell_j(\xi),$ 我们说明对充分靠近$\xi$的$\eta,$ 有$A\cap\ell_j(\eta)\subset \pi^{-1}(U).$ 不然有$\xi_i\rightarrow \xi,$ 使得$A\cap \ell_j(\xi_i)$中总有不在$\pi^{-1}(U)$中的点$x_i=\xi_i+s_i e_j,$ $s_i\in \mathbb{R}.$ 由于$A$有界, 有界点列$\{s_i=\pi(x_i)\}$有收敛子列, 不妨设自身收敛, 那么$x_i=\xi_i+s_i e_j\rightarrow \xi+s e_j=:x.$ 由于$U^c$闭, $\pi(x)\notin U,$ 但是$x\in A\cap \ell_j(\xi)\subset \pi^{-1}(U),$ 矛盾. 这样就说明$\,\exists\,\delta>0,$ $\,\forall\,\eta\in O_\delta(\xi),$ $f(\eta)\le f(\xi)+\varepsilon,$ 即$f$是上半连续的.

由Fubini定理, 对称化后$\mathcal{L}^n$测度不变, 而对称化后的直径比原先要小, 因此考虑对对称化后的情形证明即可. 直径减小是因为设对称化后$a,b$为$|b-a|$取到直径长度的两点, 那么他们关于$x^j=0$的对称点$\widetilde{a},\widetilde{b}$也是$|\widetilde{b}-\widetilde{a}|$取到直径长度的两点. 如果$a,b$在原集合中距离小于$|b-a|,$ 那么$\widetilde{a},\widetilde{b}$在原集合中距离一定会放大. 这用勾股定理即可简单地说明.

容易证明对已经关于$x^i=0$对称的集合做$x^j$方向的Steiner对称化后, 仍是关于$x^i=0$对称的. 因此对$A$做所有$x^j$方向的Steiner对称化后, 它在所有$x^j$方向上对称, 特别地还是中心对称的. 记其为$\widetilde{A},$ 那么它一定包含在以原点为球心, $\operatorname{diam}\widetilde{A}$为直径的闭球内. 由此命题得证.

定理 1.4. $\mathcal{L}^n(A)=\mathcal{H}^n(A)=\mathcal{H}^n_\delta(A),$ $\,\forall\,A\subset \mathbb{R}^n, \delta>0.$

证: 由前面的引理, 只需再说明$\mathcal{L}^n(A)\le \mathcal{H}_\delta^n(A).$ 而这由上面的不等式是即得的, 与引理证明方法相同. 即$\,\forall\,A\subset C_j,$

$$\mathcal{L}^n(A)\le \mathcal{L}^n(\cup_j C_j)\le \sum_j\mathcal{L}^n(C_j)\le \sum_j\omega_n\left(\frac{\operatorname{diam}C_j}{2}\right)^n.$$

那么对所有这样的$\{C_j\}$取下确界, 即有$\mathcal{L}^n(A)\le \mathcal{H}_\delta^n(A).$

文章最后更新于 2021-10-25 10:58:21