《微分流形》第三章-子流形

子流形

设$F:M^m\hookrightarrow N^n$为子流形. 若$\,\forall\,p\in M,$ 存在含$q=F(p)$的$N$中坐标系$(V,\psi,y^\alpha),$ 使得$F(M)\cap V$为$V$中切片, 则称$(M,F)$为$N$中的正则子流形.

另外, $F(M)$是$N$的子集, 可以从$N$中诱导子空间拓扑, 也可以通过$F$将$M$上的拓扑搬到$F(M)$上. 若两种诱导拓扑一致, 则称$(M,F)$为嵌入子流形.

定理 1.1. 设$F:M\rightarrow N$是子流形, 则$(M,F)$是正则子流形当且仅当它是嵌入子流形.

证明可参考白,沈的《黎曼几何初步》.

定理 1.2. 设$F:M\rightarrow N$是子流形. 如果$M$紧致, 则$(M,F)$一定是嵌入子流形.

证: 赋予$F(M)$作为$N$中子集所诱导的拓扑$\mathcal{T},$ 只需说明$F:M\rightarrow F(M)$为同胚. 首先说明$F$是连续的. 对任意开集$U\subset F(M),$ 存在开集$\widetilde{U}\subset N,$ 使得$U=\widetilde{U}\cap F(M).$ 那么$F^{-1}(U)=F^{-1}(\widetilde{U})$是$M$中开集. 接下来说明$F$为闭映射. 而紧空间到$T_2$空间的连续映射都是闭映射, 由此得证.

定理 1.3. 设$F:M^m\rightarrow N^n$是光滑映照. 取$q\in N,$ 定义$P:=F^{-1}(q).$ 若$\,\forall\,p\in P,$ $r({F_{\ast } }_p)=n,$ 则$P$具有唯一的$C^\infty$-流形结构使$(P,i)$是$M$的正则子流形, $\dim P=m-n.$

证: 由秩定理, 可以取到合适的盒形坐标系使$\widehat{F}$为投影. 因此$\widehat{F}^{-1}(0)=\{(0,\cdots,0,x^{n+1},\cdots,x^m)||x^\gamma|<\delta\},$ 即$\widehat{F}^{-1}(0)=F^{-1}(q)\cap U$为$U$中$n$维切片. 赋予$P$子空间拓扑, 取坐标图册$\{(P\cap U,\pi\circ\varphi)\},$ 易见$P$成为$m-n$维拓扑流形. 同时容易看出图册满足$C^\infty$相容性, 因此$P$具有$C^\infty$-流形结构. 显然单射$i\in C^\infty(P,M)$且秩为$m-n,$ 因此它是子流形. 由先前说明, 局部来看它又是切片, 因此$(P,i)$是正则子流形.

推论 1.4. 如果满射$F:M\rightarrow N$是淹没, 则$\,\forall\,q\in N,$ $F^{-1}(q)$为$M$中$m-n$维正则子流形.

一个问题是给定$C^\infty$流形$M^m,$ 是否存在$F:M\rightarrow \mathbb{R}^N,$ 使$(M,F)$是$\mathbb{R}^N$中子流形. H.Whitney 指出, 存在$F:M^m\hookrightarrow \mathbb{R}^{2m+1}$为正则子流形.

向量场的积分曲线

设$X\in \chi(M),$ $\gamma:(a,b)\rightarrow M$为$C^\infty$-曲线, 若$\gamma’(t)=X_{\gamma(t)},$ $\,\forall\,t\in (a,b).$ 则称$\gamma$是$X$的积分曲线. 如果$0\in(a,b),$ $p=\gamma(0)$称为$\gamma$的初始点.

给定$X\in\chi(M),$ $p\in M.$ 任取坐标系$(U,\varphi;x^i),$ $\{X_i\}_{i=1}^m$为自然基. 那么$X|_U=\sum \xi^iX_i,$ $\xi^i\in C^\infty(U).$ 而$\gamma’(t)=\sum_i \frac{dx^i(t)}{dt}X_i,$ 因此求积分曲线$\gamma$即在给定初值后解常微分方程组:

$$\frac{dx^i}{dt}=\xi^i(\gamma(t))=\widehat{\xi}^i(x^1,\cdots,x^m),\quad i=1,\cdots,m.$$

其中$\widehat{\xi}^i=\xi^i\circ\varphi^{-1}\in C^\infty(\varphi(U)).$ 由常微分方程基本定理, 我们有如下命题:

命题 1.5. 设$X\in\chi(M),$ 则$\,\forall\,p\in M,$ $\,\exists\,\varepsilon>0,$ $\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M,$ 使得$\gamma(0)=p$且$\gamma$为$X$的积分曲线.

设$X\in\chi(M),$ 若$X_p=0,$ 则称$p$为$X$的奇点. 一个经典的命题是, 球面上光滑向量场必有奇点. 一个典型的证明是应用指标定理, 而球面的欧拉示性数非零.

回忆切丛$TM$为$2m$维$C^\infty$流形, 对$U\subset M,$ 有局部平凡化$\widetilde{\Phi}:TU=\pi^{-1}(U)\cong U\times \mathbb{R}^m$为微分同胚, 且$\widetilde{\Phi}|_{T_{p}M}:T_pM\rightarrow \{p\}\times \mathbb{R}^m$为线同构(保纤维). 那么上面的命题说明, $TS^2\not\cong S^2\times \mathbb{R}^2,$ 即球面切丛非平凡丛.

文章最后更新于 2021-10-27 21:07:04