流形是仿紧的

定义 1.1. 设$X$为$T_2$空间, 若任意开覆盖有局部有限加细, 则称$X$为仿紧空间.

命题 1.2. 流形是仿紧空间.

证: 取流形$M^n$的坐标图册$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\},$ 首先可将开覆盖加细使得每个开集落在某个坐标邻域$U_\alpha$内(取交即可), 再由流形的$C_2$性, 开覆盖有可数子覆盖$\{V_i\}.$ 设每个$V_i\subset U_i,$ $(U_i,\varphi_i)$为坐标邻域且允许对某个$i\neq j$有$U_i=U_j.$ 将每个$V_i$拉回到$\mathbb{R}^n$上, 那么开集$\varphi_i(V_i)$有穷竭序列$K_{i,1}\subset K_{i,2}\subset \cdots,$ 每个$K_{i,j}$为紧集. 接下来构造我们想要的局部有限加细:

$$W_i:=V_i\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1} \varphi_{j}^{-1}(K_{j,i})$$

那么$\{W_i\}$满足要求. 首先每个$W_i$确实是开集, 因为$\varphi_i$为同胚而$K_{j,i}$为紧集, 紧集的连续像仍是紧集, 同时在$T_2$空间是闭的. 它当然是覆盖$\{V_i\}$的加细, 也是初始开覆盖的加细. 最后我们说明它确实是局部有限的开覆盖.

$\,\forall\,x\in M,$ $\,\exists\,V_i \ni x.$ 令$V_a$为其中指标最小的开集, 那么由于$\varphi_{j}^{-1}(K_{j,i})\subset V_{j},$ $\,\forall\,j\textless a,$ $x\notin V_j,$ 从而$x\in W_a.$ 然而又由$V_a$有穷竭序列, 存在$x$的小邻域$O_x,$ $\,\exists\,b>a,$ $\,\forall\,k> b,$ $O_x\subset \varphi_{a}^{-1}(K_{a,k}),$ 因此$O_x\cap W_k=\varnothing.$ 从而$O_x$至多与$b$个开集有交, 于是$\{W_i\}$是开覆盖的局部有限加细.

参考: https://mathoverflow.net/a/96783

文章最后更新于 2021-10-28 19:43:17