《微分流形》讨论稿-紧流形嵌入定理

紧支撑光滑函数

首先考虑克莱因瓶如何嵌入到$\mathbb{R}^4$里, 这直接导致我们需要如下的工具.

在$\mathbb{R}^n$上, 取$\varphi(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{|x|^2-1} },&|x|<1\\ 0,&|x|\ge 1. \end{cases},$ 令$\alpha(x)=\frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \varphi dx}\varphi(x).$ 那么$\alpha(x)\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ $\operatorname{supp}\alpha=B_1,$ 满足$\int_{\mathbb{R}^n}\alpha dx=1.$ 取$\alpha_\varepsilon=\frac{1}{\varepsilon^n}\alpha(\frac{x}{\varepsilon})\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ 则$\operatorname{supp}\alpha_\varepsilon=B_\varepsilon,$ 也满足$\int_{\mathbb{R}^n}\alpha_\varepsilon dx=1.$

定义卷积运算$f\ast g:=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y)dy.$ 那么对任意开集$E,$ $f=1_E\ast \alpha_\varepsilon=\int_E \alpha_\varepsilon(x-y)dy,$ 满足如下性质:

1. $f\in [0,1];$

2. $\,\forall\,x$满足$d(x,E^c)< \varepsilon,$ $f(x)=1;$

3. $\operatorname{supp}f=\overline{O_\varepsilon(E)};$

4. $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n).$

那么对流形上坐标卡$(U,\varphi),$ 倘若有开集$V\Subset W\Subset U,$ 则$\varphi(V)\Subset \varphi(W)\Subset \varphi(U).$ 记$\delta=\min(d(\overline{\varphi(V)},\varphi(W)^c),d(\overline{\varphi(W)},\varphi(U)^c))>0,$ 那么取$f=(1_{\varphi(W)}\ast \alpha_{\frac{\delta}{2} })\circ \varphi,$ 满足$f\in [0,1],$ $f|_{V}=1,$ 且$f\in C_c^\infty(U).$

紧流形的嵌入

基本思路是对每个坐标卡, 把坐标邻域分别嵌入到各自的$\mathbb{R}^m$里, 再留一维用来标识即可.

定理 1.1. 设$M$为$m$维紧致光滑流形, 则存在正整数$n,$ 以及光滑映射$\varphi:M\rightarrow \mathbb{R}^n,$ 使得$(M,\varphi)$是$\mathbb{R}^n$的正则子流形.

证: 取$M$的坐标图册$\{(U_i,\varphi_i;u_i^j)\}_{i=1}^k,$ 由于是紧流形, 可取到有限坐标图册. 取$M\setminus\bigcup_{j=2}^k U_j\subset V_1\Subset W_1\Subset U_1,$ 归纳地取$M\setminus(\bigcup_{j=1}^{i-1}V_j\cup\bigcup_{j=i+1}^k U_j)\subset V_i\Subset W_i\Subset U_i,$ 得到加细$\{V_i\}$覆盖$M,$ 且对每个$V_i$由前面的说明, 存在$f_i\in C_c^\infty(U_i),$ $f_i|_{V_i}=1.$ 可以将$f_i$零延拓到$M$上.

在$M$上定义$n=k(m+1)$个光滑函数: $\begin{aligned} x_i^0&=f_i\\ x_i^j&=f_i \cdot u_{i}^j\\ \end{aligned}$ 其中$i=1,\cdots,k,$ $j=1,\cdots,m.$ 虽然每个函数只定义在$U_i$上, 但是同样可零延拓到整个$M$上. 这给出了光滑映射$\Phi:M\rightarrow \mathbb{R}^n,$ 断言$(M,\Phi)$即为$\mathbb{R}^n$的正则子流形.

首先它确实是子流形: 先验证秩, 由于$\,\forall\,p\in M,$ $\,\exists\,V_i\supset O_p\ni p,$ 那么$f_i|_{O_p}\equiv 1,$ 从而$\det \frac{\partial(x^{1}_i,\cdots,x^m_i)}{\partial (u_i^1,\cdots,u_i^m)}=1,$ $r(\Phi)=m.$ 因此$(M,\Phi)$是浸入子流形.

接下来若$\Phi(p)=\Phi(q),$ 那么倘若$V_i\supset p,$ $f_i(p)=1=f_i(q)\Rightarrow q\in V_i.$ 从而$\varphi_i(p)=\varphi_i(q),$ 由于$\varphi_i$为同胚, $p=q.$ 因此$\Phi$是单射, $(M,\Phi)$是子流形.

由于$M$紧, 由上节课定理, $(M,\Phi)$自动是嵌入子流形, 而由另一定理又说明$(M,\Phi)$也是正则子流形.

维数论

通过这种方式得到的嵌入显然有些暴力, 多余的维数太多了. 以$S^2$为例, 至少要用两个坐标卡来描述, 此时按照上面的方法里要嵌入到$n=2\times(2+1)=6$维空间里. 倘若用标准的六个坐标卡来描述甚至要嵌到$18$维空间里. 事实上我们可以用维数论的方法将外围空间维数降低. 首先需要介绍Sard定理:

定理 1.2 (Sard定理). 设有光滑映照$f:M^m\rightarrow N^n,$ 则$N$上临界值全体零测.

临界值即为$M$上临界点的像, 临界点指使得$r(f)<n$的点, 即$f$在临界点非淹没.

定理 1.3. 若$m$维光滑流形$M$可单浸入$\mathbb{R}^K$中, $K>2m+1,$ 那么它也可以单浸入$\mathbb{R}^{K-1}$中.

证: 记单浸入为$\Phi,$ $\mathbb{R}^K$中所有过原点的超平面$P$全体为$\mathbb{R}\mathrm{P}^{K-1},$ 它是一个$K-1$维光滑流形. 我们说明使得$\pi_P\circ \Phi$不是单浸入的$P$在$\mathbb{R}\mathrm{P}^{K-1}$上是零测集.

若其不是单射, 则$M$上有两点$p,q,$ 使得$P$在原点法线$[v]=[\Phi(p)-\Phi(q)]$决定. 从而$[v]$落在

$$\alpha:M\times M\setminus \Delta_M\rightarrow \mathbb{R}\mathrm{P}^{K-1}, \quad(p,q)\mapsto[\Phi(p)-\Phi(q)]$$

的像集中, 其中$\Delta_M=\{(p,p)|p\in M\}.$ 那么$\alpha$是光滑映射, $M\times M\setminus \Delta_M$为$2m$维开子流形, 由假设$2m<K-1,$ 因此$\alpha$处处非淹没, 从而像集零测.

若其不是浸入, 则$\,\exists\,p\in M,$ $0\neq X_p\in T_pM$使得$(d\pi_P)_{\Phi(p)} (d\Phi)_p(X_p)\neq 0.$ 而$\pi_P$本身是线性映照, $d\pi_P=\pi_P,$ 因此$[(d\Phi)_p(X_p)]=[v]\neq 0.$ 从而$[v]$落在

$$\beta:TM\setminus\{(p,0)\,|\,p\in M\}\rightarrow \mathbb{R}\mathrm{P}^{K-1}, \quad(p,X_p)\mapsto[(d\Phi)_p(X_p)]$$

的像集中. $\beta$是光滑映射, 左侧同样为$2m$维开子流形, 由Sard定理同理有像集零测. 综上不是单浸入的$P$在$\mathbb{R}\mathrm{P}^{K-1}$上零测, 于是几乎处处可以取到投影将维数降低.

于是我们得到若$M$可单浸入$\mathbb{R}^K$中, 则必可单浸入$\mathbb{R}^{2m+1}$中. 事实上对不是浸入的证明, 可将$TM$更换为球面丛$SM=\{(p,X_p)\,|\,|X_p|=1\},$ 切丛度量由外围空间诱导. 此时$SM$是$2m-1$维光滑流形, 维数可以再降低. 因此当$M$可嵌入$\mathbb{R}^{2m+1}$时, $M$可浸入$\mathbb{R}^{2m}.$

综上, 任意$m$维光滑紧流形可嵌入$\mathbb{R}^{2m+1}$中, 可浸入$\mathbb{R}^{2m}$中.

Whitney嵌入定理

对于非紧情形, 我们给出证明的思路.

定理 1.4. 任意非紧光滑流形$M$可单浸入到$\mathbb{R}^K$中.

我们将$M$划分为可列多个紧子流形的并$M=\cup_{i}{M_i}$, 保证$M_i\cap M_j=\varnothing,$ 若$|j-i|\ge 2.$ 这样设$M_i$上有到$\mathbb{R}^{2m+1}$的嵌入$\varphi_i,$ 取$M_i$小邻域的单位分解$\rho_i$, 则

$$\left(\sum_{i-odd}\rho_i \varphi_i, \sum_{i-even}\rho_i \varphi_i, f\right)$$

给出了想要的单浸入, $f$为控制函数, 提供了$M_i$的划分方法.

这样$M^m$可单浸入到$\mathbb{R}^{2m+1}$中, 不过不见得是嵌入. 不过可以改造单浸入成为嵌入, 利用如下命题, 即Lee的光滑流形导论中的命题4.22(b):

命题 1.5. 逆紧的光滑单浸入是嵌入. (像空间是局部紧$T_2$的即可, 此时逆紧连续映射是闭映射.)

将单浸入改造为逆紧的单浸入, 就得到了经典的Whitney嵌入定理.

定理 1.6 (Whitney嵌入定理). $m$维光滑流形$M$可嵌入$\mathbb{R}^{2m+1},$ 可浸入$\mathbb{R}^{2m}.$

其它结果

应用Whitney trick, 可以证明如下定理:

定理 1.7 (强Whitney嵌入定理). 任意$m\ge 2$维以上光滑流形可嵌入$\mathbb{R}^{2m}$中, 可浸入$\mathbb{R}^{2m-1}$中.

还有许多更细致的结果如下:

• $m$维光滑紧定向流形可嵌入$\mathbb{R}^{2m-1}$中.

• $m\neq 2^k$时, $m$维光滑流形可嵌入$\mathbb{R}^{2m-1}$中. $m=2^k$时, $\mathbb{R}\mathrm{P}^m$不可嵌入$\mathbb{R}^{2m-1}$中.

• $m$维光滑流形可浸入$\mathbb{R}^{2m-a(m)}$中, $a(m)$为$m$二进制表示中$1$的数目, $m\ge 2.$

最后一个结果出自The Immersion Conjecture for Differentiable Manifolds, Ralph L. Cohen. 方法源于E.H.Brown与F.P.Peterson的工作. 事实上由障碍性理论(Smale-Hirsch theory), 浸入的唯一阻碍是Stiefel-Whitney示性类, 由此可以说明对$m=2^{i_1}+\cdots+2^{i_l},$ 取$M^m=\mathbb{R}\mathrm{P}^{2^{i_1} }\times\cdots\times \mathbb{R}\mathrm{P}^{2^{i_l} },$ $M^m$浸入的最低维数为$\sum_j(2i_j-1)=2m-a(m).$ 因此该结果是最佳的.

文章最后更新于 2021-11-01 17:27:27