《微分流形》第五章-多重线性代数

张量积

设$V$是数域$\mathbb{F}=\mathbb{R}$上$n$维向量空间, $e_1,\cdots,e_n$为$V$的基. $V\ni v=\sum_{i=1}^n a^ie_i.$ 那么$V^\ast =\{\text{linear} f:V\rightarrow \mathbb{R}\}$也构成$n$维向量空间, 称为对偶空间. $\,\forall\,f\in V^\ast ,$ $f$由基上取值$\{f(e_1),\cdots,f(e_n)\}$唯一决定. 仅在$e_i$上取$1$的函数记为$\omega^i$, 即$\omega^i(e_j)=\delta^i_j.$ $\{\omega^i\}$构成了$V^\ast $的一组基, 称为$\{e_i\}$的对偶基.

对于有限维向量空间, 显然我们总有$(V^\ast )^\ast =V.$ 记$(f,v)=f(v)$为配对.

设$V_1,\cdots,V_r,Z$为向量空间. 若 $f:V_1\times\cdots\times V_r\rightarrow Z$ 关于每个分量是线性的, 则称$f$是$r$-重线性映照. 当$Z=\mathbb{R}$时, 称为$r$-重线性函数. 内积就是$2$-重线性函数, 称为双线性函数. 向量积(外积)是双线性映照. 行列式也可视为多重线性函数.

记$\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;Z)=\{\text{multi-linear} f:V_1\times\cdots\times V_r\rightarrow Z\},$ 容易验证它也是向量空间. 取$Z$的一组基$\{\eta_\alpha\},$ 那么任意$f\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;Z)$可分解成为基上函数$f^\alpha.$

对$r=2$的情形, 设$V,W$是向量空间, $\dim V=n,$ $\dim W=m,$ 则$\,\forall\,f\in \mathcal{L}(V,W;\mathbb{R}),$ $\,\forall\,v\in V,$ $w\in W,$

$$f(\cdot,w)\in V^\ast ,\quad f(v,\cdot) \in W^\ast .$$

任取$v^\ast \in V^\ast ,$ $w^\ast \in W^\ast ,$ 引入如下双线性函数:

$$(v^\ast \otimes w^\ast )(v,w):=v^\ast (v)w^\ast (w)\,\Rightarrow\, v^\ast \otimes w^\ast \in \mathcal{L}(V,W;\mathbb{R}).$$

称为$v^\ast $和$w^\ast $的张量积. $h=\otimes:V^\ast \times W^\ast \rightarrow \mathcal{L}(V,W;\mathbb{R}).$

容易验证, 它是双线性的, 即张量积 $\otimes$ 满足分配律.

定义空间$V^\ast ,W^\ast $间的张量积:

$$V^\ast \otimes W^\ast =\operatorname{span}\{\operatorname{Im}h\}=\left\{\sum_{i=1}^{k}a_i (v_i^\ast \otimes w_i^\ast )\,|\, \,\forall\,a_i\in \mathbb{R}, v_i\in V^\ast , w_i\in W^\ast , k\in \mathbb{Z}_+\right\}.$$

命题 1. $V^\ast \otimes W^\ast =\mathcal{L}(V,W;\mathbb{R}).$

证: 只需说明若$\{\omega^i\}, \{\sigma^\alpha\}$分别是$V^\ast ,W^\ast $的基, 则$\{\omega^i\otimes \sigma^\alpha\}$为$\mathcal{L}(V,W;\mathbb{R})$的基. 特别地由此可得到$\dim \mathcal{L}(V,W;\mathbb{R})=\dim V^\ast \otimes W^\ast =\dim V^\ast \cdot \dim W^\ast =\dim V\cdot \dim W.$

易见$V^\ast \otimes W^\ast =\operatorname{span}\{\omega^i\otimes \sigma^\alpha\},$ 证其线性无关, 从而是一组基. 为此, 只需利用对偶基$\{e_i\},$ $\{\xi_\alpha\}$讨论系数即可.

而$\,\forall\,f\in \mathcal{L}(V,W),$ $f$由$f(e_i,\xi_\alpha)$唯一决定. 因此$\dim \mathcal{L}(V,W)=\dim V^\ast \otimes W^\ast .$ 由$V^\ast \otimes W^\ast \subset \mathcal{L}(V,W)$即知$V^\ast \otimes W^\ast =\mathcal{L}(V,W).$

由于$V,V^\ast ;$ $W,W^\ast $互为对偶, 类似地可以对$v\in V,w\in W,$ 定义

$$(v\otimes w)(v^\ast ,w^\ast )=v(v^\ast )w(w^\ast )=v^\ast (v)w^\ast (w).$$

此时$h=\otimes:V\times W\rightarrow \mathcal{L}(V^\ast ,W^\ast ;\mathbb{R})$是双线性的, 类似定义$V$和$W$的张量积$V\otimes W=\operatorname{span}\{\operatorname{Im}h\}.$ 同理它与空间$\mathcal{L}(V^\ast ,W^\ast ;\mathbb{R})$等同, $\dim V\otimes W=n\cdot m,$ 且$\{e_i\otimes \xi_\alpha\}$为$V\otimes W$的基.

文章最后更新于 2021-11-23 18:00:20