《微分流形》第五章-张量积
DreamAR

万有映照性质

设$V,W,U$为向量空间, $\psi:V\times W\rightarrow U$为双线性映照. 若$\,\forall\,$向量空间$Z,$ 双线性映照$f:V\times W\rightarrow Z,$ 都存在唯一线性映照$g:U\rightarrow Z,$ 使得$f=g\circ\psi,$ 则称 $(U,\psi)$具有万有映照性质.

引理 1. $(U,\psi)$在下述意义下是唯一的: 若$(\widetilde{U},\widetilde{\psi})$具有万有映照性质, 则$\,\exists\,g:U\cong \widetilde{U}$为线性同构, 且$\widetilde{\psi}=g\circ\psi.$

证: 只需说明$\,\exists\,g,\widetilde{g},$ 使得

利用万有映照性质中的唯一性即可说明$g\circ\widetilde{g}=\mathrm{id}_{\widetilde U},$ $\widetilde{g}\circ g=\mathrm{id}_{U}.$

命题 2. 设$V,W$为向量空间, 则$(V\otimes W,h=\otimes)$具有万有映照性质.

证: 对任意双线性型$f:V\times W\rightarrow Z,$ $f$由基上取值$f(e_i,\sigma_\alpha)$决定. 只需说明使得

的线性映照$g$存在唯一. 注意到$e_i\otimes \sigma_\alpha$为$V\otimes W$的基, 因此$(\ast )$式决定了$g$, 这说明了唯一性.

至于存在性, 依$(\ast )$式定义$g$即可, 因为在基上满足条件了, 映照又都是线性的, 自然在所有元素上满足$f=g\circ h.$

注 3. 由唯一性, $(\widetilde{U},\widetilde{\psi})\cong (V\otimes W,h),$ 因此总可以用张量积来表示万有映照性质.

推论 4. $\mathcal{L}(V,W;Z)\cong \mathcal{L}(V\otimes W;Z),$ 由性质中的$f\mapsto g$联系. 特别地, $\mathcal{L}(V,W;\mathbb{R})=V^\ast \otimes W^\ast \cong (V\otimes W)^\ast .$

张量积

推广地, 设$\varphi\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{R}),$ $\psi\in \mathcal{L}(W_1,\cdots,W_s;\mathbb{R}),$ 定义

那么

满足双线性性, 即张量积满足分配律. 容易验证它也满足结合律. 但是一般的, 张量积不满足交换律.

进一步, 可以对$\varphi_i\in V_i^\ast =\mathcal{L}(V_i;\mathbb{R}),$ 定义张量积$\varphi_1\otimes \cdots\otimes \varphi_r\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{R}).$ 具体的,

即我们得到了

为一个$r$-重线性函数, $\otimes$满足分配律. 且设$\omega_{(i)}^{j_{i} }$是$V_i^\ast $的基, 那么$\{\omega_{(1)}^{j_1}\otimes\cdots\otimes \omega_{(r)}^{j_r}\}$构成$V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast =\operatorname{span}\{\operatorname{Im}\otimes^r\}$的基. 因此$\dim V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast =\dim V_1\cdots\dim V_r.$ 归纳地, 同理可证

由互为对偶性, 也可定义$v_1\otimes\cdots\otimes v_r,$ $v_i\in V_i,$ 以及$V_1\otimes\cdots\otimes V_r=\mathcal{L}(V_1^\ast ,\cdots,V_r^\ast ;\mathbb{R}).$ 若$\{e^{(i)}_{j_i}\}$为$V_i$的基, 则$\{e^{(1)}_{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{(r)}_{j_r}\}$为$V_1\otimes\cdots\otimes V_r$的基, $\dim V_1\otimes \cdots\otimes V_r=\dim V_1\cdots \dim V_r.$

对于万有映照性质, 也有多重形式的推广: 即设$V_1,\cdots,V_r,U$为向量空间, $h:V_1\times \cdots \times V_r\rightarrow U$为$r$-重线性映照. 若$\,\forall\,r$-重线性映照$f:V_1\times \cdots\times V_r\rightarrow Z,$ 存在唯一$g:U\rightarrow Z,$ 使得$f=g\circ h.$ 则称$(U,h)$具有万有映照性质.

类似地, 这样的$(U,h)$在线性同构意义下是唯一的, 且$(V_1\otimes \cdots\otimes V_r,h)$具有万有映照性质. 由此推出$(V_1\otimes \cdots\otimes V_r)^\ast \cong V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast .$ 而对于一般的$r$-重线性映照, 有

定义$(r+1)$-重线性映照

利用万有映照性质说明$g$为同构即可.

张量

设$V$是$\mathbb{R}$上$n$维向量空间, 令

称为$(r,s)$-型张量空间, 其中元素称为$(r,s)$型张量. 如$V_0^1=V,$ $V_1^0=V^\ast ,$ $V_0^0=\mathbb{R}.$

设$\{e_i\}$为$V$的基, $\{\omega^i\}$为对偶基, 则$\{e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\otimes \omega^{j_1}\otimes\cdots\otimes \omega^{j_s}\}$构成$V^r_s$的基, $\dim V_s^r=n^{r+s}.$

$\,\forall\,\Phi\in V^r_s,$ $\Phi$的分量$\Phi^{k_1\cdots k_r}_{l_1\cdots l_s}=\Phi(\omega^{k_1},\cdots,\omega^{k_2},e_{l_1},\cdots,e_{l_s}).$ 若另取基$\{\widetilde{e}_i\}$与对偶基$\{\widetilde{\omega}^i\},$ 那么有$\widetilde{e}_i= a_i^je_j,$ $\widetilde{\omega}^i=b_j^i\omega^j,$ 其中$a_i^jb_j^k=\delta_i^k.$ 那么变换后, 分量上的变化为:

称它是$r$-阶反变, $s$-阶共变的.

文章最后更新于 2021-11-24 16:14:25

  • 本文标题:《微分流形》第五章-张量积
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2021-11-24 16:14:18
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