《微分流形》第五章-张量积

万有映照性质

设$V,W,U$为向量空间, $\psi:V\times W\rightarrow U$为双线性映照. 若$\,\forall\,$向量空间$Z,$ 双线性映照$f:V\times W\rightarrow Z,$ 都存在唯一线性映照$g:U\rightarrow Z,$ 使得$f=g\circ\psi,$ 则称 $(U,\psi)$具有万有映照性质.

引理 1. $(U,\psi)$在下述意义下是唯一的: 若$(\widetilde{U},\widetilde{\psi})$具有万有映照性质, 则$\,\exists\,g:U\cong \widetilde{U}$为线性同构, 且$\widetilde{\psi}=g\circ\psi.$

证: 只需说明$\,\exists\,g,\widetilde{g},$ 使得

$$\widetilde\psi=g\circ\psi=(g\circ \widetilde{g})\circ\widetilde\psi=\mathrm{id}\circ\widetilde\psi;$$ $$\psi=\widetilde{g}\circ\widetilde\psi=(\widetilde g\circ g)\circ\psi=\mathrm{id}\circ\psi.$$

利用万有映照性质中的唯一性即可说明$g\circ\widetilde{g}=\mathrm{id}_{\widetilde U},$ $\widetilde{g}\circ g=\mathrm{id}_{U}.$

命题 2. 设$V,W$为向量空间, 则$(V\otimes W,h=\otimes)$具有万有映照性质.

证: 对任意双线性型$f:V\times W\rightarrow Z,$ $f$由基上取值$f(e_i,\sigma_\alpha)$决定. 只需说明使得

$$f(e_i,\sigma_\alpha)=g\circ h(e_i,\sigma_\alpha)=g(e_i\otimes \sigma_\alpha)\eqno{(\ast )}$$

的线性映照$g$存在唯一. 注意到$e_i\otimes \sigma_\alpha$为$V\otimes W$的基, 因此$(\ast )$式决定了$g$, 这说明了唯一性.

至于存在性, 依$(\ast )$式定义$g$即可, 因为在基上满足条件了, 映照又都是线性的, 自然在所有元素上满足$f=g\circ h.$

注 3. 由唯一性, $(\widetilde{U},\widetilde{\psi})\cong (V\otimes W,h),$ 因此总可以用张量积来表示万有映照性质.

推论 4. $\mathcal{L}(V,W;Z)\cong \mathcal{L}(V\otimes W;Z),$ 由性质中的$f\mapsto g$联系. 特别地, $\mathcal{L}(V,W;\mathbb{R})=V^\ast \otimes W^\ast \cong (V\otimes W)^\ast .$

张量积

推广地, 设$\varphi\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{R}),$ $\psi\in \mathcal{L}(W_1,\cdots,W_s;\mathbb{R}),$ 定义

$$(\varphi\otimes \psi)(v_1,\cdots,v_r,w_1,\cdots,w_s):=\varphi(v_1,\cdots,v_r)\cdot\psi(w_1,\cdots,w_s).$$

那么

$$h=\otimes:\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{R})\times \mathcal{L}(W_1,\cdots,W_s;\mathbb{R})\rightarrow \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r,W_1,\cdots,W_s;\mathbb{R}),$$

满足双线性性, 即张量积满足分配律. 容易验证它也满足结合律. 但是一般的, 张量积不满足交换律.

进一步, 可以对$\varphi_i\in V_i^\ast =\mathcal{L}(V_i;\mathbb{R}),$ 定义张量积$\varphi_1\otimes \cdots\otimes \varphi_r\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{R}).$ 具体的,

$$(\varphi_1\otimes\cdots\otimes \varphi_r)(v_1,\cdots,v_r)=\varphi_1(v_1)\cdots\varphi_r(v_r),$$

即我们得到了

$$\begin{aligned} \otimes^r:V_1^*\times\cdots\times V_r^*&\rightarrow\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{R}),\\ (\varphi_1,\cdots,\varphi_r)&\mapsto \varphi_1\otimes\cdots\otimes \varphi_r, \end{aligned}$$

为一个$r$-重线性函数, $\otimes$满足分配律. 且设$\omega_{(i)}^{j_{i} }$是$V_i^\ast $的基, 那么$\{\omega_{(1)}^{j_1}\otimes\cdots\otimes \omega_{(r)}^{j_r}\}$构成$V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast =\operatorname{span}\{\operatorname{Im}\otimes^r\}$的基. 因此$\dim V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast =\dim V_1\cdots\dim V_r.$ 归纳地, 同理可证

$$V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast =\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;\mathbb{R}).$$

由互为对偶性, 也可定义$v_1\otimes\cdots\otimes v_r,$ $v_i\in V_i,$ 以及$V_1\otimes\cdots\otimes V_r=\mathcal{L}(V_1^\ast ,\cdots,V_r^\ast ;\mathbb{R}).$ 若$\{e^{(i)}_{j_i}\}$为$V_i$的基, 则$\{e^{(1)}_{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{(r)}_{j_r}\}$为$V_1\otimes\cdots\otimes V_r$的基, $\dim V_1\otimes \cdots\otimes V_r=\dim V_1\cdots \dim V_r.$

对于万有映照性质, 也有多重形式的推广: 即设$V_1,\cdots,V_r,U$为向量空间, $h:V_1\times \cdots \times V_r\rightarrow U$为$r$-重线性映照. 若$\,\forall\,r$-重线性映照$f:V_1\times \cdots\times V_r\rightarrow Z,$ 存在唯一$g:U\rightarrow Z,$ 使得$f=g\circ h.$ 则称$(U,h)$具有万有映照性质.

类似地, 这样的$(U,h)$在线性同构意义下是唯一的, 且$(V_1\otimes \cdots\otimes V_r,h)$具有万有映照性质. 由此推出$(V_1\otimes \cdots\otimes V_r)^\ast \cong V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast .$ 而对于一般的$r$-重线性映照, 有

$$\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;Z)=V_1^\ast \otimes \cdots\otimes V_r^\ast \otimes Z.$$

定义$(r+1)$-重线性映照

$$\begin{aligned} f:V_1^*\times\cdots\times V_r^*\times Z&\rightarrow \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_r;Z),\\ (v_1^*,\cdots,v_r^*,z)&\mapsto v_1^*\otimes \cdots\otimes v_r^*\cdot z, \end{aligned}$$

利用万有映照性质说明$g$为同构即可.

张量

设$V$是$\mathbb{R}$上$n$维向量空间, 令

$$V^r_s=(V\otimes \cdots\otimes V)^r\otimes (V^\ast \otimes\cdots\otimes V^\ast )_s=\mathcal{L}(V^\ast ,\cdots,V^\ast ,V,\cdots,V;\mathbb{R}),$$

称为$(r,s)$-型张量空间, 其中元素称为$(r,s)$型张量. 如$V_0^1=V,$ $V_1^0=V^\ast ,$ $V_0^0=\mathbb{R}.$

设$\{e_i\}$为$V$的基, $\{\omega^i\}$为对偶基, 则$\{e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\otimes \omega^{j_1}\otimes\cdots\otimes \omega^{j_s}\}$构成$V^r_s$的基, $\dim V_s^r=n^{r+s}.$

$\,\forall\,\Phi\in V^r_s,$ $\Phi$的分量$\Phi^{k_1\cdots k_r}_{l_1\cdots l_s}=\Phi(\omega^{k_1},\cdots,\omega^{k_2},e_{l_1},\cdots,e_{l_s}).$ 若另取基$\{\widetilde{e}_i\}$与对偶基$\{\widetilde{\omega}^i\},$ 那么有$\widetilde{e}_i= a_i^je_j,$ $\widetilde{\omega}^i=b_j^i\omega^j,$ 其中$a_i^jb_j^k=\delta_i^k.$ 那么变换后, 分量上的变化为:

$$\widetilde{\Phi}^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}=b_{k_1}^{i_1}\cdots b_{k_r}^{i_r} a_{j_1}^{l_1}\cdots a_{j_s}^{l_s} \Phi_{l_1\cdots l_s}^{k_1\cdots k_r}.$$

称它是$r$-阶反变, $s$-阶共变的.

文章最后更新于 2021-11-24 16:14:25