《微分流形》第五章-张量

对称张量与反称张量

对$\Phi\in V^\ast \otimes \cdots\otimes V^\ast =L(V,\cdots,V;\mathbb{R}),$ 若

$$\Phi(v_1,\cdots,v_i,\cdots,v_j,\cdots,v_k)=\pm \Phi(v_1,\cdots,v_j,\cdots,v_i,\cdots,v_k),\quad \,\forall\,1\le i,j\le k,$$

则称$\Phi$是对称(反称)的. 用$\odot^k(V^\ast )$表示$V^\ast \otimes\cdots\otimes V^\ast $中对称张量全体, $\Lambda^k(V^\ast )$表示反称张量全体.

令$J(k)$表示$k$阶置换群. 对于$\sigma\in J(k),$ 定义$\operatorname{sgn}:J(k)\rightarrow\{\pm 1\},$ 表示奇偶排列. 易验证$\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau).$ 定义作用$\sigma\Phi(v_1,\cdots,v_k):=\Phi(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)}),$ 易见$\sigma\Phi\in V^\ast \otimes\cdots\otimes V^\ast ,$ 且$\sigma$是线性映照. 那么$\Phi$是对称(反称)的$\Leftrightarrow$ $\sigma\Phi=(\operatorname{sgn}\sigma)\Phi.$

取$V$的一组基$\{e_i\},$ 对偶基$\{\omega^i\}.$ 则对$\Phi=\Phi_{i_1\cdots i_k}\omega^{i_1}\otimes\cdots\otimes \omega^{i_k},$ 可以得到$\Phi$对称(反称)$\Leftrightarrow$ $\Phi_{i_1\cdots i_k}$关于指标$\{i_1,\cdots,i_k\}$是对称(反称)的.

定义如下两个线性变换: $S_k:\Phi\mapsto \frac{1}{k!}\sum_\sigma \sigma \Phi,$ 称为对称化算子; $A_k:\Phi\mapsto \frac{1}{k!}\sum_{\sigma} (\operatorname{sgn}\sigma)\sigma \Phi,$ 称为反称化算子. 记$V_k=V^\ast \otimes\cdots\otimes V^\ast ,$ 我们有如下命题:

命题 1. $\odot^k(V^\ast )=S_k(V_k),$ $\Lambda^k(V^\ast )=A_k(V_k),$ 且$\Phi$是对称(反称)的$\Leftrightarrow$ $S_k(\Phi)=\Phi$($A_k(\Phi)=\Phi.$)

证: 取$\tau\in J(k),$ 首先证明$\tau(S_k(\Phi))=S_k(\Phi),$ $\tau(A_k(\Phi))=(\operatorname{sgn}\tau)A_k (\Phi).$ 其次再说明$A_k|_{\Lambda^k(V^\ast )}=\mathrm{id},$ $S_k|_{\odot^k(V^\ast )}=\mathrm{id}$即可.

拉回映照

设$f:V\rightarrow W$为线性映照, 定义$f^\ast :W^\ast \rightarrow V^\ast ,$ $(f^\ast w^\ast )(v)=w^\ast (f(v)),$ 称为拉回映照. 可以推广到$f^\ast :W_k\rightarrow V_k,$ $(f^\ast \Phi)(v_1,\cdots,v_k)=\Phi(f(v_1),\cdots,f(v_k)).$

命题 2. $S_kf^\ast =f^\ast S_k,$ $A_kf^\ast =f^\ast A_k.$

证: 利用$\sigma f^\ast =f^\ast \sigma$即可.

外代数

$\Lambda^r(V^\ast ):=A_r(V_r),$ 称为$r$阶反称张量空间. 约定$\Lambda^0(V^\ast )=\mathbb{R},$ $\Lambda^1(V^\ast )=V^\ast .$ 设$\Phi\in \Lambda^r(V^\ast ),$ $\Psi\in \Lambda^s(V^\ast ),$ 则$\Phi\wedge \Psi:=\binom{r+s}{r,s}A_{r+s}(\Phi\otimes \Psi)\in \Lambda^{r+s}(V^\ast )$称为$\Phi$与$\Psi$的外积, 满足如下性质:

• 分配律: $(a\Phi_1+b\Phi_2)\wedge\Psi=a\Phi_1\wedge \Psi+b\Phi_2\wedge\Psi;$ $\Phi\wedge(a\Psi_1+b\Psi_2)=a\Phi\wedge \Psi_1+b\Phi\wedge \Psi_2.$

• 反交换律: $\Phi\wedge \Psi=(-1)^{rs}\Psi\wedge \Phi;$

• 结合律: $(\Phi\wedge \Psi)\wedge\eta=\Phi\wedge(\Psi\wedge \eta).$

证明基本利用张量积的性质即可, 外面套上线性的反称化算子$A.$ 对于反交换律, 利用置换

$$\tau=\begin{pmatrix} 1&\cdots&r&r+1&\cdots&r+s\\ s+1&\cdots&s+r&1&\cdots&s \end{pmatrix}$$

即可, 满足$\operatorname{sgn}\tau=(-1)^{rs}.$ 特别地, 对于$r=s=1$的情形, $\Phi\wedge\Psi=-\Psi\wedge\Phi,$ $\Phi\wedge\Phi=0.$

对于结合律, 引入置换

$$\widetilde\tau=\begin{pmatrix} 1&\cdots&r+s&r+s+1&\cdots&r+s+t\\ \tau(1)&\cdots&\tau(r+s)&r+s+1&\cdots&r+s+t \end{pmatrix}$$

进行常规的定义讨论即可. 特别地, 可以在证明中看到, $\Phi_1\wedge\cdots\wedge\Phi_k=\binom{r_1+\cdots+r_k}{r_1,\cdots,r_k}A(\Phi_1\otimes \cdots\otimes \Phi_k).$

推论 3. 设$\theta^1,\cdots,\theta^k\in \Lambda^1(V^\ast )=V^\ast ,$ $x_1,\cdots,x_k\in V,$ 则$\theta^1\wedge\cdots\wedge\theta^k(x_1,\cdots,x_k)=\det(\theta^i(x_j))_{k\times k}.$

证: 展开发现式子恰为行列式的组合定义即可. 即$\sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma) \theta^1(x_{\sigma(1)})\cdots\theta^k(x_{\sigma(k)}).$

推论 4. 设$\theta^1,\cdots,\theta^k\in \Lambda^1(V^\ast )=V^\ast ,$ 则$\theta^1,\cdots,\theta^k$线性相关$\Leftrightarrow$ $\theta^1\wedge\cdots\wedge\theta^k=0.$

证: 利用反交换律与反证法即可.

文章最后更新于 2021-12-02 11:36:31