闭值域定理

定理 1. $H$为Hilbert空间. 若$K:H\rightarrow H$为紧算子, 则$L=I-K$的值域是闭的.

证: $H=N(L)\oplus N(L)^\perp.$ $L:N(L)^\perp\rightarrow R(L)$是一一的. 断言$\,\exists\,c>0,$ 满足

$$\Vert Lf\Vert\ge c\Vert f\Vert,\quad \,\forall\,f\in N(L)^\perp.$$

不然, $\,\exists\,\{f_n\}\subset N(L)^\perp,$ 满足$\Vert f_n\Vert\equiv 1,$ $\Vert Lf_n\Vert\rightarrow 0.$ 由于$K$是紧算子, $\{Kf_n\}$有子列收敛, 不妨设为自身收敛. 这样,

$$\widetilde{f}:=\lim_{n\rightarrow \infty}Kf_n+Lf_n=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n.$$

结合闭性, 这说明了$\{f_n\}$自身也收敛到$\widetilde{f}\in N(L)^\perp.$ 而$L\widetilde{f}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}Lf_n=0,$ $\widetilde{f}\in N(L).$ 这说明$\widetilde{f}=0.$ 然而$\Vert f_n\Vert\equiv 1,$ 不可能收敛到$0,$ 矛盾.

接下来, $\,\forall\,\{g_n\}\subset R(L)$满足$g_n\rightarrow g,$ 我们需要证明$g\in R(L).$ 我们取$\{f_n\}\subset N(L)^\perp$满足$Lf_n=g_n,$ 那么$\Vert g_n\Vert\ge c\Vert f_n\Vert.$ 由于$\{g_n\}$构成Cauchy列, $\Vert f_n\Vert$也是, 记其收敛到$f.$ 这样就有$Lf=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} Lf_n=g.$

参考: https://www.math.tamu.edu/\~fnarc/m641/m641_notes/closed_range.pdf

文章最后更新于 2021-12-07 16:09:09