《微分流形》第六章-张量丛

外代数

推论 1. 若$r>n,$ 则$\Lambda^r(V^\ast )=\{0\}.$ 若$0\le r\le n,$ 则$\dim \Lambda^r(V^\ast )=\binom{n}{r},$ 以$\{\omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge \omega^{i_r}|1\le i_1<\cdots<i_r\le n\}$为基.

证: $\,\forall\,\Phi\in \Lambda^r(V^\ast )\subset V^\ast \otimes \cdots\otimes V^\ast =\mathcal{L}(V,\cdots,V,\mathbb{R}),$ $\Phi=\Phi_{i_1\cdots i_r}\omega^{i_1}\otimes\cdots\otimes\omega^{i_r}.$ 那么

$$\Phi=A(\Phi)=\frac{1}{r!}\Phi_{i_1\cdots i_r} \omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge \omega^{i_n}=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_r\le n}a_{i_1\cdots i_r}\omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge \omega^{i_r}.$$

因此$r>n$时, 求和集为空集, $\Phi\equiv 0.$ $0\le r\le n$时, 只需证$\{\omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge \omega^{i_r}|1\le i_1<\cdots<i_r\le n\}$线性无关. 利用$\omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge \omega^{i_r}(e_{i_1},\cdots,e_{i_r})=\det(\omega^{i_\alpha}e_{i_\beta})=1,$ 其它作用为$0$即可.

推论 2. 设$\{\theta^i\},\{\omega^i\}$是$V^\ast $两组基, $\theta^i=a^i_j\omega^j.$ 则$\theta^1\wedge\cdots\wedge \theta^n=\det(a^i_j)\omega^1\wedge\cdots\wedge\omega^n.$

证: 取$\{\omega^i\}$的对偶基$\{e_i\},$ 往等式两侧作用$(e_1,\cdots,e_n)$即可.

$$\mathrm{LHS}=\det(\theta^ie_j)=\det(a^i_k\omega^ke_j)=\det(a^i_j)=\mathrm{RHS}.$$

引理 3 (Cartan引理). 设$\omega^i,\theta^i\in V^\ast ,$ $1\le i\le r\le \dim V.$ 设$\{\omega^i\}$线性无关, 则:

$$\sum_{i=1}^r\omega^i\wedge \theta^i=0\,\Leftrightarrow\, \theta^i=\sum_{j=1}^ra_{ij}\omega^j,\quad a_{ij}=a_{ji}.$$

证: 将$\{\omega^i\}$扩充为一组基. 那么$\theta^i=a_{ij}\omega^j,$ $\omega^i\wedge\theta^i=a_{ij}\omega^i\wedge\omega^j.$ 这样,

$$\sum_{i=1}^r \omega^i\wedge\theta^i=\sum_{1\le i<j\le r}(a_{ij}-a_{ji})\omega^i\wedge\omega^j+\sum_{1\le i\le r<j}a_{ij}\omega^i\wedge\omega^j.$$

注意右侧为用$\Lambda^2(V^\ast )$的基来表示. 由此证得等价性.

定理 4. 设$\omega^1,\cdots,\omega^r\in V^\ast $线性无关, $\Phi\in \Lambda^s(V^\ast ),$ 则$\,\exists\,\psi^1,\cdots,\psi^r\in \Lambda^{s-1}(V^\ast ),$ 使$\Phi=\omega^1\wedge\psi^1+\cdots+\omega^r\wedge\psi^r$ $\Leftrightarrow$ $\omega^1\wedge\cdots\wedge \omega^r\wedge \Phi=0.$

证: 只需证明充分性. 设有$\omega^1\wedge\cdots\wedge\omega^r\wedge \Phi=0,$ 将$\Phi$用基表示,

$$\Phi=c_{i_1\cdots i_s}\omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge\omega^{i_s}=\omega^1\wedge\psi^1+\cdots+\omega^r\wedge\psi^r+\sum_{r+1\le \alpha_1<\cdots<\alpha_s\le n}a_{\alpha_1\cdots\alpha_s}\omega^{\alpha_1}\wedge\cdots\wedge\omega^{\alpha_s}.$$

当$r+s>n$时, 后侧求和集为空集; 当$r+s\le n$时, 利用条件, 与$\omega^1\wedge\cdots\wedge\omega^r$做外积. 由线性无关性即有后面的系数全为零.

命题 5. 设$f\in \mathcal{L}(V;W),$ $f^\ast :\Lambda^r(W^\ast )\rightarrow\Lambda^r(V^\ast )$为拉回映照, 则$f^\ast (\Phi\wedge\Psi)=f^\ast \Phi\wedge f^\ast \Psi.$

证: 利用$f^\ast $与$A,\otimes$的交换性即可:

$$\begin{aligned} f^*(\Phi\wedge\Psi)(x_1,\cdots,x_{r+s})&=(\Phi\wedge\Psi)(f(x_1),\cdots,f(x_{r+s}))\\ &=\frac{(r+s)!}{r!s!}A(\Phi\otimes \Psi) (f(x_1),\cdots,f(x_{r+s}))\\ &=\frac{(r+s)!}{r!s!}A(f^*(\Phi\otimes \Psi))(x_1,\cdots,x_{r+s})\\ &=f^*\Phi \wedge f^*\Psi (x_1,\cdots,x_{r+s}). \end{aligned}$$

做形式直和$\Lambda(V^\ast )=\bigoplus_{r=0}^n \Lambda^r(V^\ast )=\{\omega_0+\cdots+\omega_n|\omega_r\in \Lambda^r(V^\ast )\}.$ 那么它成为$2^n$维向量空间, 并且以$\wedge$为满足分配律的乘法, 成为代数. 称之为$V^\ast $上的外代数. 类似地, 可以定义$\Lambda(V)=\bigoplus_{r=0}^n \Lambda^r(V),$ 称为$V$上外代数.

张量丛

令$M^m$为$m$维$C^\infty$流形, $\,\forall\,p\in M,$ 有切空间$T_pM.$ 我们定义$(r,s)$-型张量空间$T_s^r(p)=T_pM\otimes\cdots\otimes T_pM\otimes T_p^\ast M\otimes\cdots\otimes T_p^\ast M.$ $\dim T_s^r(p)=m^{r+s}.$ 定义丛空间$T_s^r(M)=\bigcup_{p\in M}T_s^r(p),$ 可赋予自然拓扑与微分结构, 使之成为$m+m^{r+s}$维$C^\infty$流形.

$T_s^r(q)$有自然基$\{\frac{\partial {} }{\partial {}x^{i_1} }\otimes\cdots\otimes\frac{\partial {} }{\partial {}x^{i_r} }\otimes dx^{j_1}\otimes \cdots\otimes dx^{j_s}|1\le i_1,\cdots,i_r,j_1,\cdots,j_s\le n\}.$ $\Phi\in T_s^r$有坐标$(\Phi^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}).$ 取$\pi:T_s^r(M)\rightarrow M$为自然投影, $\Psi:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb{R}^N$将$\Phi$映至$(q,(\Phi^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s})).$ 那么定义

$$\widetilde{\Psi}=(\varphi\times \mathrm{id}_{\mathbb{R}^N})\circ \Psi:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb{R}^N\rightarrow \varphi(U)\times \mathbb{R}^N\subset \mathbb{R}^{m+N}.$$

赋予$T_s^r(M)$的拓扑使$\pi^{-1}(U)$是$T_s^r(M)$的开子集且$\widetilde{\Psi}$为同胚. 若$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$为$M$的光滑坐标图册, 则$\{(\pi^{-1}(U_\alpha),\widetilde{\Psi}_\alpha)\}$为$T_s^r(M)$的光滑坐标图册.

它满足如下性质, $\pi:T_s^r(M)\rightarrow M$为$C^\infty$满射, $\pi^{-1}(q)=T_s^r(q)$为$m^{r+s}$维向量空间, $\Psi:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb{R}^N$为$C^\infty$映照, $\pi_1\circ \Psi=\pi,$ 并且$\Psi|_q$为线性同构. 这些要素使其成为向量丛, 称其为张量丛.

张量场

若有$\Phi:M\rightarrow T_s^r(M),$ 满足$\pi\circ\Phi=\mathrm{id}_M,$ 则称$\Phi$为$M$上$(r,s)$-型张量场. 当$\Phi$为光滑映照时, 称其为光滑$(r,s)$-型张量场. 这当且仅当$\Phi$的每个分量为光滑函数.

$\Phi\in T_s^r(p)=\mathcal{L}(T_p^\ast M,\cdots,T_p^\ast M,T_pM,\cdots,T_pM;\mathbb{R})$可视为$(r+s)$-重线性函数. 考虑$(0,s)$-型张量场$\Phi.$ 任取$X_1,\cdots,X_s\in \mathfrak{X}(M),$ 定义张量场在向量场上的作用:

$$[\Phi(X_1,\cdots,X_s)] (p):=\Phi(p)(X_1(p),\cdots,X_s(p)),$$

那么$\Phi(X_1,\cdots,X_s)\in C^\infty(M).$ 因为各个分量为光滑函数, 做线性组合或相乘后仍是光滑函数.

由于张量是多重线性函数, 任取$f_1,\cdots,f_s\in C^\infty(M),$ 逐点考虑得到

$$\Phi(f_1X_1,\cdots,f_sX_s)=f_1\cdots f_s\Phi(X_1,\cdots,X_s)\in C^\infty(M).$$

反过来, 若有映照$\Phi:\mathfrak{X}(M)\times \cdots\times \mathfrak{X}(M)\rightarrow C^\infty(M)$是$C^\infty(M)$线性的, 则$\Phi$必是$(0,s)$-型$C^\infty$-张量场.

一般地, 记$\Gamma(T_s^r(M))$表示$C^\infty$的$(r,s)$-型张量场全体, 则它是无穷维向量空间, $f\Phi+g\Psi(p):=f(p)\Phi(p)+g(p)\Psi(p).$ 类似前面, 它作用在余切向量场与向量场的组合上, 并且也是$C^\infty(M)$线性的. 反过来也对.

外微分形式

$M^m$为$C^\infty$-流形. 令$\Lambda^r(T^\ast M)=\bigcup_{p\in M}\Lambda^r(T_p^\ast M),$ 类似地, 赋予其自然拓扑结构与微分结构使其成为$m+\binom{m}{r}$维$C^\infty$流形, 称为$M$上$r$-次外形式丛.

若$\Phi:M\rightarrow \Lambda^rT^\ast M$是光滑映照, $\pi\circ\Phi=\mathrm{id}_M,$ 则称$\Phi$是$r$-次外微分形式. 这当且仅当它的各个分量是光滑函数. 令$\mathcal{A}^r(M)=\Gamma(\Lambda^rT^\ast M)$为$r$-次外微分形式全体, 为无穷维向量空间. 类似地, 也可以定义$f\omega_1+g\omega_2\in \mathcal{A}^r(M).$

由于我们在$\Lambda^r T^\ast M$上有乘法$\wedge,$ 我们可以逐点定义$\wedge:\mathcal{A}^r(M)\times \mathcal{A}^s(M)\rightarrow \mathcal{A}^{r+s}(M).$ 即

$$(\omega\wedge\sigma)(p)=\omega(p)\wedge \sigma(p)\in \Lambda^{r+s}(T_p^\ast M).$$

它当然同样满足分配律, 反交换律与结合律.

设$F:M\rightarrow N$为光滑映照, 则${F_{\ast } }_p:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N$为切映照, $F^\ast :T^\ast _{F(p)}N\rightarrow T_p^\ast (M)$为拉回映照, 诱导到$\Lambda^r T_q^\ast N\rightarrow \Lambda^r T_p^\ast M$上, 再诱导了$\mathcal{A}^r(N)\rightarrow \mathcal{A}^r(M)$上的拉回, 满足$F^\ast (\omega\wedge\sigma)=F^\ast \omega\wedge F^\ast \sigma.$

文章最后更新于 2021-12-08 15:50:09