《微分流形》第七章-微分形式

微分形式

回忆$\,\forall\,f\in C^\infty(M),$ $(df)_p\in T_p^\ast M,$ 称为$f$在$p$处的微分. 局部上我们有

$df|_U=\sum_i \frac{\partial {} }{\partial {}x^i} fdx^i,\quad \frac{\partial {} }{\partial {}x^i}f\in C^\infty(U)\,\Rightarrow\,df\in \mathcal{A}^1(M).$

$\omega\in\Gamma(\Lambda^rT^\ast M)=\mathcal{A}^r(M),$ 称为$r$次外微分形式. 令$\mathcal{A}(M):=\bigoplus_{r=0}^m \mathcal{A}^r(M),$ 称为微分形式空间. 它以外积$\wedge$为乘法结构, 是一个分层代数.

若$f\in C^\infty(M,N),$ 则它诱导了拉回映照$f^\ast :\Gamma(T_r^0(N))\rightarrow \Gamma(T_r^0(M)),$

$f^\ast (\Phi)(v_1,\cdots,v_r):=\Phi(f_\ast (v_1),\cdots,f_\ast (v_r)).$

考察系数:

$(f^\ast \Phi)_{i_1\cdots i_r}=\Phi\left(f_\ast \frac{\partial {} }{\partial {}x_{i_1} },\cdots,f_\ast \frac{\partial {} }{\partial {}x_{i_r} }\right)=\frac{\partial {}y^{\alpha_1}\circ f}{\partial {}x^{i_1} }\cdots\frac{\partial {}y^{\alpha_r}\circ f}{\partial {}x^{i_r} }\cdot \Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_r}\circ f.$

确实是光滑的, 因此$f^\ast \Phi\in \Gamma(T_r^0(M)).$

于是$f^\ast :\mathcal{A}(N)\rightarrow \mathcal{A}(M),$ $f^\ast \sigma=\sum_{r=0}^n f^\ast \sigma_r,$ 且$f^\ast (\omega\wedge\sigma)=f^\ast \omega\wedge f^\ast \sigma,$ $\,\forall\,\omega,\sigma\in \mathcal{A}(N).$ 它是一个代数同态.

外微分

设$d:\mathcal{A}(M)\rightarrow \mathcal{A}(M)$为线性映照, 满足:

$d:\mathcal{A}^r(M)\rightarrow\mathcal{A}^{r+1}(M);$
$\omega\in \mathcal{A}^r(M),$ $\sigma\in \mathcal{A}(M),$ $d(\omega\wedge\sigma)=d\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge d\sigma.$
$f\in \mathcal{A}^0(M)=C^\infty(M)$时, $df$为普通微分, 且$d^2f=0.$

则称$d$为$M$上外微分算子, 或简称外微分.

引理 1. 外微分算子为局部算子, 即若$\omega_1|_U=\omega_2|_U,$ 则$(d\omega_1)|_U=(d\omega_2)|_U.$

证: 只需说明$\omega|_U=0\Rightarrow (d\omega)|_U=0.$ 取截断函数$f|_V\equiv 1,$ $\operatorname{supp}f\subset U$即可. 这样$f\omega=0.$ 从而$0=d(f\omega)=df\wedge \omega+f(d\omega),$ 在$V$上有$df=0,$ 从而$(d\omega)|_V=0.$ 由$V$的任意性即有$(d\omega)|_U=0.$

定理 2. $C^\infty$-流形$M$上外微分算子是存在唯一的.

证: 先证唯一性. 由截断函数, $d$可以诱导$U$上的外微分算子. 取引理中的$f,$ 对$\omega\in \mathcal{A}(U),$ 局部定义$(d\omega)|_V:=(d(f\omega))|_V.$ 现证$d$在坐标系里是唯一的:

取$(U,\varphi;x^i)\subset M,$ $\omega\in \mathcal{A}^r(M),$ $\omega|_U=adx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_r}.$ 由外微分算子性质, $d(\omega|_U)=da\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_r}.$ 由局部性, $(d\omega)|_U=d(\omega|_U)=da\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_r},$ $d\omega$在$U$内有确切表达式, 因此$d$在坐标系中唯一. 从而, $d$在整体上也唯一.

接下来说明$d$的存在性. 首先由上段, 局部定义$d\omega:=da\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_r}$即可, $\omega=adx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_r}\in \mathcal{A}^r(U).$ 这样它自然延拓为外微分算子. 由于它处处有局部定义, 整体上也有定义, 且由局部唯一性, 它与坐标系选取无关.

由$d$的局部定义, 我们自然得到如下引理:

引理 3 (Poincaré引理). $d^2=0.$ 即$\,\forall\,\omega\in \mathcal{A}(M),$ $d(d\omega)=0.$

设$\omega=Adx+Bdy+Cdz\in \mathcal{A}^1(\mathbb{R}^3)$与$X=(A,B,C)\in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3)$相应, 当$\omega=df$时$X$即为$\nabla f.$ 那么$d\omega$与$\nabla\times X$相应.

设$\omega=Ady\wedge dz+Bdz\wedge dx+Cdx\wedge dy,$ 与$X=(A,B,C)\in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3)$相应. 那么$d\omega=(\nabla\cdot X)dx\wedge dy\wedge dz.$

因此$\nabla\times (\nabla f)=0$由$d(df)=0$保证, $\nabla\cdot(\nabla\times X)$由$d(d\omega)=0$保证.

定理 4. 设$\omega\in \mathcal{A}^1(M),$ $X,Y\in \mathfrak{X}(M),$ 则$d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).$

证: 设$\omega=fdg,$ 则$d\omega=df\wedge dg.$ 此时$df\wedge dg(X,Y)=X(f)Y(g)-Y(f)X(g).$ 计算右侧得到相同的结果, 定理得证.

文章最后更新于 2021-12-19 11:27:06