《微分流形》第七章-流形的定向

微分形式性质

定理 1. 设$f\in C^\infty(M,N),$ 则$f^\ast \circ d=d\circ f^\ast .$

证: $\,\forall\,\omega\in \mathcal{A}^r(N).$ 当$r=0$时,

$$(f^\ast du)(X)=(du)(f_\ast X)=(f_\ast X)u=X(u\circ f)=X(f^\ast u)=d(f^\ast u)(X).$$

当$r>0$时, 做归纳. 不妨设$\omega=udy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_r},$ 那么$d\omega=du\wedge dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_r}.$ 我们有:

$$f^\ast d\omega=f^\ast [du\wedge dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_r}]=df^\ast u\wedge df^\ast y^{i_1}\wedge\cdots\wedge df^\ast y^{i_r}=d[(f^\ast u) df^\ast y^{i_1}\wedge\cdots\wedge df^\ast y^{i_r}]=df^\ast \omega.$$

流形的定向

定义 2. 若$S$上存在连续单位法向量$\vec{n},$ 则称$S$是可定向的.

一般地, 给定抽象$C^\infty$-流形$M,$ 由于缺少外围空间, 不便谈论法向量. 但切平面总是存在的. 我们通过选取基来确定法向量. 对任意$m$维向量空间, 称两组基是等价的, 若转移矩阵行列式为正. 此时它们确定了同一个法向量. 易见全体基组落在两个等价类中. 选定一个等价类便给定了$V$一个定向.

为了讨论连续性, 我们任取$0\neq \Omega\in \Lambda^m(V^\ast ).$ 此时对两组等价基, $\{\widetilde{e_j}\}=\{e_i\}\det(a^i_j),$ $\Omega(\widetilde{e_1},\cdots,\widetilde{e_m})=\Omega(e_1,\cdots,e_m)\det(a^i_j).$ 因此$\Omega$作用在等价基上是同号的. 那么选定$0\neq \Omega\in \Lambda^m(V^\ast )$就相当于给定了$V$的定向.

定义 3. 设$M^m$为$m$维$C^\infty$-流形, 如果$M$上存在连续的处处非零的$m$次外微分形式$\Omega,$ 则称$M$是可定向的, $(M,\Omega)$称为定向流形.

$\Omega$是$M\rightarrow \Lambda^m T^\ast M$的连续映照. 由于$\dim \Lambda^m(T_p^\ast M)=1,$ $\Omega=fdx^1\wedge\cdots\wedge dx^m,$ $f\in C^0(U),$ $\,\forall\,(U,x^i)\subset M.$

若$\Omega_1,\Omega_2$都是$M$的定向, 则$\Omega_2=f\Omega_1,$ $f$处处非零连续. 它们定向相同当且仅当$f>0.$ 假设$M$是连通的, 那么$f$要么处处为正, 或处处为负. 这给出了$M$的两种定向.

坐标系$(U,x^i)$上的$dx^1\wedge\cdots\wedge dx^m\in \mathcal{A}^m(U)$给出了$U$上的局部定向. 设$(M,\Omega)$为定向流形, 那么$\Omega|_U=fdx^1\wedge\cdots\wedge dx^m,$ $f\in C^0(U).$ 若$f>0,$ 则称$(U,x^i)$的定向与$\Omega$是一致的.

定理 4. 设$M$是$m$维$C^\infty$流形, 则它是可定向的$\Leftrightarrow$存在坐标图册$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha;x^i_{(\alpha)})\},$ 使得$\,\forall\,\alpha,\beta,$ 在$U_\alpha\cap U_\beta$上有$\det[D(\varphi_\alpha\circ\varphi_\beta^{-1})]>0.$

证: $\Rightarrow:$ 任取坐标图册$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha;x_{(\alpha)}^i)\}.$ 那么$\Omega|_{U_\alpha}=f_\alpha dx^1_{(\alpha)}\wedge\cdots\wedge dx_{(\alpha)}^m.$ 若$f_\alpha>0,$ 则坐标系不动; 若$f_\alpha<0,$ 则可以调整坐标系使得$f_\alpha$取正. 此时$\,\forall\,p\in U_\alpha\cap U_\beta,$

$$\Omega|_{U_\alpha\cap U_\beta}=f_\alpha{}dx_{(\alpha)}^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx_{(\alpha)}^{ {}m}=f_\beta{}dx_{(\beta)}^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx_{(\beta)}^{ {}m}.$$

因此$\det[D(\varphi_\alpha\circ\varphi_\beta^{-1})]=\frac{f_\beta}{f_\alpha}>0.$

$\Leftarrow:$ 将坐标图册加细使得它是局部有限的, 且保持题设性质. 取$f_i$为单位分解. 那么令$\omega=\sum_i f_i{}dx_{(i)}^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx_{(i)}^{ {}m}$即可. 此时$\,\forall\,p\in M,$

$$\omega(p)=\sum_i f_i(p){}dx_{(i)}^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx_{(i)}^{ {}m}=\sum_i f_i(p)\det[D(\varphi_i\circ \varphi_{j_0}^{-1})]{}dx_{(j_0)}^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx_{(j_0)}^{ {}m}.$$

由单位分解与题设性质, 即有$\omega\neq 0.$

由过程可见, 构造的$\omega\in \mathcal{A}^m(M).$ 因此处处非零的外微分形式可要求为光滑的.

文章最后更新于 2021-12-21 19:01:28