《微分流形》练习

考试题

习题 1. 叙述$C^\infty$-微分流形的定义. 设若$M$和$N$分别是$m$维和$n$维的$C^\infty$-微分流形, 证明$M\times N$是$m+n$维$C^\infty$-微分流形.

证: 称$M$为拓扑流形, 若$M$为一个拓扑空间, 满足$C_2$与$T_2$条件, 即有可数拓扑基, 且$\,\forall\,p,q\in M,$ $\,\exists\,U,V$分别为$p,q$的开邻域, 满足$U\cap V=\varnothing.$ 另外, 还需是局部欧氏的, 即$\,\forall\,p\in M,$ $\,\exists\,U$为$p$的开邻域, $\varphi:U\approx \varphi(U)\subset \mathbb{R}^m$为同胚. 这样的拓扑空间称为$m$维拓扑流形.

给定$M$的开覆盖$\{U_\alpha\},$ 以及同胚到欧氏空间的$\{\varphi_\alpha\}.$ 称$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$为$M$的坐标图册. 若其满足$\,\forall\,U_\alpha\cap U_\beta\neq \varnothing,$ $\varphi_\alpha\circ\varphi_{\beta}^{-1}:\varphi_{\beta}(U_\alpha\cap U_\beta)\rightarrow \varphi_{\alpha}(U_\alpha\cap U_\beta)$为$C^\infty$微分同胚, 即作为同胚的同时, 映射与逆映射都是$C^\infty$的, 则称$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$为$C^\infty$坐标图册, 赋予了$M$一个微分结构. 具$C^\infty$微分结构的拓扑流形称为$C^\infty$微分流形.

设$\{U_\alpha\},\{V_\beta\}$分别是$M,N$的拓扑基, 则$\{U_\alpha\times V_\beta\}$为$M\times N$的拓扑基. $M\times N$取积拓扑. 同时, 对$(p_1,q_1)\neq (p_2,q_2),$ 不妨设$p_1\neq p_2,$ 取$p_1,p_2,q_1,q_2$的开邻域$U_1,U_2,V_1,V_2,$ 能保证$U_1\cap U_2=\varnothing.$ 那么此时$U_1\times V_1\cap U_2\times V_2=\varnothing,$ 为$(p_1,q_1),(p_2,q_2)$的无交开邻域.

若$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\},\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$为$M,N$的$C^\infty$-坐标图册, 下证$\{(U_\alpha\times V_\beta,\varphi_\alpha\times \psi_\beta)\}$为$M\times N$的$C^\infty$-坐标图册. 显然$\varphi_\alpha\times \psi_\beta:U_\alpha\times V_\beta\approx \varphi_\alpha(U_\alpha)\times \psi_\beta(V_\beta)\subset \mathbb{R}^{m+n},$ 同时由$(f\times g)’=f’\times g’,$ 转移函数也都是$C^\infty$微分同胚, 确实是$C^\infty$-坐标图册. 因此$M\times N$是$m+n$维$C^\infty$-微分流形.

习题 2. 设若$M$和$N$分别是$m$维和$n$维的$C^\infty$-微分流形, $F:M\rightarrow N$是$C^\infty$-微分流形之间的光滑映照. 对于$p\in M$以及$q = F(p) \in N$, $F$自然地确定了一个余切空间的拉回映照$F^\ast _q:T^\ast _qN\rightarrow T^\ast _pM.$ 如果$p$处有局部坐标$(U, u^i),$ $q$处有局部坐标$(V,v^\alpha),$ 它们分别给出了$T^\ast _pM$和$T^\ast _qN$的自然基$\{(du^i)_p\}$和$\{(dv^\alpha)_q\}.$ 请写出$F^\ast _q$在该基下的矩阵表示, 并证明, 当$F$是微分同胚时, 上述$F^\ast _q$还 是线性同构.

证: 设$F^\ast _q(d v^\alpha)=a^\alpha_i du^i,$ 作用到$X_i=\frac{\partial {} }{\partial {}u^i}$上, 得到$a_i^\alpha=X_i(v^\alpha\circ F).$ 记$\widehat{F}=\psi\circ F\circ \varphi^{-1}$为局部表示, 则矩阵为$J(\widehat{F})$的转置, $F_q^\ast (b_\alpha dv^\alpha)=b_\alpha a_i^\alpha du^i.$ 当$F$为微分同胚时, 记$\widehat{F}$为微分同胚, 此时$\det J(\widehat{F})\neq 0,$ 因此$F_q^\ast $的矩阵表示是满秩的, 从而是线性同构.

习题 3. 设映照$f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$的具体形式是$y_1 = x_1e^{x_2} + x_2,$ $y_2 = x_1e^{x_2}-x_2.$ 试写出$f$在欧式空间自然基底下, 诱导出切空间之间映照$f_\ast $的矩阵表示, 并证明$f$是个光滑同胚.

证: 回忆$f_\ast (\frac{\partial {} }{\partial {}x_i})=a_i^j \frac{\partial {} }{\partial {}y_j},$ 作用$dy^j,$ 得到$a_i^j=\frac{\partial {}y^j\circ f}{\partial {}x_i}.$ 因此$f^\ast (b^i\frac{\partial {} }{\partial {}x_i})=b^ia_i^j \frac{\partial {} }{\partial {}y_j},$ 矩阵表示$a_i^j$为局部表示$\widehat{f}=\mathrm{id}\circ f\circ \mathrm{id}^{-1}=f$的Jacobi矩阵.

计算得到, $J(f)=\begin{bmatrix} e^{x_2} & x_1e^{x_2}+1\\ e^{x_2} & x_1e^{x_2}-1 \end{bmatrix}.$ 此即为$f_*$的矩阵表示. 易见$f\in C^\infty,$ 且$\det J(f)=-2e^{x_2}\neq 0,$ 因此$f$处处为局部微分同胚, 且为单射.

注意到$\frac{y_1-y_2}{2}=x_2,$ $y_1=x_1e^{\frac{y_1-y_2}{2} }+\frac{y_1-y_2}{2},$ $x_1=\frac{y_1+y_2}{2}e^{\frac{y_2-y_1}{2} }.$ 这就给出了$f^{-1}$的具体形式, 易见它没有定义域的限制, 且也是$C^\infty$的, 因此$f$为满射, 且是光滑同胚, 即作为同胚的同时映射与逆映射都是光滑的.

习题 4. 设$M$是$C^\infty$-微分流形, $f, g \in C^\infty(M),$ $X, Y \in X (M),$ $[-, -]$是Lie括号. 请展开$[fX, gY].$

证:

$$\begin{aligned} [fX,gY]&=fX(gY)-gY(fX)\\ &=fX(g)Y+fgXY-gY(f)X-fgYX\\ &=fX(g)Y-gY(f)X+fg[X,Y] \end{aligned}$$

这里$X(g)(p)=X_p(g),$ $[X,Y]_p(h)=X_p(Y_q(h))-Y_p(X_q(h)),$ 其中$X_q(h)$为关于$q$的$C^\infty$函数.

习题 5. 设$M$是$C^\infty$-微分流形, $X, Y \in \mathfrak{X}(M),$ $\omega \in \Lambda^1(M),$ $[-, -]$是Lie括号. 证明公式:

$$d\omega (X, Y ) = X\omega (Y ) - Y \omega(X) - \omega([X, Y ])$$

证: 由于公式具线性性, 只需验证$\omega=fdg$的情形. $d\omega=df\wedge dg.$ 此时

$$d\omega(X,Y)=df\wedge dg(X,Y)=df(X)dg(Y)-df(Y)dg(X)=X(f)Y(g)-Y(f)X(g).$$ $$X\omega(Y)=X(fY(g))=X(f)Y(g)+fXY(g)$$ $$Y\omega(X)=Y(fX(g))=Y(f)X(g)+fYX(g)$$ $$\omega([X,Y])=f[X,Y] (g)=fXY(g)-fYX(g)$$

因此, $X\omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X,Y])=X(f)Y(g)-Y(f)X(g)=d\omega(X,Y).$

习题 6. 设$M$是$m$维$C^\infty$-紧致无边微分流形, $f : M \rightarrow \mathbb{R}^m$是光滑映照. 试证明存在$p\in M,$ 使得$f$在$p$处的秩小于$m.$

证: 不然, $f$处处秩等于$m$(显然不可能大于$m$). 由反函数定理, $f$处处为局部微分同胚. 即$\,\forall\,p\in M,$ $\,\exists\,U$为$p$的开邻域, $f:U\approx f(U),$ 且可以要求$f(U)$也是开集. 由秩定理, 事实上可以要求$U,f(U)$在适当坐标系下都是开方盒. 由$M$紧, $\,\exists\,\{U_i\}_{i=1}^m,$ $f:U_i\approx f(U_i),$ $\bigcup_{i=1}^m U_i=M.$

设$M$为连通流形, 不然在每个连通分支上讨论即可. 连通分支既开又闭, 同时紧空间中闭集仍是紧集. 注意到我们有

$$\bigcup^m_{i=1} f(U_i)= f(\bigcup^m_{i=1}U_i)=f(M),$$

这产生了矛盾. 因为紧集连续像是紧的, $f(M)$为紧集, 从而是有界闭集. 但$f(M)=\bigcup_{i=1}^m f(U_i)$又是开集, 因此它只能是全空间$\mathbb{R}^m,$ 而这又会与紧性矛盾. 从而$f$在某点秩小于$m.$

题设中无边性用在了反函数定理中. 当$p$为带边流形边上点时, 不再有类似的反函数定理. 即使找到了邻域$U$上的局部微分同胚, 也无法说明像集在全空间中是开集, 从而无法进行类似的讨论.

习题 7. 设$M_1, M_2$是$C^\infty$-微分流形, $f : M_1 \rightarrow M_2$是局部微分同胚. 若$M_2$是可定向的, 证明$M_1$也是 可定向的.

证: 由于$f$是局部微分同胚, 它的局部表示是微分同胚, 从而$M_1,M_2$维数相同. 由$M_2$可定向, 存在$\Omega\in \mathcal{A}^{m}(M_2)$为处处非零的外微分形式. 断言$f^\ast \Omega\in \mathcal{A}^m(M_1)$也是处处非零的外微分形式, 从而是可定向的.

在局部坐标系中考虑. 设$f:U\approx V,$ $\Omega=hdy^1\wedge\cdots \wedge dy^m\in \mathcal{A}^m(V),$ $h\neq 0,$ 则

$$f^\ast \Omega=f^\ast h\cdot f^\ast (dy^1\wedge\cdots\wedge dy^m)=h\circ f \cdot \det J(f) {}dx^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx^{ {}m}\in \mathcal{A}^m(M_1).$$

由于$f$为局部微分同胚, $\det J(f)\neq 0,$ 同时$h\circ f\neq 0.$ 因此$f^\ast \Omega$确实是处处非零的外微分形式.

另一种方法是, 取合适的加细, 使得$f:U_\alpha\approx V_\alpha,$ 且$\{(V_\alpha,\psi_\alpha)\}$构成$M_2$上的保定向光滑坐标图册. 断言$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha=\psi_\alpha\circ f)\}$构成$M_1$上的保定向光滑坐标图册. 只需注意到

$$\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}=(\psi_\beta\circ f)\circ (f^{-1}\circ \psi_\alpha^{-1})=\psi_\beta\circ\psi_\alpha^{-1}.$$

习题 8. 证明, 具有紧支集的形式的积分和单位分解的选取无关. 再叙述Stokes定理.

证: 首先说明紧支集形式的积分和坐标系选取无关. 若$\omega\in \mathcal{A}^m_c(U\cap V),$ 则

$$\int_U \omega=\int_{\varphi(U\cap V)}(\varphi^{-1})^\ast \omega=\int_{\psi(U\cap V)}(\psi^{-1})^\ast \omega=\int_V\omega,$$

中间的等号由$\mathbb{R}^m$间的积分变换公式得到, 注意$U,V$的坐标选取需要与$M$定向相符, 这样保证$\det J(\varphi\circ\psi^{-1})> 0.$

接下来, 对两组单位分解$\{f_i\},\{g_j\},$ $\{f_ig_j\}$也是一组单位分解. 因此,

$$\sum_i \int_{U_i} f_i \omega=\sum_{i,j}\int_{U_i\cap V_j} f_ig_j \omega=\sum_{j}\int_{V_j} g_j\omega.$$

从而积分与单位分解选取无关.

Stokes定理: 对定向$m$维光滑流形$M,$ 若$D$为其上(闭)带边区域, 即$D$由内点$p\in U\approx \varphi(U)\subset \mathbb{R}^m$与边界点$p\in U,$ $U\cap D\approx \varphi(U)\cap \mathbb{H}$组成. $D$从$M$上诱导定向, 那么对于$M$上的$m-1$次的紧支撑$C^1$外微分形式$\omega$, 有

$$\int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega.$$

当$D$无边界点时, 右端消失.

文章最后更新于 2021-12-28 19:33:06