《黎曼几何初步》笔记(1)-线性联络

线性联络

定义

回忆$C^\infty$流形$M$上黎曼度量$g$指对每个$T_xM$指定一个向量内积$g_x(-,-),$ 也记为$\left<{}-,-\right>_x.$ 称它是$C^\infty$的, 若任取坐标系$(x^1,\cdots,x^n),$ $g_{ij}(x)=g_{x}(\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},\frac{\partial {} }{\partial {}x^j})$都是$C^\infty$函数, $1\le i,j\le n.$

在$\mathbb{R}^n$中, 对向量场$X=\sum_i X^i\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},$ 沿$v$的方向导数$D_vX:=\sum_i D_vX^i\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}.$ 若$V$是一个向量场, 那么可以定义新的向量场$D_VX(x)=D_{V(x)}X,$ 称为方向导数, 满足如下性质:

$D_{fV+gW}X=fD_VX+gD_WX;$
$D_V(fX)=(D_Vf)X+fD_VX;$
$D_V(X+Y)=D_VX+D_VY.$

定义 1. 在$C^\infty$流形$M$上, 联络即对每一对$C^\infty$向量场$V,X,$ 指定新的$C^\infty$向量场$D_VX,$ 满足如上三条性质. $D_Vf$视为$Vf.$

$\mathbb{R}^n$中的方向导数为标准联络. 联络联系了$M$中各点的切空间. 称$D_VX$为$X$沿$V$的协变导数, $D$有时称为协变微分. 由于第一条性质说明$D_VX$对$V$是$C^\infty$函数环$\mathscr{F}(M)$上线性的, 有时强调此时定义的联络为线性联络, 区别于仿射联络, 射影联络.

线性联络满足如下性质. 若$x\in M$有$V(x)=W(x),$ 那么$D_VX(x)=D_WX(x).$ 由此可定义$D_vX:=D_VX(x)\in T_xM,$ $V$为任意满足$V(x)=v$的向量场. 但是对$X(x)=Y(x),$ $D_VX(x)$并不见得等于$D_VY(x).$ 不过若$V(x)=v,$ 在从$x$出发以$v$为切方向的一小段弧线$\gamma$上有$X|_{\gamma}=Y|_{\gamma},$ 那么可以证明$D_VX(x)=D_VY(x).$ 因此可以说$D_vX$由$X|_{\gamma}$决定.

通过将标准联络拉回, 局部总是可以定义线性联络. 由单位分解, 整体联络也是可以给出的, 因为流形上联络全体组成凸集. 由此可以看出, 联络有很多. 我们希望找到有意思的联络.

Levi-Civita联络

命题 2. 对$M$上给定的黎曼度量$g,$ 存在$M$上的唯一联络$D,$ 使得对任意向量场$X,Y,Z,$ 满足如下两条性质:

$X\left<{}Y,Z\right>=\left<{}D_XY,Z\right>+\left<{}Y,D_XZ\right>;$
$D_XY-D_YX=[X,Y]=XY-YX.$

这样的联络被称为度量$g$的Levi-Civita联络或度量$g$的黎曼联络. 它与后面说明的”平行移动”的性质等价.

第一条性质给出了对内积求导的方法, 而第二条性质满足与Lie括号定义匹配.

证: 首先证明唯一性. 由如下方式, 给出函数$\Gamma^k_{ij}\in C^\infty:$

$D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^i} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}=\sum_{k=1}^n \Gamma_{ij}^k \frac{\partial {} }{\partial {}x^k},\quad 1\le i,j\le n.$

我们只需说明联络系数$\Gamma_{ij}^k$由度量$g$唯一确定.

由性质(L1), 以后默认采用Einstein求和约定, 我们有

$\frac{\partial {}g_{jk} }{\partial {}x^i}=\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}\left<{}\frac{\partial {} }{\partial {}x^j},\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}\right>= \left<{}\Gamma_{ij}^l\frac{\partial {} }{\partial {}x^l},\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}\right>+\left<{}\frac{\partial {} }{\partial {}x^j},\Gamma_{ik}^l\frac{\partial {} }{\partial {}x^l}\right>=\Gamma_{ij}^l g_{lk}+\Gamma_{ik}^l g_{jl} \eqno(*)$

由性质(L2),

$(\Gamma_{ij}^k-\Gamma_{ji}^k)\frac{\partial {} }{\partial {}x^k}=\left[\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}\right]=0 \,\Rightarrow\, \Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k.$

轮换$(\ast )$式$i,j,k$, 得到

$\frac{\partial {}g_{jk} }{\partial {}x^i}+\frac{\partial {}g_{ik} }{\partial {}x^j}-\frac{\partial {}g_{ij} }{\partial {}x^k}=2\Gamma_{ij}^lg_{lk}\,\Rightarrow\, \Gamma_{ij}^k=\frac{g^{kl} }{2}\left(\frac{\partial {}g_{jl} }{\partial {}x^i}+\frac{\partial {}g_{il} }{\partial {}x^j}-\frac{\partial {}g_{ij} }{\partial {}x^l}\right).$

其中$(g^{ij})$为$(g_{ij})$的逆阵, 即满足$g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j,$ $\,\forall\,i,j.$

上式说明$\Gamma_{ij}^k$由度量$g$决定, 这说明了唯一性. 至于存在性, 只需说明由$\Gamma_{ij}^k$反过来也可以给出一个联络. 对向量场$X=f^i\frac{\partial {} }{\partial {}x_i},$ $Y=h^i\frac{\partial {} }{\partial {}x_i},$ 由联络性质, 自然定义

$D_XY=f^i\frac{\partial {}h^j}{\partial {}x_i}\frac{\partial {} }{\partial {}x_j}+f^ih^j \left(D_{\frac{\partial {} }{\partial {}x_i} }\frac{\partial {} }{\partial {}x_j}\right)=f^i\left(\frac{\partial {}h^j}{\partial {}x_j}+h^k \Gamma_{ik}^j\right)\frac{\partial {} }{\partial {}x_j}.$

验证发现其与坐标系选取无关, 因此向量场良定. 由定义过程, 它当然满足联络的性质, 从而$D$即为所求, 存在性得证.

证明中用度量来表示联络系数的方式由 Christoffel 得到, 因此将 Levi-Civita 联络的$\Gamma_{ij}^k$称为 Christoffel 记号.

不借助坐标系, 也可通过Levi-Civita联络的性质得到如下表示:

$\left<{}D_XY,Z\right>=\frac{1}{2}\left(X\left<{}Y,Z\right>+Y\left<{}Z,X\right>-Z\left<{}X,Y\right>+\left<{}Z,[X,Y]\right>+\left<{}Y,[Z,X]\right>-\left<{}X,[Y,Z]\right>\right).$

这完全确定了Levi-Civita联络. 当$X,Y,Z$满足好的性质时, 如彼此正交, 则上式的表述将大幅简化.

几何意义

我们知道, 子流形$N$上可以继承外围空间$M$中原有的黎曼度量$g$, 得到诱导度量$\overline{g}.$ 一个好的事实是, $\,\forall\,p\in N,$ 令$P:T_pM\rightarrow T_pN$为正交投影, 则$\,\forall\,X,Y\in \mathfrak{X}(N)\subset \mathfrak{X}(M),$ 定义$\overline{D}_XY=P(D_XY),$ 则$\overline{D}$恰为$N$上度量$\overline{g}$的Levi-Civita联络.

特别地, 当外围空间$M=\mathbb{R}^n$时, 其有自然的平坦度量$g,$ 自然基标准正交. 易验证一开始提到的方向导数就是它的Levi-Civita联络. 因此上述事实表明了$N\subset \mathbb{R}^n$时Levi-Civita联络的几何意义: 它是外围空间中向量场方向导数的投影.

可以看出, 性质(L2)在没有给出黎曼度量的情况下也可以讨论. 它等价于$\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k,$ $\,\forall\,1\le i,j,k\le n.$ 因此称满足(L2)的联络是对称的, 也称为无挠的.

我们还需更直观的理解联络. 设$\gamma:[a,b]\rightarrow M$为一条嵌入曲线, 像落在某坐标邻域中. 设$X$为$\gamma(t)$(邻域)上的向量场. 我们关心何时有$D_{\dot\gamma(t)}X=0,$ $\,\forall\,t\in [a,b].$

$\begin{aligned} D_{\dot\gamma(t)}X&=D_{\dot\gamma(t)}\left(X^j\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}\right)\\ &=\frac{d {}X^j}{d {}t}\frac{\partial {} }{\partial {}x_j}+\dot\gamma^iX^jD_{\frac{\partial {} }{\partial {}x_i} }\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}\\ &=\left(\frac{d {}X^k}{d {}t}+\dot\gamma^iX^j\Gamma_{ij}^k\right)\frac{\partial {} }{\partial {}x^k} \end{aligned}$

因此$D_{\dot\gamma(t)}X=0$即要求$\,\forall\,k,$ 有$\frac{d {}X^k}{d {}t}+\dot\gamma^iX^j\Gamma_{ij}^k=0$成立. 这是一个ODE方程组, $\,\forall\,v\in T_{\gamma(a)}M,$ 总存在$X_v(t),$ 满足$X_v(a)=v,$ $D_{\dot\gamma(t)}X_v=0.$

称一个沿$\gamma$的向量场$X$是平行的, 若$D_{\dot\gamma}X=0.$ 给定$\gamma:[a,b]\rightarrow M,$ 称$w\in T_{\gamma(b)}M$由$v\in T_{\gamma(a)}M$沿$\gamma$平行移动得到, 若存在沿$\gamma$的平行向量场$X,$ 使得$X(a)=v,$ $X(b)=w.$ 以上都是对一小段嵌入曲线讨论的结果. 对一般的浸入曲线, 需要对区间做分割, 使向量分段平移.

由此我们可以定义向量空间的同构$P^\gamma:M_{\gamma(a)}\rightarrow M_{\gamma(b)},$ 它的逆恰恰是沿$\gamma$反向曲线的平行移动. 称该同构为平移同构. 注意平移同构与曲线的选取密切相关. 因此, 我们可以说联络联系着曲线两端的切空间, 当然这一联系与曲线本身有关.

现在我们能对(L1)性质有更深刻的认识: 它等价于所有平移同构都保持内积. 当(L1)成立时, 设有弧长参数化曲线$\gamma:[0,1]\rightarrow M,$ $x,y$为其端点. 取$T_xM$标准正交基$\{e_i\},$ 令$e_i(t)=P^{\gamma|_{[0,t]} }(e_i),$ 有$D_{\dot\gamma(t)}e_i(t)=0.$ 因此,

$\frac{d {} }{d {}t}\left<{}e_i(t),e_j(t)\right>=\dot\gamma(t)\left<{}e_i(t),e_j(t)\right>=\left<{}D_{\dot\gamma(t)}e_i(t),e_j(t)\right>+\left<{}e_i(t),D_{\dot\gamma(t)}e_j(t)\right>=0.$

从而, $\left<{}e_i(t),e_j(t)\right>\equiv \delta_{ij}.$ 因此, 平移同构将标准正交基映为标准正交基, 从而是保持内积的同构. 反过来, 设每一个平移同构都保持内积, 取向量场$X,Y,Z.$ 对任意点$x,$ 取弧长参数化曲线$\gamma:[0,1]\rightarrow M,$ 以$x$为起点且$\dot\gamma(0)=X(x).$ 类似地取$\{e_i(t)\}$为$T_{\gamma(t)}M$的标准正交基, 那么设$Y=Y^ie_i,$ $Z=Z^ie_i,$ 则:

$\begin{aligned} X(x)\left<{}Y,Z\right>&=\dot\gamma(0)\left<{}Y,Z\right>=\frac{d {} }{d {}t}\sum_i Y^iZ^i|_{t=0}\\ &=\sum_i \frac{d {}Y^i}{d {}t}(0)Z^i(0) + \sum_i Y^i(0)\frac{d {}Z^i}{d {}t}(0)\\ &=\left<{}D_{\dot{\gamma}(0)}Y,Z\right>+\left<{}Y,D_{\dot{\gamma}(0)}Z\right>\\ &=\left<{}D_{X(x)}Y,Z\right>+\left<{}Y,D_{X(x)}Z\right> \end{aligned}$

即若平移同构总保持内积, 那么它也一定满足(L1)条件. 于是, 可以说Levi-Civita联络是唯一的对称联络, 使得所有平移同构都是等距同构.

注 3. 联络$D$决定了平移同构, 反过来平移同构也决定了该联络: 可以证明, 若给定$v\in T_xM,$ 向量场$X,$ 曲线$\gamma$以$x$为起点, $\dot{\gamma}(0)=v,$ 那么对于平移同构$P_t:T_xM\rightarrow T_{\gamma(t)}M,$ 有

$D_vX=\frac{d {} }{d {}t}[P_t^{-1}(X\circ\gamma(t))]|_{t=0}.$

注 4. 测地线的概念由测地曲率为零引入, 即曲线的曲率向量与法线重合, 曲线在切平面上的投影处处曲率为零, 是直线的推广. 另一种推广方式是考虑曲线上切向量场, 如果切向量场是沿曲线的平行向量场, 那么曲线称为联络的测地线, 即$D_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.$ 于是这两种定义是等价的, 且通过后一定义立即看出测地线的定义是内蕴的.

文章最后更新于 2022-01-14 12:22:00