Jacobi公式

在学习黎曼几何时遇到了一个计算上的问题, 查阅后才发现居然有这种公式, 感觉很是神奇, 特此记录下来.

命题 1. 我们有如下等式成立:

$$\frac{d {}\det(A(t))}{d {}t}=\det(A(t))\operatorname{tr}\left(A(t)^{-1}A'(t)\right),\quad A'(t)=\frac{d {}A(t)}{d {}t}.$$

证: 首先需有公式:

$$\det(1+\varepsilon A)=1+\varepsilon\operatorname{tr}(A)+O(\varepsilon^2).$$

利用$\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n$即可简单地得到. 接下来, 自然得到另一公式:

$$\det(A+\varepsilon B)=\det(A)(1+\varepsilon\operatorname{tr}(A^{-1}B)+O(\varepsilon^2)).$$

现令$A=A(t),$ $B=A’(t),$ 那么,

$$\frac{d {} }{d {}\varepsilon}\left.\det\left(A(t)+\varepsilon A'(t)\right)\right|_{\varepsilon=0}=\det(A(t))\operatorname{tr}\left(A(t)^{-1}A'(t)\right).$$

注意若$A(t)=[\alpha_1(t),\cdots,\alpha_n(t)],$ 则:

$$\frac{d {}\det(A(t))}{d {}t}=\det[\alpha_1'(t),\alpha_2(t),\cdots,\alpha_n(t)]+\cdots+\det[\alpha_1(t),\cdots,\alpha_{n-1}(t),\alpha_n'(t)].$$

而$A(t)+\varepsilon A’(t)=[\alpha_1(t)+\varepsilon\alpha_1’(t),\cdots,\alpha_n(t)+\varepsilon\alpha_n’(t)],$ 将$\frac{d {} }{d {}\varepsilon}\left.\det\left(A(t)+\varepsilon A’(t)\right)\right|_{\varepsilon=0}$按同样方式展开, 得到与$\frac{d {}\det(A(t))}{d {}t}$相同的式子.

从而, 我们有恒等式:

$$\frac{d {}\det(A(t))}{d {}t}=\det(A(t))\operatorname{tr}\left(A(t)^{-1}A'(t)\right).$$

参考: https://terrytao.wordpress.com/2013/01/13/matrix-identities-as-derivatives-of-determinant-identities/

文章最后更新于 2022-01-24 17:40:31