论文笔记-正质量定理

物理意义

以下为本非物理系学生粗略阅读物理文献, 查阅网站后对该定理物理意义的理解, 可能具有不专业之处, 请见谅.

我们熟知有万有引力, 空间中的物体会对周围的物体产生力的作用, 这种力场称为引力场. 场本身理应具有能量, 称为ADM质量, 由三位物理学家定义, 以其首字母取名.

直观来看, 在一张平坦的布上放置一个物体, 会使得整张布扭曲(物体附近下沉, 无穷远处轻微下沉, 效果随距离缩小), 这便是引力场的一个直观上的模型. 注意这张布扭曲后便构成了一个二维非平凡曲面, 我们可以根据其上诱导度量讨论几何结构, 黎曼几何知识由此引入.

为了探讨一个孤立系统的能量, 假设空间中只有这一个物体, 那么它的引力场理应在无穷远处几乎没有作用, 物理上称之为渐近平直时空. 仍以上述的布为例, 它在无穷远处是和平面接近的, 因此数学上也符合空间渐进平坦的定义.

物理上正质量定理的表述为: 一个孤立体系若其物质分布满足主能量条件, 则其ADM质量非负. 数学上, 可以建立物理量与几何量间的联系. 在特定情形下, 主能量条件可以推出空间数量曲率非负的条件. 类似于Gauss定理, 球内的能量应可在球面上检测, 定义ADM质量:

$$E=\frac{1}{4(n-1)\omega_{n-1} }\lim_{\sigma\rightarrow \infty}\int_{S_\sigma}\sum_{i,j}(g_{ij,i}\nu_j-g_{ii,j}\nu_j)d\xi(\sigma).$$

这里$S_\sigma=\{|x|=\sigma\}.$ 逗号表示偏导, 如$g_{ij,k}:=\partial_kg_{ij}.$ $\nu=\sigma^{-1}x$为$S_\sigma$单位外法向量. 该式可积由渐进平坦的假设保证, 由此得到引力场的能量.

数学上的正质量定理, 就是在如上假设下, 证明$E\ge 0.$ 特别地, $E=0$仅在欧氏空间取到, 物理意义上即若引力场能量为零, 则对空间不产生扭曲. 按前文的例子, 没有物体放在布上.

该定理在物理意义上并没有想象中的显然, 因为对于孤立体系, 物质之间的引力结合能是负的. 在Newton引力理论中, 一个孤立点质量产生的引力场的能量不仅是负的, 而且可以趋于负无穷, 这样的孤立体系的总能量也完全可以是负的. 因此正质量定理物理方面不仅不是显而易见的结果, 还是广义相对论有别于Newton引力理论的一个重要特征.

另一方面, 特殊情形$E=0$推出空间平凡也具有重大的意义. 对于三维空间, 若ADM质量为零, 则必定是欧氏空间, 时空本身必定是Minkowski时空. 这表明Minkowski时空不仅是所有时空中能量最低的, 而且是具有最低能量值的唯一时空. 这一点对于确保Minkowski时空稳定性有重要的意义, 也意味着所有非平凡渐近平直时空的ADM质量都是正的. 这是正质量定理中”正”字的含义所在.

渐进平坦流形

取黎曼流形$(M^n,g),$ 称它是渐进平坦的, 若存在紧集$K\subset M,$ 使得有$\Phi:M\setminus K\approx \mathbb{R}^n\setminus \overline{B}_1$为微分同胚. 同时, 在由$\Phi$决定的坐标系下, $g_{ij}(x)=\delta_{ij}+O(|x|^{-p}),$ $p>\frac{n-2}{2};$ $|R(g)|=O(|x|^{-q}),$ $q>n.$ 此外还需要求:

$$|x||g_{ij,k}(x)|+|x|^2|g_{ij,kl}(x)|=O(|x|^{-p}).$$

这里逗号指偏导. 这样便可以定义$M$的总能量. 回忆数量曲率表达式:

$$\begin{aligned} R(g)&=g^{ij}R_{ij}=g^{ij}g^{kl}R_{ikjl}\\ &=g^{ij}g^{kl}\left<{}D_{\partial_k}D_{\partial_i}\partial_j-D_{\partial_i}D_{\partial_k}\partial_j,\partial_l\right>\\ &=g^{ij}(\Gamma_{ij,k}^k-\Gamma_{kj,i}^k+\Gamma_{kl}^k\Gamma_{ij}^l-\Gamma_{il}^k\Gamma_{kj}^l) \end{aligned}$$

联络系数表达式:

$$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{km}(g_{im,j}+g_{jm,i}-g_{ij,m})=O(|x|^{-p-1}),$$

这里注意对逆阵的估计同样是$g^{ij}(x)=\delta^{ij}+O(|x|^{-r}).$ 对逆阵求导有如下公式:

$$\partial_kg^{ij}=-g^{ir}g_{rs,k}g^{sl}=O(|x|^{-p-1}),$$

含$g^{ij}$的项在对$i,j$求和时, 只有$i=j$占主要部分, 因此有如下估计成立:

$$\begin{aligned} g^{ij}(\Gamma_{ij,k}^k-\Gamma_{kj,i}^k)&=\frac{g^{ij}g^{km} }{2}(g_{im,jk}+g_{jm,ik}-g_{ij,mk}-g_{km,ji}-g_{jm,ki}+g_{kj,mi})+O(|x|^{-2p-2})\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i,k}(g_{ik,ik}-g_{ii,kk}-g_{kk,ii}+g_{ki,ki})+O(|x|^{-2p-2})\\ &=\sum_{i,j}(g_{ij,ij}-g_{ii,jj})+O(|x|^{-2p-2}) \end{aligned}$$

结合$\Gamma_{kl}^k\Gamma_{ij}^l-\Gamma_{il}^k\Gamma_{kj}^l=O(|x|^{-2p-2}),$ 我们得到$R(g)=\sum_{i,j}g_{ij,ij}-g_{ii,jj}+O(|x|^{-2p-2}).$ 由于$2p+2>n,$ 余项在无穷远处绝对可积. 而$R(g)$本身是可积的, 因此$\sum_{i,j}g_{ij,ij}-g_{ii,jj}$可积. 从而由分部积分, 如下极限存在:

$$\lim_{\sigma\rightarrow \infty}\int_{S_\sigma}\sum_{i,j}(g_{ij,i}\nu_j-g_{ii,j}\nu_j)d\xi.$$

这里$S_\sigma=\{|x|=\sigma\},$ $\nu=\sigma^{-1}x$为$S_\sigma$单位外法向量. 依下式定义总能量$E=E(M,g),$

$$E=\frac{1}{4(n-1)\omega_{n-1} }\lim_{\sigma\rightarrow \infty}\int_{S_\sigma}\sum_{i,j}(g_{ij,i}\nu_j-g_{ii,j}\nu_j)d\xi.$$

正质量定理的基本内容即是, 若处处有$R(g)\ge 0,$ 则$E\ge 0.$ 同时, $E=0$当且仅当$(M,g)$同构于欧氏空间.

Yamabe问题

共形类

对度量$g,$ 定义其共形类:

$$[g]=\{e^ug,u\in C^\infty(M)\}.$$

1960年, Yamabe声称证明了如下命题: 给定紧黎曼流形$(M,g),$ $n\ge 3,$ 存在与$g$共形的度量, 具常数量曲率. 不过证明中出现了较大的问题, 从而该命题成为了一个问题, 称为Yamabe问题. 在24年后, Schoen给出了证明.

若$\widetilde{g}=e^ug,$ 我们来计算几何量的变化. 首先容易得到:

$$\widetilde{\Gamma}_{ij}^m=\Gamma_{ij}^m+\frac{1}{2}(\delta_j^m \partial_i u+\delta_i^m\partial_ju-g^{mk}g_{ij}\partial_k u).$$

取度量$g$下$x$点处法坐标系, 回忆

$$\widetilde{R}_{ijkl}=\widetilde{g}_{lm}(\partial_j \widetilde{\Gamma}_{ik}^m-\partial_i\widetilde{\Gamma}_{jk}^m+\widetilde{\Gamma}_{ik}^r\widetilde{\Gamma}_{jr}^m-\widetilde{\Gamma}_{jk}^r\widetilde{\Gamma}_{ir}^m).$$

由于$\widetilde{g}(x)_{lm}=e^{u(x)}\delta_{lm},$ $\partial_k g_{ij}(x)=0,$

$$\begin{aligned} \delta_{lm}(\partial_j \widetilde{\Gamma}_{ik}^m(x)-\partial_i\widetilde{\Gamma}_{jk}^m(x))=&\delta_{lm}(\partial_j\Gamma_{ik}^m(x)-\partial_i\Gamma_{jk}^m(x))\\ &+\frac{1}{2}(\delta_{il}\partial_{jk}u(x)+\delta_{jk}\partial_{il}u(x)-\delta_{jl}\partial_{ik}u(x)-\delta_{ik}\partial_{jl}u(x)) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \delta_{lm}(\widetilde{\Gamma}_{ik}^r\widetilde{\Gamma}_{jr}^m-\widetilde{\Gamma}_{jk}^r\widetilde{\Gamma}_{ir}^m)=&\frac{\delta_{lm} }{4}\left\{(\delta_{i}^r\partial_k u+\delta_k^r\partial_iu-\delta^{rs}\delta_{ik}\partial_su)(\delta_{j}^m\partial_r u+\delta_r^m\partial_ju-\delta^{mt}\delta_{jr}\partial_tu)\right.\\ &\left.-(\delta_{j}^r\partial_k u+\delta_k^r\partial_ju-\delta^{rs}\delta_{jk}\partial_su)(\delta_{i}^m\partial_r u+\delta_r^m\partial_iu-\delta^{mt}\delta_{ir}\partial_tu)\right\}\\ =&\frac{1}{4}\left\{(\delta_{i}^r\partial_k u+\delta_k^r\partial_iu-\delta_{ik}\partial^ru)(\delta_{lj}\partial_r u+\delta_{lr}\partial_ju-\delta_{jr}\partial_lu)\right.\\ &\left.-(\delta_{j}^r\partial_k u+\delta_k^r\partial_ju-\delta_{jk}\partial^ru)(\delta_{li}\partial_r u+\delta_{lr}\partial_iu-\delta_{ir}\partial_lu)\right\}\\ =&\frac{1}{4}\left\{(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{jl}\delta_{ik})\partial_ru\partial^ru+(\delta_{jl}\partial_ku\partial_iu+\delta_{ik}\partial_ju\partial_lu-\delta_{il}\partial_ku\partial_ju-\delta_{jk}\partial_iu\partial_lu)\right\} \end{aligned}$$

最终得到

$$\widetilde{R}=e^{-u}\left(R-(n-1)\Delta_gu-\frac{(n-1)(n-2)}{4}|\nabla u|_g^2\right).$$

$n=2$时, Yamabe问题即为是否存在$\lambda\in \mathbb{R},$ $u\in C^\infty(M),$ 使得

$$-\Delta_gu+R=\lambda e^u.$$

这个方程并不是特别困难. $n\ge 3$时, 它是一个流形上非线性分析的很好的问题. 令$e^u=v^{\frac{4}{n-2} },$ $v$为光滑正函数, 则等式化为如下形式:

$$-\Delta_g v+\frac{n-2}{4(n-1)}Rv=\frac{n-2}{4(n-1)}\widetilde{R}v^{2^\ast -1}.$$

其中$2^\ast =\frac{2n}{n-2}.$ Yamabe问题即化为是否存在$\lambda\in \mathbb{R}$以及$M$上光滑正函数$u,$ 使得

$$-\Delta_g u+\frac{n-2}{4(n-1)}Ru=\lambda u^{2^\ast -1}.$$

这样就将纯几何问题化为了纯分析问题.

共形Laplace算子

由前面的式子启发, 我们定义共形Laplace算子:

$$L:=-\Delta+c_nR,\quad c_n=\frac{n-2}{4(n-1)}.$$

它是共形不变的, 具体表述为如下命题:

命题 1. 设$(M,g)$为紧黎曼流形. 令$\varphi\in C^\infty(M),$ 则$n\ge 3$时, 对于$\widetilde{g}=e^{\varphi}g=\psi^{\frac{4}{n-2} }g,$

$$L_{\widetilde{g} }u=\psi^{-(2^\ast -1)}L_g(u\psi).$$

证:

$$\begin{aligned} \Delta_{\widetilde{g} }u&=\frac{e^{-\frac{n\varphi}{2} } }{\sqrt{g} }\partial_i(e^{\frac{n-2}{2}\varphi}g^{ij}\sqrt{g}\partial_ju)\\ &=e^{-\varphi}\left(\Delta_gu+\frac{n-2}{2}\partial_i\varphi g^{ij}\partial_ju\right) \end{aligned}$$

其中$\partial_i\varphi g^{ij} \partial_j u=\left<{}D\varphi,Du\right>_g.$ 从而,

$$\Delta_{\widetilde{g} }u=\psi^{-\frac{4}{n-2} }\left(\Delta_gu+2\frac{\left<{}D\psi,Du\right>_g}{\psi}\right)=\psi^{-(2^*-1)}(\psi \Delta_g u+2\left<{}D\psi,Du\right>_g) .$$

从而,

$$\begin{aligned} L_{\widetilde{g} }u&=\psi^{-(2^*-1)}\left(-\psi\Delta_gu-2\left<{}D\psi,Du\right>_g+\frac{n-2}{4(n-1)}Ru\psi -u\Delta_g\psi\right)\\ &=\psi^{-(2^*-1)}(-\Delta_g(u\psi)+c_nRu\psi)=\psi^{-(2^*-1)}L_g(u\psi).\\ \end{aligned}$$

接下来我们定义共形平坦的概念. 称黎曼流形$(M,g)$是共形平坦的, 若$\,\forall\,x\in M,$ 存在$x$的开邻域$V,$ $u\in C^\infty(M),$ 使得$e^ug$在$V$上是平坦的.

正质量定理

度量改造

有了这些准备工作后, 便可以开始正质量定理的证明了. 首先我们将度量进行改造:

命题 2. 设$(M,g)$是渐进平坦流形, $p>\frac{n-2}{2},$ $q>n.$ 假设$R(g)\ge 0,$ 则$\,\forall\,\varepsilon>0,$ $\,\exists\,\overline{g}$使得无穷远处$(M,\overline{g})$仍是渐进平坦的, 且还是共形平坦的, 同时$R(\overline{g})\equiv 0,$ $E(\overline{g})\le E(g)+\varepsilon.$

证: 首先可以设$R(g)\equiv 0,$ 考虑共形Laplace方程$Lu=0,$ 取解$u=1+A|x|^{2-n}+O(|x|^{1-n}),$ $A\le 0.$ 这样在无穷远处, $u\in(0,1).$ 此时度量$u^{\frac{4}{n-2} }g$的数量曲率为零, 且总能量由$E(g)+A\le E(g)$给出. 因此用该度量替代$g$即可.

接下来我们将$g$在无穷远处变为欧氏度量. 取截断函数$\Psi_\sigma(x)$满足如下性质:

$$\left\{\begin{aligned} &\Psi_\sigma(x)=1,\quad |x|\le \sigma,\\ &\text{单调递减, 且} \sigma |\Psi_\sigma'|+\sigma^2|\Psi''_\sigma|\le c,\\ &\Psi_\sigma(x)=0,\quad |x|\ge 2\sigma. \end{aligned}\right.$$

考虑度量$^{(\sigma)}g:=\Psi_\sigma g+(1-\Psi_\sigma)\delta,$ $\delta=\delta_{ij}dx^idx^j$为欧氏度量. 注意到$\sigma$充分大时, 对$\sigma$一致地有${}^{(\sigma)}g=\delta+O(|x|^{-p}),$ 且$R\left({}^{(\sigma)}g\right)=O(|x|^{-2-p}).$ 特别地, 我们有:

$$\int_M \left|R\left({}^{(\sigma)}g\right)\right|^{\frac{n}{2} }d\omega_g=O(\sigma^{-\frac{np}{2} }).$$

因此对充分大的$\sigma,$ 有关于方程$L_\sigma u_\sigma=0,$ $u_\sigma>0,$ $u_\sigma\rightarrow 1$的唯一解. 从而度量${}^{(\sigma)}\overline{g}=u_\sigma^{\frac{4}{n-2} }{}^{(\sigma)}g$是数量平坦的, 且在无穷远处共形平坦.

最后说明$\lim_{\sigma\rightarrow \infty}E({}^{(\sigma)}\overline{g})=E(g)$即可, 这样取足够大的$\sigma$即可满足命题要求. 由对$u_\sigma,{}^{(\sigma)}g$的一致衰减估计, 给定$\varepsilon>0,$ 有不依赖于$\sigma$的$r_0$使得

$$\left|E\left({}^{(\sigma)}\overline{g}\right)-\frac{1}{4(n-1)\omega_{n-1} }\int_{S_{r_0} }\sum_{i,j}{}^{(\sigma)}\overline{g}_{ij,i}\nu_j-{}^{(\sigma)}\overline{g}_{ii,j}\nu_jd\xi\right|\le \frac{\varepsilon}{3}$$ $$\left|E(g)-\frac{1}{4(n-1)\omega_{n-1} }\int_{S_{r_0} }\sum_{i,j}g_{ij,i}\nu_j-g_{ii,j}\nu_jd\xi\right|\le \frac{\varepsilon}{3}$$

由于我们已经将$g$改造为数量曲率为零的度量, 在紧子集上, $\lim_{\sigma\rightarrow\infty}u_\sigma=1.$ 从而上面两式中的积分项是逼近的. 因此对充分大的$\sigma,$ $|E({}^{(\sigma)}\overline{g})-E(g)|<\varepsilon.$ 这就完成了命题的证明.

若$(M,g)$是渐进平坦, 且无穷远处共形平坦的, 则$g_{ij}=h^{\frac{4}{n-2} }(x)\delta_{ij},$ $|x|$充分大, 且$h(x)\rightarrow 1.$ 若$R(g)\equiv 0,$ 回忆共形Laplace的定义, 得知$h$为在$|x|$充分大时为调和函数, 具体形式为$h=1+E|x|^{2-n}+O(|x|^{1-n}).$ 这里我们将能量标准化, 使得$E$恰为度量$h^{\frac{4}{n-2} }\delta$的总能量. 由此我们总可以假设上述命题中的度量为这种形式, 不再用形如$g=\delta+O(|x|^{-p})$的方式表示.

极小曲面方法

定理 3 (正质量定理). 设$(M,g)$渐进平坦, $p>\frac{n-2}{2},$ $q>n,$ $R(g)\ge 0,$ 则$E(g)\ge 0,$ 且$E(g)=0$当且仅当$(M,g)$等距于$(\mathbb{R}^n,\delta).$

我们给出$n\le 7$时的证明. 对$n\ge 8$的情形, 可通过额外的技术克服极小曲面奇点的问题. $E(g)=0$的情形暂时不做讨论.

证: 反证, 假设$E(g)<0,$ 则由前小节命题, 可设$R(g)\equiv 0,$ $g_{ij}=h^{\frac{4}{n-2} }\delta_{ij},$ $h(x)=1+E|x|^{2-n}+O(|x|^{1-n}).$ 现在改造$R(g)>0$比较方便. 我们取正光滑函数$v$充分小, 且在无穷远处快速衰减. 取解$Lu=v,$ $u=1+\delta|x|^{2-n}+O(|x|^{1-n}),$ $\delta$充分小. 将度量替换为$u^{\frac{4}{n-2} }g$即可. 这样还保证了能量的负性.

我们来计算单位向量场$\eta=h^{-\frac{2}{n-2} }\partial_n$关于$g$的散度.

$$\begin{aligned} \operatorname{div}_g(\eta)&=\frac{1}{\sqrt{g} }\partial_i\left(\sqrt{g}\eta^i\right)=h^{-\frac{2n}{n-2} }\partial_n\left(h^{\frac{2n}{n-2} }h^{-\frac{2}{n-2} }\right)\\ &=\frac{2(n-1)}{n-2}E\partial_n\left(|x|^{2-n}\right)+O\left(|x|^{-n}\right)\\ &=-2(n-1)E\frac{x^n}{|x|^n}+O\left(|x|^{-n}\right) \end{aligned}$$

特别地, 我们看到$\,\exists\,a_0\in \mathbb{R},$ $\operatorname{div}_g(\eta) \begin{cases} >0,&x^n\ge a_0\\<0,&x^n\le -a_0 \end{cases}.$ 现令$\sigma$充分大, $\Gamma_{\sigma,a}$表示$n-2$维球面

$$\Gamma_{\sigma,a}:=\{x=(x',x^n):|x'|=\sigma,x^n=a\}.$$

$C_\sigma$表示$n-1$维柱面

$$C_\sigma:=\{(x',x_n):|x'|=\sigma\}.$$

将$\Gamma_{\sigma,a}$作为$C_\sigma$中在它下方的圆柱部分的边界定向. 取$\Sigma_{\sigma,a}$为$n-1$维极小曲面, $\partial{\Sigma_{\sigma,a} }=\Gamma_{\sigma,a}.$ $C_\sigma$框住了内部区域$\Omega_\sigma,$ $\Sigma_{\sigma,a}\subset \Omega_\sigma.$ $n\le 7$时, 极小曲面$\Sigma_{\sigma,a}$上没有奇点.

$\,\forall\,\sigma,$ 定义

$$V(\sigma)=\min\{\operatorname{Vol}(\Sigma_{\sigma,a}):a\in [-a_0,a_0]\},$$

这里$a\mapsto\operatorname{Vol}(\Sigma_{\sigma,a})$为连续函数. 断言存在$a=a(\sigma)\in (-a_0,a_0),$ $\operatorname{Vol}(\Sigma_{\sigma,a})=V(\sigma).$ 为了说明$a(\sigma)<a_0,$ 将$\Sigma_{\sigma,a}$写成$(\partial\Omega_{\sigma,a})\cap \Omega_\sigma$的形式, $\Omega_{\sigma,a}$为$\Omega_\sigma$在$\Sigma_{\sigma,a}$下方的部分. 令

$$U_{\sigma,a}=\{(x',x^n)\in\Omega_{\sigma,a}:x^n>a_0-\delta\},$$

$\delta$充分小, 使得仍有$\operatorname{div}_g(\eta)>0,$ $x^n>a_0-\sigma.$ 我们来说明$U_{\sigma,a}=\varnothing.$ 若$U_{\sigma,a}\neq \varnothing,$ $a>a_0-\delta.$ 由分部积分公式, 且由于$\eta$与$C_\sigma$纵向相切,

$$\int_{U_{\sigma,a} }\operatorname{div}_g(\eta)d\mathcal{H}^n=\int_{\Sigma_{\sigma,a}\cap \{x^n\ge a_0-\delta\} }\left<{}\eta,\nu\right>_gd\mathcal{H}^{n-1}-\operatorname{Vol}(\Omega_{\sigma,a}\cap\{x^n=a_0-\delta\})>0,$$

其中$\nu$为$\Sigma_{\sigma,a}$单位法向. 由Schwartz不等式,

$$\operatorname{Vol}(\Omega_{\sigma,a}\cap \{x^n=a_0-\delta\})<\operatorname{Vol}(\Sigma_{\sigma,a}\cap \{x^n\ge a_0-\delta\}).$$

这样, $\Sigma:=\partial(\Omega_{\sigma,a}\cap \{x^n<a_0-\delta\})\cap \Omega_\sigma$有更小的面积, $\partial\Sigma=\Gamma_{\sigma,a_0-\delta}.$ 这与$\Sigma_{\sigma,a}$极小性矛盾, 因此$a(\sigma)\le a_0-\delta,$ 类似地, $a(\sigma)\ge -a_0+\delta.$

取$\Sigma_{\sigma}=\Sigma_{\sigma,a(\sigma)},$ 使得$V(\sigma)$达到极小. 取$X_1$为$M$上向量场, 在紧集外与$\partial_n$恒同. 令$X_0$为具紧支撑的向量场, $X=X_0+\alpha X_1,$ $\alpha\in \mathbb{R}.$ 令$F_t$为由$X$生成的单参数变换群, 若$\sigma$充分大, $X_0$的紧支集包含在$\Omega_\sigma$内, 则$X$给出了$\Sigma_\sigma$的正常变分:

$$\left.\frac{d {} }{d {}t}\operatorname{Vol}(F_t(\Sigma_\sigma))\right|_{t=0}=0,\quad \left.\frac{d {}^2}{d {}t^2}\operatorname{Vol}(F_t(\Sigma_\sigma))\right|_{t=0}\ge 0.$$

它的体积第二变分为$F_{X,\sigma}$的积分,

$$F_{X,\sigma}(P)=\left.\frac{d {}^2}{d {}t^2}\left\Vert dF_t(T_P\Sigma_\sigma)\right\Vert_g\right|_{t=0}.$$

对充分大的$|x|,$ 对$\sigma$一致地有$F_{X,\sigma}(x)=O(|x|^{-n}).$ 正则性理论表明在紧集外, $\Sigma_\sigma$是函数$f_{\sigma}(x’)$的图像, 且其梯度有界. 选取一系列$\sigma_i\rightarrow \infty,$ $\{\Sigma_{\sigma_i}\}$收敛到$\Sigma\subset M.$ 由于$F_{X,\sigma_i}$的一致衰减条件,

$$\int_{\Sigma}F_Xd\mathcal{H}^{n-1}\ge 0,\quad F_X(P)=\frac{d {}^2}{d {}t^2}\Vert dF_t(T_P\Sigma)\Vert|_{t=0}.$$

在紧集外, $\Sigma$也是$f(x’)$的图像, 具有界梯度. 事实上, 由于$|f(x’)|\le a_0,$ 由正则性理论$|\partial f|(x)=O(|x’|^{-1}).$ 另外, $f$满足极小曲面方程:

$$\sum_{i,j}\left(\delta_{ij}-\frac{\partial_if\partial_jf}{1+|\nabla f|^2}\right)\partial_{ij}f+\sqrt{1+|\nabla f|^2}\frac{\partial {} }{\partial {}\nu_0}\log h=0,\quad \nu_0=\frac{(-\nabla f,1)}{\sqrt{1+|\nabla f|^2} }.$$

由线性理论, $f(x’)=a+O(|x’|^{3-n}),$ $n\ge 4,$ 并且$f(x’)=a+O(|x’|^{-1}),$ $n=3,$ $a\in \mathbb{R}.$ $F_X$可由$\Sigma$的几何表示:

$$F_X=-\sum_{i=1}^{n-1}\left<{}R_{Xe_i}X,e_i\right>+\operatorname{div}_M Z+(\operatorname{div}_MX)^2+\sum_{i=1}^{n-1}|(D_{e_i}X)^{\perp}|^2-\sum_{i,j=1}^{n-1}\left<{}e_i,D_{e_j}X\right>\left<{}e_j,D_{e_i}X\right>.$$

其中$Z=D_{\partial_t}\frac{\partial {}F_t}{\partial {}t}$为变化的加速度向量场. 其中

$$\operatorname{div}_MX=\sum_{i=1}^{n-1}\left<{}D_{e_i}X,e_i\right>,$$

$\{e_i\}$为$\Sigma$切空间的正交基.

做正交分解$X=\widetilde{X}+\varphi\nu,$ $Z=\widetilde{Z}+\psi\nu.$ 由于$\Sigma$是极小的, $\operatorname{div}_M \chi\nu=0,$ 对于任意函数$\chi.$ 接下来有:

$$F_X=-\varphi^2\operatorname{Ric}(\nu,\nu)-\varphi^2\Vert B\Vert^2+\Vert\nabla \varphi\Vert^2+G,$$ $$\begin{aligned} G=&-2\sum_{i=1}^{n-1}\varphi\left<{}R(\widehat{X},e_i)\nu,e_i\right>-\sum_{i=1}^{n-1}\varphi\left<{}R(\widehat{X},e_i)\widehat{X},e_i\right>+\operatorname{div}_M\widehat{Z}+(\operatorname{div}_M\widehat{X})^2\\ &-2B(\nabla \varphi,\widehat{X})+\sum_{i=1}^{n-1}B(e_i,\widehat{X})^2-2\varphi\sum_{i,j=1}^{n-1}b_{ij}\widehat{X}_{i;j}-\sum_{i,j=1}^{n-1}\widehat{X}_{i;j}\widehat{X}_{j;i}. \end{aligned}$$

以上公式我们均在正交标架下讨论. 其中$B(-,-)$表示第二基本型即 $B(V,W)=\left<{}D_VW,\nu\right>.$ 分号指求协变导数, 度量为诱导度量. 与$Z,\widehat{X}$有关的量需用有界量表示. 若$D\subset \Sigma$为有界区域,

$$\int_DGd\mathcal{H}^{n-1}=\int_{\partial D}\left\{(\operatorname{div}\widehat{X})\left<{}\widehat{X},\eta\right>-\sum_{i,j}\widehat{X}_{i;j}\widehat{X}_j\eta_i-2\varphi\sum_{i,j}b_{ij}\widehat{X}_i\eta_j+\left<{}\widehat{Z},\eta\right>\right\}d\mathcal{H}^{n-2}$$

$\eta$为$\Sigma$内$\partial D$的单位外法向. 中间项消失是因为Gauss-Codazzi方程与Ricci公式. 对$\sigma>0,$ 令$D_\sigma=\Omega_\sigma\cap \Sigma.$ 由$f,h$的衰减条件, 每个边界项衰减比$\sigma^{2-n}$要快, 因此边界项趋于零, 当$\sigma\rightarrow\infty$时. 从而

$$\int_\Sigma (\operatorname{Ric}(\nu,\nu)+\Vert B\Vert^2)\varphi^2d\mathcal{H}^{n-1}\le \int_\Sigma \Vert\nabla \varphi\Vert^2d\mathcal{H}^{n-1}.$$

这里$\varphi=\left<{}X,\nu\right>.$ 由于$X$在紧集内可任意选取, $\varphi$只在紧集外固定为

$$\varphi=\alpha\left<{}\partial_n,\nu\right>=\alpha h^{\frac{2}{n-2} }(1+|\nabla f|^2)^{-\frac{1}{2} }.$$

由于$\varphi-\alpha=O(|x’|^{2-n}),$ 它具有有限能量. 因此可任意选取$\varphi$只要$\varphi-\alpha$具紧支集或有限能量. 由Gauss方程,

$$\operatorname{Ric}(\nu,\nu)+\Vert B\Vert^2=\frac{1}{2}R_M-\frac{1}{2}R_{\Sigma}+\frac{1}{2}\Vert B\Vert^2.$$

$R_{\Sigma}$即诱导度量下$\Sigma$的数量曲率.

为了完成证明, 首先假设$n=3,$ $\varphi\equiv 1.$ 这样$\frac{1}{2}\int_{\Sigma}R_{\Sigma}d\mathcal{H}^2>0.$ 现$\frac{1}{2}R_{\Sigma}$为$\Sigma$的Gauss曲率, $f,h$的衰减估计说明$\partial D_{\sigma}$的测地曲率收敛到$2\pi.$ 对$D_\sigma$应用Gauss-Bonnet公式, 令$\sigma\rightarrow \infty,$

$$\frac{1}{2}\int_{\Sigma}R_{\Sigma}d\mathcal{H}^2=2\pi \chi(\Sigma)-2\pi.$$

由于$\Sigma$为开曲面, $\chi(\Sigma)\le 1,$ 右项非正. 这与前述的不等式矛盾, 因此$n=3$命题成立.

对$n\ge 4$的情况, 由于诱导度量$\overline{g}$满足:

$$\overline{g}_{ij}=h(x',f(x'))^{\frac{4}{n-2} }(\delta_{ij}+\partial_if\partial_jf)=\delta_{ij}+O(|x|^{2-n}),$$

$(\Sigma,\overline{g})$是渐进平坦的, 能量为零. 由前面的不等式与Gauss方程, 以及$R_M\ge 0,$ 说明$L_{\overline{g} }$的最小特征值在$\Sigma$的紧区域上是正的, 因为$c(n)=\frac{n-2}{4(n-1)}<\frac{1}{2},$ $n\ge 3.$ 线性理论使我们可以在$\Sigma$上解$L_{\overline{g} }u=0,$ $u>0,$ 无穷远处$u\rightarrow 1.$ 同时, $u$有展开式

$$u(x')=1+E_0|x'|^{3-n}+O(|x'|^{2-n}).$$

特别地, $u-1$在$\Sigma$上具有限能量, 取$\varphi=u.$ 由$R_M>0,$

$$-\int_{\Sigma}R_{\Sigma}u^2d\mathcal{H}^{n-1}<2\int_{\Sigma}|\nabla u|^2d\mathcal{H}^{n-1}\le c(n)^{-1}\int_\Sigma |\nabla u|^2d\mathcal{H}^{n-1}.$$

接下来,

$$\begin{aligned} \int_\Sigma|\nabla u|^2d\mathcal{H}^{n-1}&=\lim_{\sigma\rightarrow\infty}\int_{D_\sigma}|\nabla u|^2d\mathcal{H}^{n-1}\\ &=-c(n)\lim_{\sigma\rightarrow \infty} \int_{D_{\sigma} }R_{\Sigma}u^2d\mathcal{H}^{n-1}+\lim_{\sigma\rightarrow\infty}\int_{\partial D_{\sigma} }u\frac{\partial {}u}{\partial {}\eta}d\mathcal{H}^{n-1} \end{aligned}$$

由$u$的展开式, $E_0<0.$ 因此$(\Sigma,u^{\frac{4}{n-3} }\overline{g})$是渐进平坦, 具零数量曲率, 以及具负能量的流形. 归纳地, 这在$n=3$时产生矛盾. 因此我们完成了$E\ge 0$的证明.

文章最后更新于 2022-03-07 12:52:49