Myers-Steenrod定理

一开始看到流形上的等距变换, 自然想到保持范数$\Leftrightarrow$保持内积, 从而保持黎曼度量. 但事实上等距(依照初始定义)保持的是流形上的距离, 而不是切空间上的距离, 因此这件事情是需要来证明的. 更重要的一点是, 前述的等价关系仅对线性变换成立, 而切映照是线性变换建立在映照可微的基础上. 事实上我们不需要事先要求等距变换可微, 这就是Myers-Steenrod定理.

定理 1. 若$\phi:M\rightarrow N$为等距满射, 则$\phi$为同构, 特别地它是光滑的.

证: 由于测地线有局部极短性, 等距变换将测地线映至测地线. 设$\phi(p)=q,$ 选取$v\in T_pM,$ $|v|$充分小. 取从$p$点出发以$v$为初始切向量的测地线$\gamma,$ 那么$d(p,\gamma(1))=|v|.$ 由于$\phi$是等距变换, $d(q,\phi\circ\gamma(1))=|v|.$ 若$\phi$可微, 那么由于$\phi\circ\gamma$也是测地线, $|v|=|(\phi\circ\gamma)’(0)|=|d\phi(v)|.$ 此时$d\phi$是保持范数的线性变换, 因此$d\phi$保持内积, 即保持黎曼度量, 故$\phi$是同构.

当$\phi$不见得可微时, 由于$\phi$保持测地线, 我们可以通过测地线的切向量来定义$d\phi:T_pM\rightarrow T_pN,$ 它也是保持范数的. 但此时它不见得是线性变换, 不过我们可以来证明这一点. 假设已知如下结论:

$$\lim_{A,B\rightarrow 0\in T_pM}\frac{d(\exp_p(A),\exp_p(B))}{|A-B|}=1.$$

选取$A,B\in T_pM,$ 取对应的测地线$\gamma_A,\gamma_B.$ 记$A’=d\phi(A),$ $B’=d\phi(B),$ 以及对应的测地线$\gamma_{A’},\gamma_{B’},$ 我们有$d(\gamma_A(t),\gamma_B(t))=d(\gamma_{A’}(t),\gamma_{B’}(t)),$ 从而:

$$1=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{d(\exp_p(tA),\exp_p(tB))}{t|A-B|}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{d(\exp_q(tA'),\exp_q(tB'))}{t|A-B|}=\frac{|A'-B'|}{|A-B|},$$

因此$|d\phi(A)-d\phi(B)|=|A-B|,$ $\,\forall\,A,B\in T_pM.$ 由Mazur-Ulam定理, 结合$d\phi(0)=0,$ 便说明$d\phi$是线性变换, 从而命题得证.

引理 2. $\lim\limits_{A,B\rightarrow 0\in T_pM}\frac{d(\exp_p(A),\exp_p(B))}{|A-B|}=1.$

证: 我们首先证明如下事实, 对曲线$c:I\rightarrow T_pM,$ 若$|c’|$保持有界,

$$\lim_{c(I)\rightarrow 0}\frac{l(\exp_p(c))}{l(c)}=1.$$

我们有$l(c)=\int |c’|,$ $l(\exp_p(c))=\int |d\exp_p(c’(t))|_{\exp_p(c(t))}.$ 由于$d\exp_p$在原点处为恒等变换, 同时$g$是光滑的, $T_{\exp_p(c(t))}M$与$T_pM$度量在$c(I)\rightarrow 0$时充分接近, $l(\exp_p(c))=l(c)+o(l(c)),$ 由此即知事实成立.

接下来, 记$\gamma$为连接$A,B$的曲线, 使得$\exp_p(\gamma)$为测地线; $\xi$为连接$A,B$的直线. 那么

$$|A-B|=l(\xi)\le l(\gamma),$$ $$d(\exp_p(A),\exp_p(B))=l(\exp_p(\gamma))\le l(\exp_p(\xi)).$$

因此,

$$\frac{l(\exp_p(\gamma))}{l(\gamma)}\le \frac{d(\exp_p(A),\exp_p(B))}{|A-B|}=\frac{l(\exp_p(\gamma))}{l(\xi)}\le \frac{l(\exp_p(\xi))}{l(\xi)}.$$

当$A,B\rightarrow 0\in T_pM$时, 两侧趋于$1,$ 从而中间项也趋于$1.$

参考: https://ncatlab.org/nlab/show/Myers-Steenrod+theorem

文章最后更新于 2022-03-24 15:24:34