弱导数与连续性

严格证明

若一个广义函数有弱导数, 那么它是不是本身几乎处处等于一个连续函数呢? 注意这里不是指几乎处处连续, 比如$1_{[0,+\infty)}$是几乎处处连续的, 但它不几乎处处等于一个连续函数; 反过来$1_{\mathbb{Q} }$几乎处处等于连续函数$0,$ 但是几乎处处不连续.

设$u\in H^{1,p}(\Omega),$ 那么由(负指数)Sobolev不等式, 当$p>n$时, $\frac{n}{p}-1<0,$ 因此$H^{1,p}(\Omega)$可嵌入到$C^{\alpha}(\Omega)$中, 函数是Hölder连续的.

那么$p\le n$时是否还可以呢? 这时就需要加额外的条件了. 一个经典的条件是假设弱导数都是连续的. 那么任取$O\Subset \Omega,$ $\overline{O}$为紧集, 故弱导数都在$L^\infty(O)$中, 当然也在所有的$L^p(O)$中, $\,\forall\,p\ge 1.$

由Sobolev不等式, $H^{1,p}(O)$可嵌入到$L^{q}(O)$中, $0\le \frac{n}{p}-1\le \frac{n}{q}.$ 由于弱导数也在$L^{q}(O)$中, 实际上$u$也在$H^{1,q}(O)$中. 归纳地, 我们可得到$u\in H^{1,q}(O),$ $q$满足$0\le \frac{n}{p}-k\le \frac{n}{q},$ $k\in \mathbb{Z}_+.$ 令$k$充分大, 使得$\frac{n}{p}-k<1,$ 即有$q>n,$ 将问题化为上一段的情形. 由$O$的任意性即得到结论.

称前面的条件经典, 是因为这样又能接着得到$u\in C^1(\Omega)$的结论. 取磨光子$\phi_\varepsilon,$ 那么对充分小的$\varepsilon,$ $u_\varepsilon:=u\ast \phi_\varepsilon$定义在$\Omega’\Subset \Omega$上, 满足$u_\varepsilon\rightarrow u,$ $Du_\varepsilon=Du \ast \phi_\varepsilon\rightarrow Du$一致收敛. 因此$u_{\frac{1}{n} }\in C^\infty(\Omega’)$是$C^1(\Omega’)$模下的Cauchy序列, 从而收敛到某个函数$v\in C^1(\Omega’).$ 而$u_\varepsilon\rightarrow u$即说明$v=u\in C^1(\Omega’).$ 由$\Omega’$选取任意性知$u\in C^1(\Omega).$

直观说明

直观来看, 也可以尝试直接给出$u$的表达式来证明. 如对于$1$维情况, 定义

$$v(x)=\int_{0}^x\partial u(y)dy,$$

那么$v$是连续可导的, 他的弱导数当然和它经典意义上的导数一样. 接下来我们来证$u,v$相差常数. 只需证弱导数为零能推出函数为常数即可.

设$u$的弱导数为零. 由于我们总是在分布意义下考察函数, 只需证$\int u\varphi=c\int\varphi,$ $\,\forall\,\varphi\in C_c^\infty.$ 特别地只需对所有$\int \varphi=1$的函数证明. 当$\int \phi=0$时, $\,\exists\,\psi\in C_c^\infty,$ $\phi=\partial\psi.$ 因此对这样的$\phi,$ $\int u\phi=-\int \partial u\psi=0.$ 现任取$\psi$满足$\int \psi=1,$ 那么对所有$\int \varphi=1$的函数, $\int (\varphi-\psi)=0.$ 因此

$$\int u(\varphi-\psi)=0, \int u\varphi=\int u\psi,\quad \,\forall\,\int \varphi=1.$$

这就说明了结论, 此时$\int u\varphi$即是常数$c.$

对于高维情况, 直观说明就变得复杂了. 我们期望通过路径积分来给出$u$的表达式, 但无法先验地判断积分与路径选取无关. 我们有偏导连续的结论, 倘若能再求一阶偏导, 就能够通过格林公式(分部积分)给出证明. 但可惜的是连续函数不见得有弱导数, 甚至有界变差函数也不行, 如devil’s staircase, 尽管其几乎处处可微. 不过我们已经有了$u$的确连续可导的结论, 因此后验地我们知道的确积分与路径选取无关.

高维情况对(每个)弱导数为零的论证是类似的, 说明原函数沿所有直线为常数即可.

参考资料

https://math.stackexchange.com/questions/3550108/the-recovery-of-w1-p-omega-to-c1-omega?noredirect=1

https://math.stackexchange.com/questions/2780348/do-continuous-weak-derivatives-imply-continuity

https://math.stackexchange.com/questions/497708/is-a-continuous-function-with-continuous-weak-derivatives-of-class-c1

文章最后更新于 2022-03-30 13:22:20