调和函数的Taylor展开

看论文的时候用到了一个结论, 想了一会发现确实是对的. 震撼于这么简单而有用的命题为什么之前没学过, 在此记录一下.

命题 1. 调和函数的任意$k$次Taylor展开为调和多项式.

证: 取调和函数$u,$ 记其$k$次Taylor展开式为$h_k.$ $k=0,1$时平凡. $k=2$时, $x_ix_j$项不对调和项产生影响. 对于$x_i^2$项, 求$\Delta$后为常数, 因此只需说明$\Delta h_k$后在一点处取零即可. 我们在原点考察, 函数本身在原点有$\Delta u=0,$ 同时余项$u-h_k$为高阶项, 求二阶导后在原点也取零, 这就迫使$\Delta h_k$在原点也取零, 进而处处为零. 注意对余项的考察用到了调和函数的解析性.

对于$k\ge 3,$ 归纳地, 假设$k-1$次展开式都是调和多项式. $\partial_iu$的$k-1$次Taylor展开式为$\partial_ih_k,$ 由于调和函数的导数仍是调和函数, $\partial_i\Delta h_k=\Delta \partial_ih_k=0.$ 这样多项式$\Delta h_k$各阶导数为零, $\Delta h_k$为常数. 而$h_k-h_{k-1}$为$k$次齐次多项式, $\Delta (h_k-h_{k-1})=\Delta h_k$为$k-2$次齐次多项式, 又是常数, 只能取零.

文章最后更新于 2022-03-30 16:45:54