《黎曼几何初步》笔记(14)-体积的变分和极小子流形

体积第一变分

本节考虑测地线的推广: $k$维极小子流形. 设在$\widetilde{M}$中给定了具有边界的浸入紧致子流形:

$$f:M\rightarrow \widetilde{M}, \quad\dim M=n<\widetilde{n}=\dim\widetilde{M}.$$

设有$C^\infty$映射$F:M\times [0,\varepsilon]\rightarrow\widetilde{M},$ $f_t(x):=F(x,t).$ 若$f_0=f,$ $f_t|_{\partial M}=f|_{\partial M},$ $f_t$为浸入, 则称$\{M_t\}$为$M$的正常变分, $M_t$为$f_t$的像. 沿给定浸入$f$的变分向量场为$W=dF\left(\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}\right).$ 体积$V(t):=V(M_t)$指$M$在$f_t^\ast \widetilde{g}$下的体积, 那么当$V’=0$时, 称$M$关于$\widetilde{M}$是稳态的. 若对$M$中每个具$C^\infty$边界$\partial D$的定向紧致子区域$D,$ $D$关于每个正常变分都是稳态的, 则称$M$为极小的.

由于$f:M\rightarrow\widetilde{M}$为浸入, 局部上$f$是一个嵌入, 因此可将$M$与$f(M)$恒同, 将$f(M)$的平均曲率法向量场$\eta$称为$M$在$\widetilde{M}$中的平均曲率法向量场, $M$的平均曲率为$|\eta|.$

引理 1. 浸入子流形$f:M\rightarrow \widetilde{M}$是极小的, 充要条件是其平均曲率为零.

事实上它是如下更精确定理的直接推论.

命题 2 (体积第一变分). 设$M$是浸入在$\widetilde{M}$中具边界的定向紧致流形, $\{M_t\}$为其正常变分, 则

$$V'(0)=\int_M\left<{}\eta,W\right>dv.$$

证: 记$\Omega_t$为$M$上度量$f_t^\ast \widetilde{g}$的体积元. 我们来证明

$$\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}\Omega_t=(\operatorname{div}\top W)\Omega_0+\left<{}\eta,W\right>\Omega_0.$$

一旦式子成立, 那么由Green定理, 以及$W|_{\partial M}=0,$ 即有:

$$V'(0)=\int_M\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}\Omega_t=\int_{\partial M}\left<{}\top W,n\right>dv+\int_M\left<{}\eta,W\right>\Omega_0=\int_M\left<{}\eta,W\right>\Omega_0.$$

对于体积元, 我们有:

$$\Omega_t=\sqrt{G_t}{}dx^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx^{ {}n}.$$

记$f_t^\ast \widetilde{g}=(g_t)_{ij}dx^idx^j=\left<{}-,-\right>_t,$ $G_t=\det[(g_t)_{ij}],$ $\Omega_{\mathbb{R} }={}dx^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx^{ {}n},$ 那么

$$\left<{}\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge \frac{\partial {} }{\partial {}x^n},\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge \frac{\partial {} }{\partial {}x^n}\right>_t=\det\left[\left<{}\frac{\partial {} }{\partial {}x^i},\frac{\partial {} }{\partial {}x^j}\right>_t\right]=\det[(g_t)_{ij}]=G_t.$$

于是我们有:

$$\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}\Omega_t=\left(\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}\sqrt{G_t}\right)\Omega_{\mathbb{R} }=\frac{1}{\sqrt{G_0} }\left<{}\widetilde{D}_W\left(\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial {} }{\partial {}x^n}\right),\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge \frac{\partial {} }{\partial {}x^n}\right>_0\Omega_{\mathbb{R} }.$$

记$\perp W=\nu,$ $\top W=\tau,$ 则:

$$\begin{aligned} \widetilde{D}_W\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{1} }\wedge\cdots\wedge\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{ {}n} }=&\sum_i\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge \widetilde{D}_W\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}\wedge \cdots\wedge \frac{\partial {} }{\partial {}x^n}.\\ =&\sum_i\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge \widetilde{D}_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^i} }W\wedge \cdots\wedge \frac{\partial {} }{\partial {}x^n}.\\ =&\sum_i\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge \widetilde{D}_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^i} }\tau\wedge \cdots\wedge \frac{\partial {} }{\partial {}x^n}\\ &+\sum_i\frac{\partial {} }{\partial {}x^1}\wedge\cdots\wedge \widetilde{D}_{\frac{\partial {} }{\partial {}x^i} }\nu\wedge \cdots\wedge \frac{\partial {} }{\partial {}x^n}.\\ =&\left(\operatorname{tr}(X\mapsto \widetilde{D}_X\tau)+\operatorname{tr}A_\nu\right)\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{1} }\wedge\cdots\wedge\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{ {}n} }\\ =&(\operatorname{div}\tau+\left<{}\eta,\nu\right>)\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{1} }\wedge\cdots\wedge\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{ {}n} }\\ =&(\operatorname{div}\top W+\left<{}\eta,W\right>)\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{1} }\wedge\cdots\wedge\frac{\partial {} }{\partial {}{}x^{ {}n} } \end{aligned}$$

从而,

$$\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}\Omega_t=(\operatorname{div}\top W+\left<{}\eta,W\right>)\sqrt{G_0}\,\Omega_{\mathbb{R} }=(\operatorname{div}\top W)\Omega_0+\left<{}\eta,W\right>\Omega_0.$$

设$M$是$\widetilde{M}$中的浸入超曲面, 则$M$的平均曲率正好是主曲率之和, 于是我们有如下推论:

推论 3. 超曲面是极小子流形的充要条件是它在每点处主曲率之和为零.

利用Gauss方程, 我们可以得到下面的结果.

推论 4. 非正截面曲率流形的极小子流形具非正Ricci曲率.

通过建立$M$上Laplace算子$\Delta$与$\widetilde{D}^2f$的关系, 我们还有如下的结论:

推论 5. 在非正截面曲率的单连通完备流形$\widetilde{M}$中不存在紧致的极小子流形.

事实上, 局部上取定坐标系后, 平均曲率$|\eta|=0$可由$f$来表示, 这将是一个拟线性的椭圆型方程组, 因此极小子流形的研究与偏微分方程关系重大. 特别地, 当$\widetilde{M}=\mathbb{R}^{n+k}$时, $M$为其中的极小图像当且仅当

$$\sum_{i,j} g^{ij}\frac{\partial^2 {}f^A}{\partial {}y^i\partial {}y^j}=0,\quad A=n+1,\cdots,n+k,$$

其中$g_{ij}=\delta_{ij}+\sum_A\frac{\partial {}f^A}{\partial {}y^i}\frac{\partial {}f^A}{\partial {}y^j}.$

体积第二变分

同上假设, 且我们仅讨论$V’(0)=0$基础上的情况, 因为这时第二变分才有意义. 由体积第一变分, 切向分量$\top W$不起作用, 因此不妨总假设$\{M_t\}$是法向正常变分, 即$W\perp f(M).$

设$M$是浸入在$\widetilde{M}$中的极小子流形, 若对每个具$C^\infty$边界$\partial D$的可定向紧致子域$D,$ 它的每个法向变分都具非负体积第二变分, 则称$M$是稳定的. 也即稳定的极小子流形对所有具紧支集的法向正常变分, 都具非负的体积第二变分.

对任意同上条件的$D,$ 若$\widetilde{M}$中任意与$D$边界相同的$C^\infty$子流形$\overline{D},$ 总有$V(\overline{D})\ge V(D),$ 则称该极小子流形是(整体)极小化的.

设$\mathscr{N}(M)$为$M$的法丛, 对每个$X\in \mathscr{T}(M),$ 定义映射

$$\nabla_X:\mathscr{N}(M)\rightarrow \mathscr{N}(M), \quad \nabla_X\nu=\perp\widetilde{D}_X\nu.$$

容易验证$\nabla$具有联络的所有性质, 称它是在$M$法丛$\mathscr{N}(M)$上的诱导联络. 类似地, 任意取定$M$中幺正标架场$\{E_i\},$ 我们定义$\nabla$的Laplace算子:

$$\overline{\Delta}\nu:=\operatorname{tr}\nabla^2\nu=\sum_{i=1}^n \nabla_{E_i}\nabla_{E_i}\nu-\nabla_{D_{E_i}E_i}\nu,\quad \,\forall\,\nu\in \mathscr{N}(M).$$

对任意标架场$\{E_i\},$ 我们再引入$\mathscr{N}(M)$上的Ricci张量$\overline{\operatorname{Ric} }:$

$$\overline{\operatorname{Ric} }:\mathscr{N}(M)\rightarrow\mathscr{N}(M),\quad \overline{\operatorname{Ric} }(\nu)=\sum_{i=1}^n\widetilde{R}_{E_i\nu}E_i.$$

对于第二基本形式$A_\nu:M_x\rightarrow M_x,$ 对任意$M_x$中标准正交基$\{e_i\},$ 定义算子范数:

$$|A_\nu|^2:=\sum_{i,j}\left<{}A_\nu(e_i),e_j\right>^2=\sum_{i,j}\left<{}S(e_i,e_j),\nu\right>^2.$$

令$S^t$表示$S:M_x\otimes M_x\rightarrow M_x^\perp$的转置, 即$S^t:M_x^\perp\rightarrow M_x\otimes M_x,$ 使得

$$\left<{}S^t(\mu),V\otimes W\right>=\left<{}\mu,S(V,W)\right>,\quad \,\forall\,\mu\in M_x^\perp, \: V,W\in M_x.$$

那么由线性代数知识($\Vert A\Vert^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\operatorname{tr}(AA^T)$),

$$|A_\nu|^2=\left<{}(S\circ S^t)(\nu),\nu\right>.$$

命题 6 (体积第二变分). 设$M$是极小地浸入$\widetilde{M}$中的一个具边界定向紧流形, $f:M\rightarrow\widetilde{M},$ 且$\{M_t\}$为$M$的法向正常变分, 变分向量场为$\nu\in \mathscr{N}(M),$ $V(t)=V(M_t).$ 那么,

$$V''(0)=\int_M\left<{}-\overline{\Delta}\nu-\overline{\operatorname{Ric} }(\nu)-(S\circ S^t)(\nu),\nu\right>dv$$

证: 首先由体积第一变分, 可以得到:

$$V'(t)=\int_M\left<{}\eta_t,\nu_t\right>\Omega_t,$$

其中局部上$\eta_t$是$f_t(M)\subset \widetilde{M}$的平均曲率法向量场, $\nu_t$是$f_t(M)$上的法向变分向量场. 进一步,

$$V''(0)=\int_M\left<{}\widetilde{D}_\nu\eta,\nu\right>\Omega+\left<{}\eta,\widetilde{D}_\nu\nu\right>\Omega+\left<{}\eta,\nu\right>\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}\Omega_t.$$

由于$\eta=0,$ 通过直接的计算, 可以得到:

$$V''(0)=\int_M\left<{}\widetilde{D}_\nu\eta,\nu\right>\Omega=\int_M\left(\left<{}-\overline{\Delta}\nu-\overline{\operatorname{Ric} }(\nu)-(S\circ S^t)(\nu),\nu\right>+f\right)\Omega,$$

其中$f$满足$\int_Mf\Omega=0.$ 这样就得到了结论. 具体计算的过程在此略过.

当$M$为$\widetilde{M}$中的极小超曲面, $\widetilde{M}$可定向时, 取单位法向量场$N\in\mathscr{N}(M),$ 那么$\nu=uN.$ 此时$\nabla_XN=0,$ 因此$\overline{\Delta} \nu=(\Delta u)N.$ 其次,

$$\left<{}\overline{\operatorname{Ric} }(\nu),\nu\right>=u^2\sum_{i=1}^n\left<{}\widetilde{\operatorname{Ric} }_{E_iN}E_i,N\right>=u^2\widetilde{\operatorname{Ric} }(N,N).$$

最后,

$$\left<{}(S\circ S^t)(\nu),\nu\right>=u^2|A_N|^2=u^2\sum_i p_i^2,$$

$\{p_i\}$为$M\subset \widetilde{M}$的主曲率. 记$A_N$为$A,$ 则此时第二变分公式为:

$$V''(0)=\int_M(-u\Delta u-u^2(\widetilde{\operatorname{Ric} }(N,N)+|A|^2))dv.$$

由该式, 我们可推得如下命题:

命题 7. 设$M,\widetilde{M}$可定向, $M$是极小地浸入在$\widetilde{M}$中的超曲面, 则$M$稳定的充要条件是:

$$\int_M u^2(\widetilde{\operatorname{Ric} }(N,N)+|A|^2)dv\le \int_M |du|^2 dv,\quad \,\forall\,u\in C_c^\infty(M,\mathbb{R}).$$

定理 8 (Schoen-Yau定理). 设$\widetilde{M}$为具正数量曲率的紧致定向$3$维流形, 则$\widetilde{M}$中不存在亏格为正的, 紧致的稳定极小的浸入$2$维定向子流形.

证: 反证法, 假设$M$是这样的子流形. 由于$M$本身紧致, 可令第二变分公式中$u\equiv 1,$ 则

$$\int_M(\widetilde{\operatorname{Ric} }(N,N)+|A|^2)dv\le 0.$$

此外, 可以证明:

$$\widetilde{\operatorname{Ric} }(N,N)+|A|^2=\frac{1}{2}\sigma-K+\frac{1}{2}|A|^2,\eqno{(\ast )}$$

其中$\sigma$是$\widetilde{M}$数量曲率在$M$上的限制, $K$是$M$上诱导度量的Gauss曲率. 积分得到:

$$0\ge \frac{1}{2}\int_M\sigma dv-\int_MKdv+\frac{1}{2}\int_M|A|^2dv.$$

由假设, $\int_M\sigma dv>0;$ 由Gauss-Bonnet定理,

$$\int_MKdv=2\pi \chi(M)=4\pi(1-g)\le 0.$$

最后结合$\int_M|A|^2dv\ge 0$即可推得矛盾.

于是我们只需证明$(\ast )$式. 取$M_x$的一组标准正交基$\{e_1,e_2\},$ 使得第二基本形式$A$是对角化的, 即

$$A(e_1)=\lambda e_1,\quad A(e_2)=\mu e_2.$$

由于$M$极小, $\operatorname{tr}A=0,$ $\lambda=-\mu.$ 因此$|A|^2=2\lambda^2.$ 令$N=e_3,$ 则$\{e_1,e_2,e_3\}$构成$\widetilde{M}_x$的一组标准正交基. 记$\widetilde{K}(\operatorname{span}\{e_i,e_j\})=\widetilde{K}_{ij},$ 则

$$\sigma=\sum_{i,j}\widetilde{K}_{ij}=2(\widetilde{\operatorname{Ric} }(N,N)+\widetilde{K}_{12}).$$

由Gauss公式, $\widetilde{K}_{12}=K-\det(A)=K+\lambda^2,$ 因此$(\ast )$式即可得证:

$$\widetilde{\operatorname{Ric} }(N,N)+|A|^2=\left(\frac{1}{2}\sigma-\widetilde{K}_{12}\right)+2\lambda^2=\frac{1}{2}\sigma-K+\lambda^2=\frac{1}{2}\sigma-K+\frac{1}{2}|A|^2.$$

该定理是如下结论的关键, 与正质量定理密切相关:

定理 9. 若$\mathbb{R}^3$中的黎曼度量在紧集$K$外部是平坦的, 且处处具非负数量曲率, 则它必是平坦的.

最后, 我们来看欧氏空间中极小超曲面的结果.

引理 10. 设$M$是$\mathbb{R}^{n+1}$中极小超曲面. 若$D$是$M$中充分小的区域, 具$C^\infty$边界$\partial D,$ 则对$\mathbb{R}^{n+1}$中每一个使得$\partial D’=\partial D$的超曲面$D’,$ 有$V(D’)\ge V(D).$

由于局部上, 每个超曲面都是某函数$f:\mathscr{U}\rightarrow \mathbb{R}(\mathscr{U}\subset \mathbb{R}^n)$的图像, 因此该引理为如下引理的直接推论:

引理 11. 设$\mathscr{U}$为$\mathbb{R}^n$中的区域, 具$C^\infty$边界$\partial \mathscr{U}.$ 有$C^\infty$函数$f:\overline{UUU}\rightarrow\mathbb{R},$ 使得$f$在$\overline{\mathscr{U} }\times\mathbb{R}$中的图像$M$是$\mathbb{R}^{n+1}$中的一个(具边界的)极小超曲面. 若$N$是$\overline{\mathscr{U} }\times \mathbb{R}$中的超曲面, 使得$\partial N=\partial M,$ 则$V(N)\ge V(M),$ 且取等当且仅当$N=M.$

证: 令$\nu=\frac{1}{W}\left(\frac{\partial {}f}{\partial {}x^1},\cdots,\frac{\partial {}f}{\partial {}x^n},-1\right)$为$M$在$(x,f(x))$处的单位外法向量, $W=\sqrt{1+|df|^2}.$ 令$\omega$为$\overline{\mathscr{U} }\times\mathbb{R}$中的$n$次微分形式:

$$\omega:=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\nu_idx^1\wedge\cdots\wedge \widehat{dx^i}\wedge \cdots\wedge dx^{n+1}.$$

我们来说明$d\omega=0.$ 首先, $d\omega=\sum_i\frac{\partial {}\nu_i}{\partial {}x^i}{}dx^{1}\wedge\cdots\wedge{}dx^{ {}n+1},$ 其次向量场$X_i=\frac{\partial {} }{\partial {}x^i}+\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}\frac{\partial {} }{\partial {}x^{n+1} }$构成了$M_y$的一组基, 同时, 计算可得

$$A_\nu(X_i)=\frac{\partial {}\nu}{\partial {}x^i}+\frac{\partial {}f}{\partial {}x^i}\frac{\partial {}\nu}{\partial {}x^{n+1} }=\frac{\partial {}\nu}{\partial {}x^i}=\sum_j\frac{\partial {}\nu_j}{\partial {}x^i}X_j.$$

由于$M$是极小的, $\operatorname{tr}A_\nu=\sum_i \frac{\partial {}\nu_i}{\partial {}x^i}=0,$ 从而$d\omega=0.$

设$\Sigma$为由$M,N$围成的区域, $\partial \Sigma=M-N.$ 因此由Stokes公式,

$$\int_M\omega-\int_N\omega=\int_{\Sigma}\omega=\int_\Sigma d\omega=0,$$

从而$\int_M \omega=\int_N\omega.$

由于单位外法向量$\nu$的对偶微分形式为$\widetilde{\nu}=\nu_idx^i,$ 有$\widetilde{\nu}\wedge \omega=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n+1}.$ 因此$\omega|_M$就是$M$的体积元. 另一方面, 记$\Omega$为$N$的体积元, 那么

$$V(M)=\int_N\omega=\int_N\left<{}\omega,\Omega\right>\Omega\le \int_N |\omega||\Omega| \Omega=\int_N \Omega=V(N).$$

当$M\neq N$时, 取$p\in M,$ $q\in N$投影到$\mathscr{U}$中相同的点, 但$M_{p},N_q$并不平行. 此时在$q$点处$\left<{}\omega,\Omega\right><1$严格成立, 进而不等式在$N$上的小邻域也成立. 从而$V(M)<V(N),$ 命题得证.

推论 12. 如果$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$的图像是$\mathbb{R}^{n+1}$中的极小超曲面, 那么它是极小化的, 进而是稳定的.

文章最后更新于 2022-04-30 14:19:16