《代数拓扑2》笔记(1)-谱序列

概述

参考书目:

1. Hutchings, Introduction to spectral sequences;

2. Hatcher, AT Chapter 5;

3. Ramos, Spectral sequences via examples.

动机

给定纤维丛

$$F\rightarrow E\rightarrow B,$$

我们希望能够利用谱序列计算$H_\ast (E),$ 利用$H_\ast (F)$与$H_\ast (B)$的信息. 回忆对于CW复形对$(X,A)$, 有

$$A\rightarrow X\rightarrow X/A,$$

它也称为余纤维(cofibration)(商纤维, 商丛?). 其上我们有zig-zag引理得到长正合列来计算同调群, 但对于基本群, 没有太多明显的工具.

而对于纤维丛, 我们可以通过长正合列来计算基本群, 而同调群的计算则仰仗于谱序列.

谱序列

对于链复形$(C_\ast ,\partial),$ 取$F_0C_\ast \subset C_\ast $为子复形, 我们有短正合列:

$$0\rightarrow F_0C_\ast \rightarrow C_\ast \rightarrow C_\ast /F_0C^\ast \rightarrow 0.$$

这诱导了长正合列

$$\cdots\rightarrow H_i(F_0C^\ast )\rightarrow H_i(C_\ast )\rightarrow H_i(C_\ast /F_{0}C^\ast )\xrightarrow{\delta_i}H_{i-1}(F_0C_\ast )\rightarrow\cdots.$$

回忆$\delta$的定义为$\alpha\mapsto [\partial x],$ $[x]=\alpha.$

假设我们希望从$H_\ast (F_0C_\ast ),H_\ast (C_\ast /F_0C_\ast )$计算$H_\ast (C_\ast ),$ 我们将长正合列拆为短正合列,

$$0\rightarrow \operatorname{coker}(\delta_{i+1})\rightarrow H_i(C_\ast )\rightarrow \ker(\delta_i)\rightarrow 0.$$

总结一下, 我们为了计算$H_i(C_\ast ),$ 我们需要:

1. 计算$H_i(F_0C_\ast ),H_i(C_\ast /F_0C_\ast );$

2. 考虑仅有两项的复形$H_{i}(C_\ast /F_0C_\ast )\xrightarrow{\delta_i}H_{i-1}(F_0C_\ast ),$ 它的同调是:

$$G_0H_\ast =\operatorname{coker}\delta,\quad G_1H_\ast =\ker\delta.$$

1. 我们得到了短正合列:

$$0\rightarrow G_0H_\ast \rightarrow H_\ast (C_\ast )\rightarrow G_1H_\ast \rightarrow 0.$$

注意短正合列不一定可分裂, 因此用代数术语来描述, 我们说$H_\ast (C_\ast )$是 延展地(\”up to extensions\”) 决定的.

滤列

一个滤列$R$模是一个$R$模$A,$ 有一列递增子模

$$\cdots \subset F_p A\subset F_{p+1}A\subset \cdots,\quad p\in \mathbb{Z},$$

使得$\bigcup_p F_pA=A,$ $\bigcap_pF_pA=0.$ 这被称为滤列.

称滤列是有界的, 若非平凡滤子有限, 即

$$\cdots =0=F_p A\subset \cdots \subset F_{q} A=A=\cdots.$$

那么定义它的联系分级模为

$$G_pA:=F_pA/F_{p-1}A.$$

我们认为$\{F_p A\},$ $\{G_pA\}$归纳地延展地决定$A.$

$$0\rightarrow F_{p-1}A\rightarrow F_pA\rightarrow G_pA\rightarrow 0.$$

注意延展是平凡的, 若$R$是一个域.

一个滤列链复形是一个链复形$(C_\ast ,\partial),$ 以及关于$C_i$的滤列$\{F_pC_i\},$ 使得$\partial(F_pC_i)\subset F_pC_{i-1}.$ 可以验证, $\,\forall\,p,$ $(G_pC_\ast ,\partial)$是一个链复形, 可以考虑其上的同调$H_i(G_pC_\ast )$.

一个$C_\ast $上的滤列诱导了$H_\ast (C_\ast )$上的滤列:

$$F_pH_i(C_\ast ):=\{\alpha\in H_i(C_\ast )|\,\exists\,x\in F_pC_\ast , [x]=\alpha\}.$$

接下来我们有$G_pH_i(C_\ast ).$ 一个自然的问题是它与$H_i(G_pC_\ast )$有什么联系?

回忆前面有

$$0\subset F_0C_\ast \subset F_1C_\ast =C_\ast ,$$

则$G_pH_\ast (C_\ast )$是$H_\ast (G_1C_\ast )\xrightarrow{\delta} H_{\ast -1}(G_0C_\ast )$的同调. 此时$H_i(G_pC_\ast )$基本决定了$G_pH_i(C_\ast ).$

当滤列有更多非平凡项时, 为了考虑它们之间的关系, 我们希望能考虑一些连续的逼近$E^1,E^2,\cdots$收敛到想要的结果, 类似于Taylor展开. 这就称为谱序列.

假设$(F_pC_\ast ,\partial)$是一个滤列复形, 定义:

$$E^0_{p,q}:=G_pC_{p+q}=F_pC_{p+q}/F_{p-1}C_{p+q},$$

那么$E$是双分级的, $p$称为滤度(filtration degree), $p+q$是同调度(homology degree), $q$称为补度(complementary degree). 那么$(E_0,\partial_0)$是一个链复形, $\partial_0:E_{p,q}^0\rightarrow E^0_{p,q-1}.$

定义$E^1_{p,q}:=H_{p+q}(G_pC_\ast ),$ 它是$H_\ast (C_\ast )$的一阶逼近. 如下定义$\partial_1:E^1_{p,q}\rightarrow E^1_{p-1,q}:$ $\,\forall\,\alpha\in E^1_{p,q}=H_{p+q}(G_pC_\ast ),$ 取$x\in F_pC_{p+q},$ $[x]=\alpha,$ $\partial x\in F_{p-1}C_{p+q-1}.$ 记$\partial_1\alpha=[\partial x].$

文章最后更新于 2022-09-15 10:54:54