《几何分析》笔记(1)-测地球

引子

几何分析是一门利用分析方法讨论几何问题的学科. 比如我们会在流形上讨论类似如下的分析问题: 对于$\varphi\in C^\infty(M,g),$ 考虑

$$\left\{ \begin{aligned} &-\Delta_gu=0\\ &u|_{\partial B_R(p)}=\varphi \end{aligned} \right.$$

解是否存在唯一. 答案一般是否定的, 这样的分析问题也会反映了流形$M$上的几何性质. 类似的问题还有, 对光滑向量场$X,$ 如下公式是否会有好的形式?

$$\int_{B_R(p)}\operatorname{div}X$$

测地球

对于完备(以后默认完备)的黎曼流形$(M,g),$ $p\in M,$ 我们有指数映射$\exp_p:T_pM\rightarrow M$为光滑映射, $\exp_ptv$随$t$变动为测地线. 我们给出如下的记号:

$$\widehat{C}_p=\{v\in T_pM|d\exp_p \text{沿$tv|_{t\in[0,1]}$非退化}\},\quad C_p=\exp_p\widehat{C}_p;$$ $$\widehat{S}_p=\{v\in T_pM|\,\exists\,\varepsilon, \exp_ptv|_{[0,1+\varepsilon]} \text{为线段(最短测地线)}\},\quad S_p=\exp_p\widehat{S}_p.$$

称$S_p$为线段域(segment domain), $d\exp_p$退化的地方称为共轭点. $\exp_p:\widehat{S}_p\approx S_p$为微分同胚. (是否要去掉零测集?)

一些事实是:

(i) $\widehat{S}_p\subset \widehat{C}_p$;

(ii) $\widehat{S}_p$为星形区域;

(iii) $\operatorname{Cut}_p:=M\setminus S_p$称为割迹, 有$\operatorname{Vol}(\operatorname{Cut}_p)=0.$

给出一个新定义:

$$\operatorname{Inj}(p):=\inf \{r|B_r^n(0)\subset \widehat{S}_p\},$$

称为$p$点的单射半径, 其中$B_r^n(0)\subset T_pM\cong \mathbb{R}^n.$ $r<\operatorname{Inj}(p)$时$B_r^g(p)\approx B_r^n(0)$为微分同胚, 而$r\ge \operatorname{Inj}(p)$时一定不是.

考虑将一条法棍长度不等分的弯成两半, 以凸出的弯折点为$p,$ 那么有半径$r$使得$\partial B_r^g(p)$为一个圆环$S^1$和一个顶点$q$. 那么假设开始的问题有一个解$u\in C^2(B_r^g(p)),$ 那么它是有界调和函数, 从而$q$为可去奇点, 且$u$是光滑的. 记$\Omega:=B_r^g(p)\cup \{q\},$ 则$\partial \Omega=S^1,$ $u\in C^\infty(\Omega).$ 从而若$\varphi|_{S^1}\equiv 1,$ 则$\Omega$上有$u\equiv 1.$ 因此倘若一开始边界条件有$\varphi(q)=0,$ 则该问题无解.

割迹

我们可以将测地球的边界分为两部分:

$$(\partial B_r^g(p)\cap S_p)\cup (\partial B_r^g(p)\cap \operatorname{Cut}_p).$$

由于$\widehat{S}_p$上$\exp_p$为微分同胚, 前半部分是一个$n-1$维子流形, 坏的部分主要集中在割迹上. 由于割迹是零测的, 坏的部分并不是太多.

事实上, 对于割迹, 我们有进一步的分解:

$$\operatorname{Cut}_p=\{\exp_p v|r(d\exp_{p,v})\le n-1\}\cup \{x| \text{存在两条以上线段连接$p,x$}\}$$

将前半部分记为$Q_p,$ 后面的部分中恰存在两条的记为$N_p,$ 其余记为$L_p.$ 那么我们有如下的定理:

定理 1. $N_p$为光滑$n-1$维子流形, 且$\dim(L_p\cup Q_p)\le n-2.$

注意上述定理仅对光滑流形成立.

文章最后更新于 2022-09-15 21:20:34