《代数拓扑2》笔记(2)-谱序列的收敛

回顾

对于$R$模$A,$ 具有滤列$\{F_pA\},$ 我们有分级模$G_pA=F_pA/F_{p-1}A.$ 我们认为$\{F_pA\},\{G_pA\}$延展地决定了$A.$ 若滤列是有界的, 那么仅有$\{G_pA\}$便可延展地恢复出$\{F_pA\},$ 进而决定$A.$

假设有$(C_\ast ,\partial)$是一个滤列链复形, 我们定义了

$$E^0_{p,q}:=G_pC_{p+q}=F_pC_{p+q}/F_{p-1}C_{p+q},$$

其上有由$\partial$自然诱导的$\partial_0,$ $(E^0,\partial_0)$是一个链复形. 可以理解为$E^0=\oplus_{p,q}E_{p,q}^0,$ 来将双分级降低为单分级.

接下来$E_{p+q}^1:=H_{p+q}(E^0_{p,q}),$ $(E^1,\partial_1)$是链复形. $\partial_1$由$\partial_0$经过图追踪得到.

谱序列

递归地, 我们定义$E^r_{p,q}:=H_{p+q}(E^r_{p,q}),$ $\partial_r$由$\partial_{r-1}$图追踪得到,

$$\partial_r:E^r_{p,q}\rightarrow E^{r}_{p-r,q+r-1},\quad E^r_{p,q}:=\frac{\{x\in F_pC_{p+q}|\partial x\in F_{p-r}C_{p+q-1}\} }{F_{p-1}C_{p+q}+\partial (F_{p+r-1}C_{p+q+1})}.$$

称$r$为谱序列的页数, 称$E^r$为$H_\ast (C_\ast )$的$r$阶逼近. 由这样的递归定义可以得到:

引理 1. 令$(F_pC_\ast ,\partial)$为滤列复形, 有谱序列$E^r_{p,q}.$ 那么, $\partial_r$是良定的, 且$\partial_r^2=0.$ $E^{r+1}$是$(E^r,\partial_r)$的同调, $E^1_{p,q}=H_{p+q}(G_pC_\ast ).$ 若$C_i$上的滤列对每个$i$是有界的, 则$\,\forall\,p,q,$ 当$r$充分大时, $E^r_{p,q}=G_pH_{p+q}(C_\ast ).$

定义 2. 一个谱序列由如下要素组成: $R$模$E^r_{p,q},$ 微分$\partial_r:E_{p,q}^r\rightarrow E^r_{p-r,q+r-1},$ 使得$E^{r+1}$为$E^r$的同调.

定义 3. 称谱序列是收敛的, 若$\,\forall\,p,q,$ 当$r$充分大时, $\partial_r=0,$ 从而,

$$E^\infty_{p,q}:=E^r_{p,q}=E^{r+1}_{p,q}=\cdots$$

由引理, 我们有命题:

命题 4. 若$(F_pC_\ast ,\partial)$是一个滤列复形, 那么存在谱序列$(E^r_{p,q},\partial_r),$ 使得$E^1_{p,q}=H_{p+q}(G_pC_\ast ).$ 若滤列在$C_i$上是有界的, 那么谱序列收敛,

$$E^\infty_{p,q}=G_pH_{p+q}(C_\ast ).$$

例子

对于CW复形$X,$ 定义$F_pC_\ast (X)=C_\ast (X^p),$ 为$C_\ast (X)$上的滤列.

命题 5. 由CW复形产生的谱序列, $E^r$在第二页后不变, 有:

$$E^0_{p,q}=C_\ast (X^p,X^{p-1}),$$ $$E^1_{p,q}=H_{p+q}(X^p,X^{p-1})= \left\{ \begin{aligned} &C_p^{\operatorname{cell} }(X), && q=0\\ &0 &&q\neq 0 \end{aligned}\right.$$ $$E^\infty_{p,q}=E^2_{p,q}= \left\{ \begin{aligned} &H_p(X), &&q=0\\ &0, &&q\neq 0 \end{aligned}\right.$$

假设$X$是有限维的, 那么滤列有界, 因此命题说明了$E^\infty_{p,q}=G_pH_{p+q}(C_\ast (X))=E^2_{p,q}.$

记$p+q=i,$ 则

$$G_pH_i(X)=\left\{ \begin{aligned} &H_i^{\operatorname{cell} }(X), &&p=i\\ &0, &&p\neq i \end{aligned}\right.$$ $$H_i(X)=G_iH_i(X)=H_i^{\operatorname{cell} }(X).$$

这就说明了奇异同调与胞腔复形同调的同构关系.

文章最后更新于 2022-09-20 17:39:06