《几何分析》笔记(3)-割迹

The dimension of a cut locus on a smooth Riemannian manifold - Jin-Ichi Itoh and Minoru Tanaka.

准备工作

我们来对第一次课中给出的定理进行证明. 首先给出推广的Sard定理:

定理 1 (Morse-Sard-Federer). 令$f:B_1^n(0)\rightarrow \mathbb{R}^m$为$C^1$映射, $E=\{x\in B_1^n(0)|r(df_x)\le k\}.$ 那么$\dim f(E)\le k.$

回忆对$M$为完备黎曼流形, $p\in M,$ 那么

$$\operatorname{Cut}_p=Q_p\cup N_p\cup L_p, \quad Q_{p}:=\{x\in \operatorname{Cut}_p|\,x,p\text{共轭}\},$$

还有$N_p$为其中恰有两条线段连接的部分, $L_p$为其中有三条以上线段连接的部分.

给出下面几个定义:

$$\lambda(v)=\inf \{t>0|r(d\exp_{p,tv})\le n-1\}\in (0,+\infty],$$ $$U_pM=\{v\in T_pM\,|\,|v|=1,\lambda(v)<+\infty\},$$ $$\phi(v):=\exp_p\lambda(v)v: U_pM\rightarrow M.$$

我们给出如下的事实: 对$v\in U_pM,$ 若$\nu(v):=n-r(d\exp_{p,\lambda(v)v})=1,$ 由Morse指标定理, 有$v$处邻域使得$\nu(v)\equiv 1.$ 由Jacobi场性质与隐函数定理, $\lambda,\phi$在$v$附近是光滑的, 且$\,\exists\,\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow U_pM,$ 使得

$$\gamma(0)=v,\quad \gamma'(t)\in \ker(d\exp_{p,\lambda(\gamma(t))\gamma(t)}).$$

引理 2. 在前述事实基础上, 若$\phi(v)\in \operatorname{Cut}_p,$ 则$\left.\frac{d {} }{d {}t}\phi(\gamma(t))\right|_{t=0}=0.$

记$\widehat{\gamma}=\phi(\gamma(t)),$ 首先由定义,

$$\frac{d {} }{d {}t}\widehat{\gamma}(t)=(\exp_{p,\lambda(v)v})_\ast \left(\frac{d {}\lambda(\gamma(t))}{d {}t}\gamma(t)+\lambda(\gamma(t))\frac{d {}\gamma(t)}{d {}t}\right)=\frac{d {}\lambda(\gamma(t))}{d {}t}(\exp_{p,\lambda(v)v})_\ast \gamma(t).$$

两边套模长积分, 假设$\left.\frac{d {}\lambda(\gamma(t))}{d {}t}\right|_{t=0}<0,$ 那么存在小区间$[0,a],$ 使得

$$l(\widehat{\gamma})+\lambda(\gamma(a))=\lambda(\gamma(0)).$$

注意到$\lambda(\gamma(a))\ge d(p,\phi(\gamma(a))),$ 而由于$\phi(v)\in \operatorname{Cut}_p,$ $\lambda(\gamma(0))=d(p,\phi(v)).$ 因此,

$$d(p,\phi(v))\le l(\widehat{\gamma})+d(p,\phi(\gamma(a)))\le d(p,\phi(v)).$$

因此式子只能取等, 这说明$\phi(\gamma(a))$落在连接$p,\phi(v)$的最短测地线上, 这与$\lambda(\gamma(a))$的定义矛盾, 因此$\left.\frac{d {}\lambda(\gamma(t))}{d {}t}\right|_{t=0}=0,$ 从而$\left.\frac{d {} }{d {}t}\phi(\gamma(t))\right|_{t=0}=0.$

证明

引理 3. $\dim Q_p\le n-2.$

我们将$Q_p$中的点分解为两部分来处理.

$$\begin{aligned} Q_p&=\{\exp_pv\in Q_p|r(d\exp_{p,v})\le n-1\}\\ &=\{\exp_pv\in Q_p|r(d\exp_{p,v})=n-1\}\cup \{\exp_pv\in Q_p|r(d\exp_{p,v})=n-2\} \end{aligned}$$

这两部分维数都是小于等于$n-2$的. 后一部分直接由推广的Sard定理得到, 前一部分间接由其得到: 它是$\{v\in U_pM|\phi(v)\in \operatorname{Cut}_p,\nu(v)=1\}$在$\phi$下的像, 且$r(d\phi)\le n-2.$

引理 4. $N_p$为$n-1$维嵌入子流形.

取$x\in N_p,$ 有两条从$p$引出的测地线, 记在$T_pM$上终点分别是$x_1,x_2.$ 取它们的邻域$U_1,U_2,$ 使得$\exp_p|_{U_i}$为微分同胚且像一致.

令$\phi=\exp_p|_{U_2}^{-1}\circ \exp_p|_{U_1}:U_1\approx U_2.$ 考虑$f(v)=|v|-|\phi(v)|\in C^\infty(U_1).$ 不妨设$f$非退化, 那么存在$(n-1)$维嵌入子流形$\Sigma_1,$ 其上有$|v|=|\phi(v)|.$ 令$\Sigma_2=\phi(\Sigma_1),$ $\Sigma=\exp_p\Sigma_1=\exp_p\Sigma_2.$ 分析可以得到$\Sigma=N_p\cap \exp_{p}|_{U_1},$ 从而$N_p$是$n-1$维嵌入子流形.

类似地, 可以证明:

引理 5. $\dim L_p\le n-2$

所以我们可以看出, $\partial B_R^g(p)\cap N_p$中坏的部分主要集中$N_p$上.

$$\partial B_R^g(p)=(\partial B_R^g(p)\cap S_p)\cup (\partial B_R^g(p)\cap N_p)\cup (\partial B_R^g(p)\cap (L_p\cup Q_p)).$$

在$\widehat{C}_p\subset T_pM$上, 取法坐标系$\widehat{g}=\exp_p^\ast (g),$ $(\widehat{C}_p,\widehat{g})\cong (C_p,g).$ $r(v)=|v|$是光滑函数. 考虑$\widehat{N}_p=\exp_p^{-1}(N_p)$为$\widehat{C}_p$的$n-1$维子流形, 那么一个事实是:

命题 6. $\widehat{N}_p$有可数个连通分支, 是星型的.

由Sard定理, $\,\exists\,A\subset \mathbb{R}_+,$ $L^1(A)=0,$ $R\notin A$是$\widehat{N}_p$上$r(v)$的正则值. $\,\forall\,a.e. R,$

$$\partial B_R^g(p)=(\partial B_R^g(p)\cap S_p)\cup \{\text{零测集}\}$$

对不是正则值的$R,$ $\partial B_R^g(p)\cap N_p$是一个$n-1$维varifold, 为$\exp_p(\partial B_R^n(0)\cap \widehat{N}_p).$ $\widehat{N}_p$与$\partial B_R^n(0)$在坏点交集处的切空间是一致的, 有后面将会讨论的体积公式:

$$\mathcal{H}^{n-1}(\partial B_R^g(p)\cap N_p)=\int \Theta d\mathcal{H}^{n-1}$$

文章最后更新于 2022-09-22 22:35:04