《几何分析》笔记(4)-割迹应用

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对于$\operatorname{Cut}_p=N_p\cup Q_p\cup L_p,$ $(Q_p\cup L_p)$维数小于等于$n-2,$且它是闭的. 设$x_k\rightarrow x,$ 若$x\notin Q_p,$ 那么$x$处有微分同胚, 从而周围的$x_k$只能在$L_p$中, 这将导致三条线段的(子列)收敛, $x\in L_p.$

记$\partial^\ast B_r^g(p):=\partial B_r^g(p)\cap S_p,$ 是$\partial B_r^g(p)$中好的部分, $\partial B_r^g(p)\cap N_p$是主要的坏的部分. 对几乎处处的$r,$ 它是$n-2$维子流形; 对所有的$r,$ 它是一个$n-1$维varifold.

积分公式

对$\exp_p:\widehat{S}_p\rightarrow S_p,$ 取法坐标系

$$\widehat{g}=\exp_p^\ast (g)=dr\otimes dr+\phi_{ij}(r,\theta)d\theta^i\otimes d\theta^j,$$ $$dV_{\widehat{g} }=\theta(r,\theta)dr\wedge dS^{n-1}.$$

事实上$\Theta$就是$\phi_{ij}$的行列式.

$$\mathcal{H}^{n-1}(\partial^\ast B_r^g(p))=\int_{(\partial B_r^n(0)\cap \widehat{S}_p)/r}\Theta(r,\theta)dS^{n-1},$$ $$\mathcal{H}^{n-1}(\partial B_r^g(p)\cap N_p)=\frac{1}{2}\int_{(\partial B_r^n(0)\cap \widehat{N}_p)/r}\Theta(r,\theta)dS^{n-1}.$$

对几乎处处的$r,$ $\partial B_r^g(p)$只有第一个式子, 而对坏的$r,$ 测度要加上第二行的式子.

应用

对$\dim M=2,$ 记$\operatorname{Cut}_p=N_p\cup R_p,$ $R_p:=L_p\cup Q_p$维数为零.

$$E:=\{r\in (0,+\infty)|\partial B_r^g(p)\cap R_p\}\neq \varnothing.$$

命题 1. $\dim E=0.$

由于$\dim R_p=0,$ 固定$\tau>0,$ $\widehat{B}_\infty^\tau(R_p)=0.$ 从而$\,\exists\,x_i,r_i,$ 使得$x_i\in R_p,$ $R_p\subset \cup \overline{B}_{r_i}(x_i),$ $\sum_{i=1}^\infty r_i^\tau<\varepsilon.$

$\,\forall\,r\in E,$ $\,\exists\,x\in R_p\cap \partial B_r^g(p),$ $\,\exists\,i,$ 使得$x\in \overline{B}_{r_i}(x_i).$ 记$a_i:=d(p,x_i),$

$$|r-a_i|=|d(p,x)-a_i|\le d(x,x_i)\le r_i.$$

从而$r\in \cup [a_i-r_i,a_i+r_i]\supset E.$

$$\widehat{B}^\tau_{\infty}(E)\le \sum \omega(\tau)r_i^\tau\le C\varepsilon.$$

令$\varepsilon\rightarrow 0$即得$\widehat{B}^\tau_{\infty}(E)=0.$ 由$\tau$任意性即有结论.

称$r\in \mathbb{R}_+$是正则的, 若$r\notin E,$ $\partial B_r^g(p)$与$N_p$横截相交. 此时$\partial B_r^g(p)$是分段光滑的. 正则的$r$是几乎处处的, 因此这样的性质也是.

文章最后更新于 2022-09-22 23:12:19