整体秩定理

定理 1. 光滑映射$F:M^m\rightarrow N^n$秩为常数, 若$F$单则$F$为浸入; 若$F$满则$F$为淹没. 若$F$为双射则$F$为微分同胚.

记$r(F)=r.$ 若$F$满, 但$r<n,$ 则由秩定理有坐标系使得$F(\overline U)\subset V$为紧切片. 它在$N$中是闭的, 内部为空, 是疏朗集. 由于$M$上可以找到可列个这样的局部坐标系, 那么由于$F$是满射. 可列个疏朗集将并出$N.$ 由Baire纲定理, 这是不可能的.

若$r<m,$ 那么由秩定理$F$局部为投影, 显然不是单射. $F$为双射的情形是上面的自然推论.

参考: Introduction to Smooth Manifolds by John M.Lee

文章最后更新于 2022-09-27 23:31:00