《微分流形》笔记-李导数
DreamAR

Introduction to smooth manifolds by John M. Lee

定义

取关于$V$的流$\theta,$ 对$M$上的切向量场$X,$ 定义其关于$V$的李导数为:

对$M$上的光滑共变张量场$A,$ 定义其关于$V$的李导数为:

注意这和协变导数的差别是: 协变导数是平移地拉回求导, 而李导数是直接拉回. 李导数可定义在一般的张量场上, 得到的也是同样类型的张量场.

性质

定理 1. $L_VW=[V,W].$

需要特别注意的一点是是$L_VW$依赖于$V(p)$附近的取值, 而$D_VW$不是. 这是因为李导数在$V$位置不是$C^\infty$线性的.

关于李导数直接的性质有它关于张量积, 缩并满足Leibniz法则. 一些常用的好的性质是它在微分形式上的作用:

定理 2 (Cartan’s Magic Formula). $L_V\omega=i_V(d\omega)+d(i_V\omega)$

归纳法. 零维显然. 记$\omega=fdx^1\wedge\cdots\wedge dx^n,$ $\eta=fdx^2\wedge\cdots\wedge dx^n,$ 故$\omega=dx^1\wedge \eta.$

由于$d$和内乘都是反导子, 我们有:

由此即得到结论.

文章最后更新于 2022-10-07 13:21:51

  • 本文标题:《微分流形》笔记-李导数
  • 本文作者:DreamAR
  • 创建时间:2022-10-05 00:06:41
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