《微分流形》笔记-李导数

Introduction to smooth manifolds by John M. Lee

定义

取关于$V$的流$\theta,$ 对$M$上的切向量场$X,$ 定义其关于$V$的李导数为:

$$(L_VX)_p=\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}d(\theta_{-t})_{\theta_t(p)}X_{\theta_t(p)}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{d(\theta_{-t})_{\theta_t(p)}X_{\theta_t(p)}-X_p}{t}.$$

对$M$上的光滑共变张量场$A,$ 定义其关于$V$的李导数为:

$$(L_VA)_p=\left.\frac{d {} }{d {}t}\right|_{t=0}(\theta_t^\ast A)_p=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{(\theta_t)^\ast _p(A_{\theta_t(p)})-A_p}{t}.$$

注意这和协变导数的差别是: 协变导数是平移地拉回求导, 而李导数是直接拉回. 李导数可定义在一般的张量场上, 得到的也是同样类型的张量场.

性质

定理 1. $L_VW=[V,W].$

需要特别注意的一点是是$L_VW$依赖于$V(p)$附近的取值, 而$D_VW$不是. 这是因为李导数在$V$位置不是$C^\infty$线性的.

关于李导数直接的性质有它关于张量积, 缩并满足Leibniz法则. 一些常用的好的性质是它在微分形式上的作用:

$$L_V(df)=d(L_Vf)=d(Vf),\quad L_V(d\omega)=d(L_V\omega).$$ $$L_V(\omega\wedge\eta)=L_V\omega\wedge\eta+\omega\wedge L_V\eta.$$

定理 2 (Cartan’s Magic Formula). $L_V\omega=i_V(d\omega)+d(i_V\omega)$

归纳法. 零维显然. 记$\omega=fdx^1\wedge\cdots\wedge dx^n,$ $\eta=fdx^2\wedge\cdots\wedge dx^n,$ 故$\omega=dx^1\wedge \eta.$

$$\begin{aligned} L_V\omega&=L_Vdx^1\wedge \eta+dx^1\wedge L_V\eta\\ &=d(Vx^1)\wedge \eta+dx^1\wedge( i_V(d\eta)+d(i_V\eta)) \end{aligned}$$

由于$d$和内乘都是反导子, 我们有:

$$i_V(d\omega)=-i_Vdx^1\wedge d\eta=-Vx^1\wedge d\eta +dx^1\wedge i_V(d\eta)$$ $$d(i_V\omega)=d(Vx^1\wedge\eta-dx^1\wedge i_V\eta)=d(Vx^1)\wedge \eta +Vx^1 \wedge d\eta+dx^1\wedge d(i_V\eta)$$

由此即得到结论.

文章最后更新于 2022-10-07 13:21:51