《代数拓扑2》笔记(9)-Stiefel-Whitney示性类(续)

回顾

对于向量丛$\xi:$ $\mathbb{R}^n\rightarrow E\rightarrow B,$ $\omega_i(\xi)\in H^i(B;\mathbb{Z}_2),$ $\omega(\xi):=\sum_i \omega_i(\xi).$

我们有例子$\omega(\tau_{S^n})=1,$ $\omega(\gamma_n^1)=1+a,$ $\omega(\gamma^\perp)=\overline\omega(\gamma_n^1)=(1+a)^{-1}=1+a+\cdots+a^n.$

对于$\omega(\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n}),$ 我们有引理:

引理 1. $\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n}=\operatorname{Hom}(\gamma_n^1,\gamma^\perp)$

命题 2. $\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n}\oplus\varepsilon^1\cong \gamma_n^1\oplus\cdots\oplus \gamma_n^1$ $(n+1)$个.

$$\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n}\oplus\varepsilon^1=\operatorname{Hom}(\gamma_n^1,\gamma^\perp)\oplus \operatorname{Hom}(\gamma_n^1,\gamma_n^1)=\operatorname{Hom}(\gamma_n^1,\gamma^\perp\oplus \gamma_n^1=\varepsilon^{n+1})=\operatorname{Hom}(\gamma_n^1,\varepsilon^1)^{n+1}=(\gamma_n^1)^{n+1}$$

这样我们得到, $\omega(\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n})=\omega(\gamma_n^1)^{n+1}=(1+a)^{n+1}.$ 但注意$a^{n+1}=0.$

推论 3 (Stiefel). $\omega(\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n})=1$ 当且仅当 $(n+1)=2^k.$

可除代数

定理 4 (Stiefel). 假设$\mathbb{R}^n$有一个双线性乘法$p:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n,$ 没有零因子, 那么$n$为$2$的幂次.

只需证明若$p$存在, 那么$\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} }$是平凡的. $\,\forall\,z\neq 0,$ $y\mapsto p(y,z)$给出了$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^n$的线性同构. 取一组基$\{e_i\},$ 那么存在同构$v_i:\mathbb{R}^n\cong \mathbb{R}^n,$ 使得$v_i(p(y,e_1))=p(y,e_i).$

对任意$L\subset \mathbb{R}^n,$ 定义$\overline v_i:L\rightarrow L^\perp,$ $\overline v_i(x):=pv_i(x),$ $p$为$\mathbb{R}^n$到$L^\perp$的投影. 这样$\overline v_i$给出了一个$\operatorname{Hom}(\gamma_{n-1}^1,\gamma^\perp)\cong \tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} }$的一个截面. 验证发现$\{\overline v_i\}_{i\neq 1}$给出了一组标架(线性无关), 故$\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1} }$是平凡的. 有前面的推论立即得到结论.

SW示性类的其它应用

SW示性类阻碍浸入

命题 5. 若$M^n$可以浸入到$\mathbb{R}^{n+k}$中, 则$\overline\omega_i(\tau_M)=0,$ $\,\forall\,i>k.$

设有一个浸入, 那么$\tau_M\oplus \nu_M=\varepsilon^{n+k},$ $\omega(\nu)=\overline\omega(\tau).$ 然而$\dim\nu=k,$ 这就说明了$\overline\omega_i(\tau)=\omega_i(\nu)=0,$ $\,\forall\,i>k.$

命题 6. 若$n=2^r,$ $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$可浸入$\mathbb{R}^{n+k},$ 则$k\ge n-1.$

$\omega(\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n})=(1+a)^{n+1}=(1+a)(1+a^n)=1+a+a^n.$ 那么$\overline\omega(\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n})=1+a+\cdots+a^{n-1}.$ 由命题, $\overline\omega_i(\tau_{\mathbb{R}\mathrm{P}^n})=0,$ $\,\forall\,i>k,$ 故$k\ge n-1.$

配边

考虑底空间$B=M^n$为闭流形, $\omega_i(M):=\omega_i(\tau_M).$ 考虑单项式

$$\omega_1(M)^{r_1}\cdots\omega_n(M)^{r_n}\in H^D(M,\mathbb{Z}_2),\quad D=\sum_{i=1}^n ir_i.$$

若$D=n,$ 考虑$[M]\in H_n(M),$ 我们就得到了一个数字

$$\left<{}\omega_1(M)^{r_1}\cdots\omega_n(M)^{r_n},[M]\right>\in \mathbb{Z}_2,$$

称为Stiefel-Whitney数, 与单项$\omega_1^{r_1}\cdots \omega_n^{r_n}$相关.

定理 7 (Pontrjagin). 若$M^n$是$(n+1)$维紧流形$V^{n+1}$的边界, 那么所有$M$的SW数都是零.

$M=\partial V,$ 有$H_{n+1}(V,\partial V)\xrightarrow{\partial} H_n(\partial V),$ $\partial[V]=[M].$ 对偶地, 我们有

$$\left<{}\delta \alpha,[V]\right>=\left<{}\alpha,\partial[V]\right>=\left<{}\alpha,[M]\right>.$$

考虑$\tau_V|_M=i^\ast \tau_V,$ $i:M=\partial V\hookrightarrow V.$ 注意到$\nu_M^V$是平凡的, 那么$i^\ast \tau_V=\tau_M\oplus\nu_M,$ $i^\ast \omega_k(\tau_V)=\omega_k(i^\ast \tau_V)=\omega_k(\tau_M)$

考虑长正合列

$$H^n(V)\rightarrow H^n(M)\rightarrow H^{n+1}(V,M),$$

$M$的SW数为:

$$\left<{}\omega_1(M)^{r_1}\cdots\omega_n(M)^{r_n},[M]\right>=\left<{}\delta(\bullet),[V]\right>=\left<{}\delta i^\ast (\omega_1(V)^{r_1}\cdots\omega_n(V)^{r_n}),[V]\right>=0.$$

定理 8 (Thom). 逆命题成立.

对于两个$n$维光滑闭流形$M_1,M_2,$ 称他们属于相同的配边类(cobordism class), 若$M_1\sqcup M_2$是一个光滑紧$(n+1)$维流形的边界.

推论 9. $M_1,M_2$属于相同的配边类当且仅当它们的SW数都相同.

文章最后更新于 2022-10-12 15:23:48