《代数拓扑》复习-泛系数定理

基本概念

对链复形

$$\cdots\rightarrow C_{n+1}\xrightarrow{\partial} C_n\xrightarrow{\partial} C_{n-1}\rightarrow\cdots,$$

我们作用$\operatorname{Hom}(-,G)$函子, 得到上链复形

$$\cdots\leftarrow C_{n+1}^\ast \xleftarrow{\delta} C_n^\ast \xleftarrow{\delta} C_{n-1}^\ast \leftarrow \cdots$$

诱导了上同调群.

类似于同调, 我们有由如下短正合列诱导的相对上同调长正合列.

$$0\leftarrow C^n(A,B;G)\xleftarrow{i^\ast } C^n(X,B;G)\xleftarrow{j^\ast } C^n(X,A;G)\leftarrow 0,$$

用泛系数定理或对偶地推导, 也有挖去定理

$$i^\ast :H^n(X,A;G)\cong H^n(X\setminus Z,A\setminus Z;G),\quad Z\Subset A\subset X.$$

以及MV序列(以及相对版本)

$$\cdots \leftarrow H^{n}(A\cap B;G)\leftarrow H^n(A;G)\oplus H^n(B;G)\leftarrow H^n(A\cup B;G)\leftarrow H^{n-1}(A\cap B;G)\leftarrow \cdots$$

上同调泛系数定理

考虑$h:H^n(C;G)\rightarrow \operatorname{Hom}(H_n(C),G).$ $H^n(C;G)$中的元素为$\varphi\in \operatorname{Hom}(C_n,G),$ 满足$\delta \varphi=0,$ 即$\varphi\partial=0.$ 因此$\varphi$在$B_n=\operatorname{Im}\partial$上消失. 这样限制$\varphi_0=\varphi|_{Z_n}$就诱导了$\overline\varphi_0:Z_n/B_n=H_n(C)\rightarrow G.$

若$\varphi=\delta\psi=\psi\partial,$ 那么$\varphi_0=0.$ 于是这就定义好了$h:\varphi\mapsto \overline\varphi.$

由于$B$是自由的, 下面的正合列分裂:

$$0\rightarrow Z_n\rightarrow C_n\rightarrow B_{n-1}\rightarrow 0$$

从而存在$p:C_n\rightarrow Z_n$为投影. 那么任意选取$\varphi_0:Z_n\rightarrow G,$ 取$\varphi=\varphi_0p:C_n\rightarrow G,$ 就有$\varphi|_{Z_n}=\varphi_0.$ 若可以诱导映射$\overline\varphi_0:H_n(C)=Z_n/B_n\rightarrow G,$ 则$\varphi\partial=0=\delta \varphi,$ $\varphi\in \ker\delta.$ 从而$h$为满射:

$$p^\ast :\operatorname{Hom}(H_n(C),G)\rightarrow \ker\delta\rightarrow H^n(C;G), \quad h\circ p^\ast =\mathrm{id},$$

因此, 我们就得到了可裂短正合列:

$$0\rightarrow\ker h\rightarrow H^n(C;G)\rightarrow \operatorname{Hom}(H_n(C),G)\rightarrow 0$$

考虑可裂短正合列$0\rightarrow Z_n\rightarrow C_n\rightarrow B_{n-1}\rightarrow 0$的对偶短正合列, 诱导长正合列:

$$\cdots\leftarrow B_n^\ast \xleftarrow{i^\ast _n} Z_n^\ast \leftarrow H^n(C;G)\xleftarrow{\delta} B_{n-1}^\ast \xleftarrow{i^\ast _{n-1} } Z_{n-1}^\ast \leftarrow \cdots,$$

可以拆为短正合列

$$0\leftarrow \ker i^\ast _n\leftarrow H^n(C;G)\leftarrow \operatorname{coker}i^\ast _{n-1}\leftarrow 0$$

可以看出$\ker i^\ast _n=\operatorname{Hom}(H_n(C),G),$ 因为$\,\forall\,\varphi_0\in \ker i^\ast _n,$ $\varphi_0:Z_n\rightarrow C_n,$ $i^\ast _n\varphi_0=\varphi_0|_{B_n}=0.$ $\varphi_0\mapsto \overline\varphi_0:H_n(C)\rightarrow G$给出了相等关系. 因此我们可将原先的短正合列写成:

$$0\rightarrow \operatorname{coker}i_{n-1}^\ast \rightarrow H^n(C;G)\rightarrow \operatorname{Hom}(H_n(C),G)\rightarrow 0$$

引理 1. 任给$F,F’$分别为abel群$H,H’$的自由分解, 那么$\alpha:H\rightarrow H’$可以被诱导到$F_i\rightarrow F_i’$上成为链映射. 进而相同的abel群的两个自由分解满足$H^n(F;G)\cong H^n(F’;G).$

任意abel群$H$有自由分解

$$0\rightarrow F_1\rightarrow F_0\rightarrow H\rightarrow 0,$$

$F_0$由$H$生成元自由地生成, $F_1=\ker(F_0\rightarrow H).$ 那么唯一非平凡的上同调为$H^1(F;G),$ 仅由$H,G$唯一决定. 记其为$\operatorname{Ext}(H,G).$ 即有正合列

$$0\leftarrow \operatorname{Ext}(H,G)\leftarrow F_1^\ast \leftarrow F_0^\ast \leftarrow H^\ast \leftarrow 0.$$

再来看自由分解

$$0\rightarrow B_{n-1}\xrightarrow{i_{n-1} }Z_{n-1}\rightarrow H_{n-1}\rightarrow 0,$$

对偶为

$$0\leftarrow \operatorname{coker}i_{n-1}^\ast \leftarrow B_{n-1}^\ast \xleftarrow {i_{n-1}^\ast } Z_{n-1}^\ast \leftarrow \operatorname{Hom}(H_{n-1}(C),G)\leftarrow 0.$$

于是由引理, $\operatorname{coker}i_{n-1}^\ast \cong \operatorname{Ext}(H_{n-1}(C),G).$ 这就给出了泛系数定理:

定理 2 (上同调泛系数定理). 自由链复形$C$的上同调$H^n(C;G)$由下面的分裂正合列决定:

$$0\rightarrow \operatorname{Ext}(H_{n-1}(C),G)\rightarrow H^n(C;G)\xrightarrow{h}\operatorname{Hom}(H_n(C);G)\rightarrow 0.$$

一些关于$\operatorname{Ext}$的性质有:

1. $\operatorname{Ext}(H\oplus H’,G)\cong \operatorname{Ext}(H,G)\oplus \operatorname{Ext}(H’,G).$

2. $\operatorname{Ext}(H,G)=0,$ 若$H$自由.

3. $\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}_n,G)\approx G/nG.$

推论 3. 若$H_n,H_{n-1}$都是有限生成的, 挠子群为$T_n,T_{n-1},$ 那么 $H^n(C;\mathbb{Z})\cong (H_n/T_n)\oplus T_{n-1}.$

泛系数定理中的短正合列是自然的, 不过分裂本身并不是自然的. 由五引理, 我们有:

推论 4. 若链映射诱导同调群的同构, 则它也诱导上同调群的同构.

同调泛系数定理

类似地, 我们从可裂短正合列$0\rightarrow Z_n\rightarrow C_n\rightarrow B_{n-1}\rightarrow 0$出发, 诱导张量积短正合列

$$0\rightarrow Z_n\otimes G\rightarrow C_n\otimes G\rightarrow B_{n-1}\otimes G\rightarrow 0,$$

给出长正合列:

$$\cdots\rightarrow B_n\otimes G\xrightarrow{i_n\otimes 1} Z_n\otimes G\rightarrow H_n(C;G)\rightarrow B_{n-1}\otimes G\xrightarrow{i_{n-1}\otimes 1} Z_{n-1}\otimes G\rightarrow \cdots,$$

拆分为可裂短正合列:

$$0\rightarrow \operatorname{coker}(i_n\otimes 1)\rightarrow H_n(C;G)\rightarrow \ker(i_{n-1}\otimes 1)\rightarrow 0.$$

对于自由分解

$$0\rightarrow B_n\xrightarrow{i_n}Z_n\rightarrow H_n(C)\rightarrow 0,$$

诱导正合列

$$0\rightarrow\ker (i_n\otimes 1)\rightarrow B_n\otimes G\xrightarrow{i_n\otimes 1}Z_n\otimes G\rightarrow H_n(C)\otimes G\rightarrow 0.$$

因此$\operatorname{coker}(i_n\otimes 1)\cong H_n(C)\otimes G.$ 类似上同调版本, 我们有引理:

引理 5. 相同abel群的两个自由分解满足$H_n(F\otimes G)\cong H_n(F’\otimes G).$

对于自由分解$0\rightarrow F_1\rightarrow F_0\rightarrow H\rightarrow 0,$ 我们有正合列

$$0\rightarrow \operatorname{Tor}(H,G)\rightarrow F_1\otimes G\rightarrow F_0\otimes G\rightarrow H\otimes G\rightarrow 0.$$

$\operatorname{Tor}(H,G)$由$H,G$唯一决定. 比对两种自由分解, 我们有$\ker(i_n\otimes 1)\cong \operatorname{Tor}(H,G).$ 这样, 我们就得到了同调版本的泛系数定理:

定理 6 (同调泛系数定理). 自由链复形的任意系数同调群$H_n(C;G)$由下面的分裂正合列决定:

$$0\rightarrow H_n(C)\otimes G\rightarrow H_n(C;G)\rightarrow \operatorname{Tor}(H_{n-1},G)\rightarrow 0.$$

可以考虑相对同调的版本. 类似地, 短正合列是自然的, 但分裂不自然. $\operatorname{Tor}$函子满足的一些性质是:

1. $\operatorname{Tor}(A,B)\cong \operatorname{Tor}(B,A).$

2. $\operatorname{Tor}(\bigoplus_iA_i,B)\cong \bigoplus_i\operatorname{Tor}(A_i,B).$

3. $\operatorname{Tor}(A,B)=0,$ 若$A,B$至少有一个是自由的, 或更一般的无挠的.

4. $\operatorname{Tor}(A,B)=\operatorname{Tor}(T(A),B),$ $T(A)$为$A$的挠子群.

5. $\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}_n,A)\cong \ker(A\xrightarrow{n}A).$

6. 短正合列$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow 0$自然地诱导正合列

$$0\rightarrow \operatorname{Tor}(A,B)\rightarrow \operatorname{Tor}(A,C)\rightarrow \operatorname{Tor}(A,D)\rightarrow A\otimes B\rightarrow A\otimes C\rightarrow A\otimes D\rightarrow 0.$$

特别地, $\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)=\mathbb{Z}_{[m,n]}\cong \mathbb{Z}_m\otimes \mathbb{Z}_n.$ 由$\operatorname{Tor}$函子性质, 我们有:

推论 7. 若$H_n(X;\mathbb{Z})$有限生成, 则$H_n(X;\mathbb{Q})\cong H_n(X;\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Q}.$ 若$H_{n-1}(X;\mathbb{Z})$也是有限生成的, 那么对于质数$p$, $H_n(X;\mathbb{Z}_p)$中有$H_n(X;\mathbb{Z})$中$\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{p^k}$项的个数加上$H_{n-1}(X;\mathbb{Z})$中$\mathbb{Z}_{p^k}$项的个数和个$\mathbb{Z}_p.$

推论 8. $\widetilde H_\ast (X;\mathbb{Z})=0$当且仅当$\widetilde H_\ast (X;\mathbb{Q})=\widetilde H_\ast (X;\mathbb{Z}_p)=0,$ $\,\forall\,$质数$p.$ $f$诱导$\mathbb{Z}$系数同调群的同构当且仅当它也诱导$\mathbb{Q},\mathbb{Z}_p$系数同调群的同构, $\,\forall\,$质数$p$.

文章最后更新于 2022-10-16 22:28:28