《微分流形》笔记-李代数

Introduction to smooth manifolds by John M. Lee

定义

称李群$G$上向量场是左不变的, 若

$$d(L_g)_{g'}(X_{g'})=X_{gg'},\quad \,\forall\,g,g'\in G.$$

简单写可以记为$(L_g)_\ast X=X.$ 回忆$F_\ast [X,Y]=[F_\ast X,F_\ast Y],$ 我们有:

命题 1. 若$X,Y$是$G$上的光滑左不变向量场, 那么$[X,Y]$也是左不变的.

一个实向量空间上的李代数指它配备了一个李括号, 满足双线性性, 反称性, 以及Jacobi恒等式:

$$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.$$

我们有子李代数, 李代数同态(线性映射$A:$ $A[X,Y]=[AX,AY],$ 与李代数同构. 我们知道$\mathfrak{X}(M)$是一个李括号. 特别地由前面的命题, 光滑左不变向量场全体是一个子李括号. 称为$G$的李代数, 记为$\operatorname{Lie}(G).$

命题 2. 对李群同态$F:G\rightarrow H,$ $F^\ast $为李代数同态.

由于$L_g$是可迁的, 可以看出任意左不变向量场由$X_e\in T_eG$通过$(L_g)_\ast $决定.

单参数李子群

一个$G$的单参数李子群指一个李群同态 $\gamma:\mathbb{R}\rightarrow G.$

定理 3. $G$的单参数李子群恰是一个原点出发的左不变向量场的极大积分曲线.

因此对$X\in \operatorname{Lie}(G),$ 它决定了一个单参数李子群, 称为由$X$生成的单参数李子群.

定义指数映射:

$$\exp X=\gamma(1),\quad X\in \operatorname{Lie}(G),$$

$\gamma$为由原点出发的$X$的积分曲线. 容易得到$\gamma(s)=\exp sX.$ 它满足很多类似指数函数的性质.

引理 4. $G$为连通李群, $H\subset G$为连通李子群. 那么$H$是正则子群当且仅当

$$\exp(X)\exp(Y)\exp(-X)\in H,\quad \,\forall\,X\in\operatorname{Lie}(G),Y\in\operatorname{Lie}(H).$$

文章最后更新于 2022-10-18 17:41:33