定向与Thom类
回忆对$V$为秩$n$实向量空间, $V$上的定向为 $\operatorname{Iso}(\mathbb{R}^n,V)\cong GL_n(\mathbb{R})$ 上连通分支的选取(线性代数). 也等价于 $H^n(V|0;\mathbb{Z})$ 生成元的选取(代数拓扑). 也等价于
连通分支的选取(微分流形).
对于秩$n$实向量丛, 定义$\xi$的定向为考虑外代数丛$\Lambda^n F\rightarrow E(\Lambda^n \xi)\rightarrow B,$ $\Lambda^n\xi$上一个处处不消失的截面.
当然我们也有其它的等价定义. $\xi$的一个定向对每个纤维$F$给出了一个$H^\ast (F|0;\mathbb{Z})$的定向, 满足局部相容性.
定理 1. 若$\xi$为秩$n$定向实向量丛, 那么存在唯一一个类$u\in H^n(E|B;\mathbb{Z}),$ 限制在每个纤维上给出$H^n(F|0;\mathbb{Z})$的生成元.
证明思路: 我们采用MV方法来处理. 首先证明平凡丛$\xi$的情况, 接下来考虑$B=U_1\cup U_2$的情况, 这样能给出$B$紧的证明. 最后考虑$B$的穷竭序列即可.
这样的类$u=u(\xi)$称为Thom类. 若考虑$\mathbb{Z}_2$系数, 那么无需预先给出$\xi$的定向.
定理 2 (Thom同构定理). 若$\xi$为秩$n$定向向量丛, 有Thom类$u.$ 那么$H^i(B;\mathbb{Z})\cong H^{n+i}(E|B;\mathbb{Z}),$ $\alpha\mapsto \pi^\ast \alpha \cup u.$
应用Leray-Hirsch定理到
那么首先$H^n(F|0)=\mathbb{Z}$自由生成, 其次由上一个定理, $i^\ast $是满射. 这样$H^\ast (E|0)\cong H^\ast (B)\{u\}$就给出了结论.
欧拉类
对定向丛$\xi$定义欧拉类: $e(\xi)\in H^n(B;\mathbb{Z}),$ 使得
将$e(\xi)$与$u(\xi)$打到同一个元.
它满足以下性质: 若$B\rightarrow B’$由保定向丛映射覆盖, 那么$e(\xi)(=e(f^\ast \xi’))=f^\ast e(\xi’),$ 即满足自然性; 若$\xi$定向改变, 则欧拉类改变符号;
若$\xi$有一个无处消失截面, 那么$e(\xi)=0.$ 因为这将给出$\xi=\varepsilon^1\oplus\varepsilon^\perp,$ $e(\xi)=e(\varepsilon^1)\cup e(\varepsilon^\perp)=0.$
定理 3. 对光滑定向紧连通流形$M^n,$ $e(\tau_M)=\chi(M)\cdot PD([\ast ]),$ 或者说$\left<{}e(\tau_M),[M]\right>=\chi(M).$
由此可以推出Poincaré-Hopf定理: $\chi(M)\neq 0$ 则不存在无处消失向量场.
定理 4. 若$\xi$是同上假设的$M$上的光滑定向向量丛, 则$e(\xi)=PD([Z_s]),$ $Z_s$为$s$的零截面, 需要和$M$(默认零截面)横截相交.
取$\xi=\tau_M$即推出前一定理.
若$\xi$是$B$上的秩$n$定向向量丛, $H^n(B;\mathbb{Z})\rightarrow H^n(B;\mathbb{Z}_2)$的自然映射就是$e(\xi)\mapsto w_n(\xi).$
文章最后更新于 2022-10-26 21:15:00
- 本文标题：《代数拓扑2》笔记(13)-定向与欧拉类
- 本文作者：DreamAR
- 创建时间：2022-10-26 21:14:58
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