《代数拓扑2》笔记(14)-横截性理论

回顾

上次课我们对定向实向量丛$\xi^n,$ 定义了Thom类$u(\xi)\in H^n(E,E_0;\mathbb{Z}).$ 这给出了Euler类$e(\xi)\in H^n(B;\mathbb{Z}),$ 当$B=M^n$光滑时,

$$e(\tau_M)=\chi(M)\cdot PD([\ast ]).$$

一般的, 对$\xi$截面$s$与$M$横截相交的零截面$Z_s,$ 有

$$e(\xi)=PD(Z_s),\quad Z_s=\{s=0\}$$

横截性理论

设$X$为紧定向$n$维流形, 那么有Poincaré对偶:

$$PD_X:H_i(X)\rightarrow H^{n-i}(X), \alpha\cap [M]\leftarrow \alpha.$$

考虑横截积:

$$H_i(X)\times H_j(X)\rightarrow H_{i+j-n}(X),\quad (a,b)\mapsto a\cdot b,$$ $$PD_X(a\cdot b)=PD_X(b)\cup PD_X(a).$$

定理 1. 设$X$还是光滑的, $A,B$为横截相交闭光滑定向子流形. 那么$[A]_X\cdot [B]_X=[A\cap B]_X,$ 其中$[A]_X=i_\ast [A].$

给定$A\subset X,$ 定义$\tau_A^X:=PD([A]_X)\in H^{x-a}(X;\mathbb{Z}),$ 称为$A$在$X$中的Thom类. 那么

$$[A]_X=\tau_A^X\cap [X].$$

记$\nu_A^X$为$A$在$X$中法丛, 我们有管状邻域定理: 存在$A$在$X$中的管状邻域$N$, 满足:

$$E(\nu_A^X)\cong N.$$

这样,

$$u(\nu_A^X)\in H^{x-a}(E(\nu_A^X),E_0(\nu_A^X))\cong H^{x-a}(N,N\setminus A)\cong H^{x-a}(X,X\setminus A)\rightarrow H^{x-a}(X)\ni \tau_A^X.$$

我们将说明$\nu_A^X$的Thom类打到$A$在$X$中的Thom类, 这也是命名后者的原因.

我们希望说明,

$$\nu_{B\cap A}^A\cong \nu_B^X|_{B\cap A}.$$

我们依纤维来检查: $\,\forall\,x\in A\cap B,$ $T_pA+T_pB=T_pX,$ 那么

$$T(i_A^X):T_pA/T_p(B\cap A)\cong T_pX/T_pB.$$

因此, $\tau^A_{B\cap A}=(i_A^X)^\ast \tau_B^X.$ 现在就可以证明定理了:

$$\begin{aligned} [B\cap A]_X&=(i_A^X)_*(i^A_{B\cap A})_*[B\cap A]\\ &=(i_A^X)_*(\tau_{B\cap A}^A\cap [A])\\ &=(i_A^X)_*((i_A^X)^*\tau_B^X\cap [A])\\ &=\tau_B^X\cap ((i_A^X)_*[A])\\ &=\tau_B^X\cap (\tau_A^X\cap [X])\\ &=(\tau_B^X\cup\tau_A^X)\cap [X]\\ &=PD^{-1}(PD([B]_X)\cup PD([A]_X))\\ &=[B]_X\cdot [A]_X. \end{aligned}$$

Euler类

回忆对定向丛$\xi,$ 我们给出Euler类:

$$H^n(E,E_0)\rightarrow H^n(E)\leftarrow H^n(B), \quad u(\xi)\mapsto u(\xi)|_E\leftarrow e(\xi).$$

定理 2. 若$B$为闭定向光滑流形, $e(\xi)=PD([Z_s]).$ $Z_s=\{b\in B|s(b)=0\},$ $s$为$\xi$截面, 与零截面横截相交.

记$Z:=Z_s.$ 考虑$\nu_Z^B\cong \xi|_Z.$ $E(\nu_Z^B)\cong N\subset B.$

$$H^n(E,E_0)\rightarrow H^n(N,N\setminus Z)\rightarrow H^n(B,B\setminus Z)\rightarrow H^n(B).$$ $$u(\xi)\mapsto u(\nu_Z^B)\mapsto \tau_Z^B=PD([Z]).$$ $$H^n(B)\rightarrow H^n(E)\leftarrow H^n(E,E_0)\rightarrow H^n(N,N\setminus Z)\rightarrow H^n(B),$$ $$e(\xi)\mapsto u(\xi)\mapsto u(\nu_Z^B)\mapsto \tau_Z^B.$$

这样就看到了 $e(\xi)=\tau_Z^B.$

定理 3. $B=M^n$为闭定向流形, $\left<{}e(\tau_M),[M]\right>=\chi(M).$ 这与Poincaré-Hopf定理等价.

任取一个横截相交截面, 那么:

$$\begin{aligned} \left<{}e(\tau_M),[M]\right>=\left<{}PD_M[Z_s],[M]\right>=\left<{}PD_M[M],[Z_s]\right>=\sum_{p\in Z_s} \text{index of $s$ at $p$}=\chi(M) \end{aligned}$$

指标由$\det(\nabla s:T_pM\rightarrow T_pM)$的符号决定.

一个应用是, $\chi(S^n)=2,$ 若$n$为偶数. 这样$e(\tau_{S^n})=2,$ 这与$w_n(\tau_{S^n})=0$对应. 那么$\tau_{S^n}$非平凡, 且$\tau_{S^n}$不包含任何真子丛$\eta^m.$ 这是因为$e(\tau_{S^n})=e(\eta)\cup e(\eta^\perp).$

横截性理论的应用

杯积

回忆$H^\ast (\mathbb{C}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$中的杯积. 取

$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}\approx h_i=\{x_i=0\}\subset \mathbb{C}\mathrm{P}^n,$$ $$[h_i]\in H_{2n-2}(\mathbb{C}\mathrm{P}^n).$$

由横截性理论,

$$[h_1]\cdots[h_n]=[h_1\cap\cdots\cap h_n]=[\ast ]\in H_0(\mathbb{C}\mathrm{P}^n).$$

令$\tau_i:=PD[h_i]\in H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^n),$ $\tau_1\cup\cdots\cup \tau_n=PD[\ast ].$

断言$\tau_1=\cdots=\tau_n=\tau,$ 称为超(射影)平面类. 这样$H^\ast (\mathbb{C}\mathrm{P}^n)=\mathbb{Z}[\tau]/\tau^{n+1}=0.$

Bezout’s 定理

假设$F_1(x,y,z),$ $F_2(x,y,z)$为齐次多项式, $\deg F_i=d_i.$

$$V_i:=\{[x:y:z]\in \mathbb{C}\mathrm{P}^2|F_i=0\}\subset \mathbb{C}\mathrm{P}^2,$$

在代数几何中称为$\deg=d_i$的代数曲线.

定理 4. 若$V_1,V_2$横截相交, 那么$[V_1\cap V_2]_{\mathbb{C}\mathrm{P}^2}=d_1d_2[\ast ]_{\mathbb{C}\mathrm{P}^2}.$

简单来看, 就是因为$PD[V_1]=d_1\cdot \tau,$ $PD[V_2]=d_2\cdot \tau.$

文章最后更新于 2022-10-28 16:41:58