《代数拓扑2》笔记(16)-复向量丛

与实向量丛的差异

复共轭丛

一个秩$2n$实向量丛的复结构指一个连续映射$J:E(\xi)\rightarrow E(\xi),$ 限制在每个纤维上为$\mathbb{R}$线性映射, 且$J(J(v))=-v.$ 可以将$J$理解为虚部.

注 1. 配备复结构的秩$2n$实向量丛等价于秩$n$复向量丛. 设$M^{2n}$为实流形, $\tau_M$的复结构称为$M$上的近复结构. 实流形$M^{2n}$配备近复结构且$J$满足一些微分方程(C-R方程?)当且仅当$M^n$为复流形.

定义 2. 给定复向量丛$\omega,$ 它的复共轭为复向量丛$\overline\omega,$ 使得恒等映射$E(\omega)\xrightarrow{f=\mathrm{id} }E(\overline\omega)$是复共轭线性的, 即$f(\lambda e)=\overline\lambda e.$ 因此$J_{\overline\omega}=-J_{\omega}.$

假设$\omega$有一个Hermitian度量, 即

$$\left<{}\lambda v,w\right>=\lambda\left<{}v,w\right>,\quad \left<{}v,\lambda w\right>=\overline\lambda\left<{}v,w\right>,\quad \left<{}v,w\right>=\overline{\left<{}w,v\right>}.$$

那么有$\overline{\omega}\xrightarrow{\cong_\mathbb{C} } \operatorname{Hom}_{\mathbb{C} }(\omega,\varepsilon)=:\omega^V,$ $v\mapsto(w\mapsto\left<{}w,v\right>).$

一般地, 作为复向量丛, $\omega\not\cong \overline\omega.$ 这和实版本很不一样. 一个例子是考虑$\gamma^1:\mathbb{C}\rightarrow E\rightarrow \mathbb{C}\mathrm{P}^\infty,$

$$\gamma^1\otimes \overline{\gamma}^1\cong \gamma^1\otimes \operatorname{Hom}_\mathbb{C}(\gamma^1,\varepsilon)\cong \varepsilon.$$

因此$c_1(\gamma^1)+c_1(\overline\gamma^1)=c_1(\varepsilon)=0,$ 从而$c_1(\overline\gamma^1)=-c_1(\gamma^1)=\tau\in H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z}).$ 这就说明了$\overline\gamma^1\not\cong \gamma^1.$

注 3. 在代数几何中, 记$\gamma^1$为$O(-1),$ $\overline\gamma^1=O(1).$ $\mathbb{C}\cong \mathbb{R}^2$上的复共轭改变定向, $(\overline\gamma^1)_\mathbb{R}=\overline{(\gamma^1)}_\mathbb{R}.$

SW类与Chern示性类

定理 4. 设$\xi$为复向量丛, 忘掉它的复结构, 那么$w_{2i+1}(\xi_{\mathbb{R} })=0,$ $w_{2i}(\xi_\mathbb{R})=c_i(\xi)\mod 2.$ 即$H^{2i}(B;\mathbb{Z})\rightarrow H^{2i}(B;\mathbb{Z}_2),$ $c_i(\xi)\mapsto w_{2i}(\xi_\mathbb{R}).$ 特别地, $w_{2n}(\xi_\mathbb{R})=c_n(\xi)=e(\xi_\mathbb{R})\mod 2.$

注意到, 我们有纤维丛

$$\mathbb{R}\mathrm{P}^1\rightarrow \mathbb{R}\mathrm{P}^{2n-1}\rightarrow \mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}, \quad \ell\mapsto \ell\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}.$$

考虑$\widehat f:E(\xi)\rightarrow \mathbb{C}^\infty,$ 是$\mathbb{C}$线性的且依纤维单射, 有

$$\mathbb{C}^n\hookrightarrow E(\xi)\xrightarrow{\widehat f}\mathbb{C}^\infty.$$

考虑实投影丛,

$$\mathbb{R}\mathrm{P}^{2n-1}\rightarrow \mathbb{R}\mathrm{P}(E(\xi)_\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}\mathrm{P}^\infty;$$

考虑复投影丛,

$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}\rightarrow \mathbb{C}\mathrm{P}(E(\xi))\rightarrow \mathbb{C}\mathrm{P}^\infty.$$

这两行中每一列又都是纤维为$\mathbb{R}\mathrm{P}^1$的纤维丛.

这样我们可以得到$H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z})\rightarrow H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z}_2)\rightarrow H^2(\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z}_2),$ $\beta\mapsto \overline\beta\mapsto \alpha^2,$ 可由Leray-Hirsch证明.

对于右侧第一个方块, $H^2(\mathbb{R}\mathrm{P}(E);\mathbb{Z}_2)\leftarrow H^2(\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z}_2),$ $x^2(\xi_\mathbb{R})\leftarrow \alpha^2;$ $H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}(E);\mathbb{Z}_2)\leftarrow H^2(\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty;\mathbb{Z}_2),$ $\overline x_\mathbb{C}(\xi)\leftarrow \overline\beta.$ 那么模$2$的Chern类依定义,

$$\overline x_\mathbb{C}(\xi)^n+\overline c_1(\xi)\overline x_\mathbb{C}(\xi)^{n-1}+\cdots+\overline c_n(\xi)=0\in H^{2n}(\mathbb{C}\mathrm{P}(\xi);\mathbb{Z}_2),$$

打到了

$$x(\xi_{\mathbb{R} })^{2n}+\overline c_1(\xi)[x(\xi_\mathbb{R})^2]^{n-1}+\cdots +\overline c_n(\xi)=0\in H^{2n}(\mathbb{R}\mathrm{P}(\xi_\mathbb{R});\mathbb{Z}_2).$$

示性类与阻碍性理论

阻碍性理论

何时纤维丛$F\rightarrow E\rightarrow B$有一个截面? 想法是若$B$为一个CW复形, 考虑$B^0\subset B^1\subset B^2\subset \cdots,$ 尝试按顺序定义骨架上的截面.

定理 5. 假设$F\rightarrow E\rightarrow B$为一个纤维丛, $B$为CW复形, $F$是$n$-simple的, 即$\pi_1(F,x_0)$作用在$\pi_n(F,x_0)$上是平凡的. 令$s$为$B^{n-1}$截面, 可被延拓为$B^n$上截面. 那么存在障碍类$ob(s)\in H^{n+1}(B;\pi_n(F))$(局部系数), 使得$ob(s)=0$当且仅当它可以被延拓到$B^{n+1}$上.

注 6. 找到一个截面的同伦等于找到$F\rightarrow E\times I\rightarrow B\times I\hookleftarrow B\times\partial I$延拓两个截面$s,s’.$ 阻碍在$H^{n+1}(B\times I,B\times\partial I;\pi_n(F))\cong \pi^n(B;\pi_n(F))$中.

注 7. 假设$F$($n-1$)连通, 截面的障碍在$H^i(B;\pi_{i-1}(F))=0$中, $i\le n;$ 截面同伦的障碍在$H^i(B;\pi_i(F))=0$中, $i\le n-1.$ 因此存在$B^n$上的截面, 并且$s|_{B^{n-1} }$在同伦意义下唯一. $ob(s)\in H^{n+1}(B;\pi_n(F))$与截面选取无关. 这称为第一障碍类.

文章最后更新于 2022-11-09 17:19:15