《代数拓扑2》笔记(20)-主丛应用(科普)

引子

固定$F$为拓扑空间, 取$G=\operatorname{Homeo}(F).$ (紧开拓扑.) 我们有

$$\{F\rightarrow E\rightarrow B\}/\cong\leftrightarrow \{G\rightarrow P\rightarrow B\}/\cong \leftrightarrow [B,BG]$$ $$\xi\mapsto (\operatorname{Homeo}(\xi_b,F)\rightarrow P\rightarrow B),$$

像称为标架丛. 反过来, 我们有:

$$(F\rightarrow P\times_G F\rightarrow B)\leftarrow (G\rightarrow P\rightarrow B).$$

光滑流形上的向量丛

圆丛

设$F=M^n$为(可定向)光滑流形, $G=\operatorname{Diffeo}^+(M^n)$保持定向. 那么

$$\{\text{(oriented) $M^n$-bundle}\}\leftrightarrow [B,BG].$$

若$F=S^1,$ $U(1)=SO(2)\hookrightarrow \operatorname{Diffeo}^+(S^1)$为同伦等价, 那么

$$B\operatorname{Diffeo}^+(S^1)=BU(1)=BSO(2)=\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty=K(\mathbb{Z},2).$$

于是我们有

$$\{B\text{上定向$S^1$丛}\}/\cong\leftrightarrow [B,K(\mathbb{Z},2)]\cong H^2(B;\mathbb{Z}),$$ $$\xi\mapsto e(\xi).$$

注 1. 每个可定向$S^1$丛都是一个复线丛的球丛. Euler类是一个完全不变量.

推论 2. 每个定向圆丛平凡若其有一个截面.

球丛

对一般的球丛, $M^n=S^n,$ $SO(n+1)\hookrightarrow \operatorname{Diffeo}^+(S^n)$为一个弱同伦等价, 当$n=2,3$时. 它一定不是弱同伦等价, 若$n\ge 4.$

注 3. $S^n$-丛理论和$n+1$维实向量丛理论是一致的.

环丛

若$M^n=T^2=S^1\times S^1,$

$$\{B\text{上}T^2\text{丛}\}\leftrightarrow [B,B\operatorname{Diffeo}(T^2)],$$ $$\{B\text{上}T^2\text{丛, 有截面}\}\leftrightarrow [B,B\operatorname{Diffeo}(T^2,\ast )],$$

$\operatorname{Diffeo}(T^2,\ast )$表示有不动点.

命题 4. $SL(2,\mathbb{Z})\hookrightarrow \operatorname{Diffeo}^+(T^2,\ast )$为一个同伦等价.

推论 5. $B\operatorname{Diffeo}^+(T^2,\ast )=BSL(2,\mathbb{Z}).$

命题 6. $\,\exists\,\operatorname{Diffeo}^+(T^2,\ast )\rightarrow \operatorname{Diffeo}^+(T^2)\rightarrow T^2.$

$$B\operatorname{Diffeo}^+(T^2,\ast )=BSL(2,\mathbb{Z})\rightarrow BSL(2,\mathbb{R})\cong BSO(2).$$

给出了

$$\{B\text{上定向}T^2\text{丛具截面}\}\xrightarrow{\phi} \{B\text{上定向秩$2$丛}\}.$$

(是每个截面处取切平面)

曲面丛

考虑一般的$M^n=\Sigma_g,$ $g\ge 2.$ 那么

$$\{B\text{上光滑$\Sigma_g$丛}\}/\cong\leftrightarrow [B,B\operatorname{Diffeo}(\Sigma_g)].$$

Earle-Eells(1967): 单位元所在的分支$\operatorname{Diffeo}_0(\Sigma_g)$可缩. 定义$\Sigma_g$的映射类群为离散群

$$\operatorname{Mod}(\Sigma_g):=\operatorname{Diff}^+(\Sigma_g)/\operatorname{Diffeo}_0(\Sigma_g)=\pi_0(\operatorname{Diff}^+).$$

因此,

$$B\operatorname{Diff}^+(\Sigma_g)=B\operatorname{Mod}(\Sigma_g).$$ $$H^\ast (B\operatorname{Mod}(\Sigma_g))=\{\text{曲面丛示性类}\}$$

定理 7 (Harer,1985). $H^k(B\operatorname{Mod}(\Sigma_g);\mathbb{Z})$稳定, 当$g\rightarrow\infty.$

定理 8 (Madsen-Weiss,2006). $H^\ast (B\operatorname{Mod}(\Sigma_\infty);\mathbb{Q})\rightarrow \mathbb{Q}[\kappa_1,\kappa_2,\cdots],$ 当$g\rightarrow\infty,$ $|\kappa_i|=2i.$

定理 9 (Harer-Zagier,1986). $\chi(B\operatorname{Mod}(\Sigma_g))=\frac{\zeta(1-2g)}{2-2g}\sim (-1)^g\frac{(2g-1)!}{(2-2g)2^{2g-1}\pi^{2g} }.$

注 10. $\chi(B\operatorname{Mod}(\Sigma_g))$超指数增长, 但稳定群的示性数仅是多项式增长.

这称为”暗物质问题”.

Pontrjagin类

回忆线性代数理论, $n$维实向量空间可以复化为$n$维复线性空间$V\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}=\{x+iy|x,y\in V\}.$ 我们有复向量空间的同构

$$V\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\rightarrow\overline{V\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C} },\quad x+iy\mapsto x-iy.$$

对于向量丛, 设$\xi$为秩$n$实向量丛, $\xi\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}$为秩$n$复向量丛, $\xi\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong \overline{\xi\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C} }$为复向量丛的同构. $\,\forall\,k,$

$$c_k(\xi\otimes \mathbb{C})=c_k(\overline{\xi\otimes \mathbb{C} })=(-1)^kc_k(\xi\otimes \mathbb{C}).$$

因此$k$为奇数时, 总有$2c_k(\xi\otimes\mathbb{C})=0.$

定义第$i$个Pontrjagin示性类为

$$p_i(\xi):=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes \mathbb{C})\in H^{4i}(B;\mathbb{Z}).$$

显然$p_i(\xi)=0,$ $\,\forall\,i>\frac{\dim \xi}{2}.$ 记$p(\xi)=1+p_1(\xi)+\cdots+p_{[\frac{n}{2}]}(\xi).$

$$p(\xi\oplus \eta)=p(\xi)\cup p(\eta)+2 \text{torsions},$$ $$2[p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)\cup p(\eta)]=0.$$

文章最后更新于 2022-11-23 15:12:50